頂点モデル

頂点モデルは統計力学 モデルの一種で、ボルツマン重みはモデル内の頂点（原子または粒子を表す）に関連付けられている。 ^{[1] [2]これは、統計的ミクロ状態のエネルギー、したがってボルツマン重みが、2つの隣接する粒子を結合する結合に起因している}イジングモデルなどの最近傍モデルとは対照的である。粒子の格子内の頂点に関連付けられたエネルギーは、隣接する頂点に結合する結合の状態に依存する。ベクトル空間のテンソル積におけるスペクトルパラメータを持つヤン・バクスター方程式のすべての解は、正確に解ける頂点モデルを生成することが判明している。 ${\displaystyle V\otimes V}$

このモデルは、任意の数の次元のさまざまな形状 に適用でき、特定の結合に対して任意の数の可能な状態を持つが、最も基本的な例は 2 次元格子で発生し、最も単純なのは各結合が 2 つの可能な状態を持つ正方格子である。このモデルでは、すべての粒子が他の 4 つの粒子に接続され、粒子に隣接する 4 つの結合のそれぞれに 2 つの可能な状態があり、結合上の矢印の方向で示される。このモデルでは、各頂点は可能な構成を採用できる。特定の頂点のエネルギーは、次のように表される。${\displaystyle 2^{4}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}^{k\ell }}$

格子の状態は各結合の状態の割り当てであり、状態の全エネルギーは頂点エネルギーの合計である。無限格子ではエネルギーが発散することが多いため、格子が無限大に近づくにつれて有限格子のモデルが研究される。周期境界条件またはドメイン壁^[3] 境界条件がモデルに課されることがある。

格子の与えられた状態に対して、ボルツマン重みは、対応する頂点状態のボルツマン重みの頂点間の積として表すことができる。

${\displaystyle \exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))=\prod _{\mbox{vertices}}\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })}$

ここで、頂点のボルツマン重みは次のように記述される。

${\displaystyle R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })}$、

i、j、k、lの範囲は、頂点に接続された 4 つの辺のそれぞれの可能な状態にわたります。状態が許容されるためには、隣接する頂点の頂点状態が接続辺 (結合) に沿った適合条件を満たしている必要があります。

システムが特定の時間に任意の状態にある確率、つまりシステムの特性は、解析形式が求められる パーティション関数によって決定されます。

${\displaystyle \mathbb {Z} =\sum _{\mbox{states}}\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))}$

ここでβ = 1/ kT、Tは温度、kはボルツマン定数である。システムが任意の状態（ミクロ状態）にある確率は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))}{\mathbb {Z} }}}$

したがって、システムのエネルギーの平均値は次のように与えられる。

${\displaystyle \langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{\mbox{states}}\varepsilon \exp(-\beta \varepsilon )}{\sum _{\mbox{states}}\exp(-\beta \varepsilon )}}=kT^{2}{\frac {\partial }{\partial T}}\ln \mathbb {Z} }$

パーティション関数を評価するには、まず頂点の行の状態を調べます。

外部エッジは自由変数であり、内部結合の合計を持つ。したがって、行分割関数を形成する。

${\displaystyle T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots l_{N}}=\sum _{r_{1},\dots ,r_{N-1}}R_{i_{1}k_{1}}^{r_{1}\ell _{1}}R_{r_{1}k_{2}}^{r_{2}\ell _{2}}\cdots R_{r_{N-1}k_{N}}^{i'_{1}\ell _{N}}}$

これは、基底を持つ補助的なn次元ベクトル空間Vによって再定式化することができ、次のように 表すことができます。 ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$${\displaystyle R\in End(V\otimes V)}$

${\displaystyle R(v_{i}\otimes v_{j})=\sum _{k,\ell }R_{ij}^{k\ell }v_{k}\otimes v_{\ell }}$

そして​ ${\displaystyle T\in End(V\otimes V^{\otimes N})}$

${\displaystyle T(v_{i_{1}}\otimes v_{k_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{k_{N}})=\sum _{i'_{1},\ell _{1},\dots \ell _{N}}T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots \ell _{N}}v_{i'_{1}}\otimes v_{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\ell _{N}}}$

それにより、Tは次のように書ける。

${\displaystyle T=R_{0N}\cdots R_{02}R_{01},}$

ここで、添え字はRが作用するテンソル積 の因子を示す。周期境界条件を用いて第1行の結合状態を合計すると、 ${\displaystyle V\otimes V^{\otimes N}}$${\displaystyle i_{1}=i'_{1}}$

${\displaystyle (\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}},}$

ここで、行転送行列です。 ${\displaystyle \tau =\operatorname {trace} _{V}(T)}$

2行にわたる寄与を合計すると、結果は

${\displaystyle (\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}(\operatorname {trace} _{V}(T))_{j_{1}\dots j_{N}}^{k_{1}\dots k_{N}}.}$

これを最初の2行を結ぶ垂直結合について合計すると次のようになる。M行 については次のようになる。${\displaystyle ((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

${\displaystyle ((\operatorname {trace} _{V}(T))^{M})_{\ell '_{1}\dots \ell '_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

そして、周期境界条件を垂直列に適用すると、分配関数は転送行列で次のよう に表される。${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \mathbb {Z} =\operatorname {trace} _{V^{\otimes N}}(\tau ^{M})\sim \lambda _{max}^{M}}$

ここで、 はの最大固有値です。 の固有値は の固有値のM乗であり、 として、最大固有値の乗は他の乗よりもかなり大きくなるという事実から、近似が導かれます。 トレースは固有値の合計であるため、 を計算する問題は、の最大固有値を見つける問題に帰着します。 これ自体は別の研究分野です。 ただし、 の最大固有値を見つける問題に対する標準的なアプローチは、 と交換可能な演算子の大きなファミリーを見つけることです。 これは、固有空間が共通であることを意味し、解の可能な空間を制限します。 このような交換可能な演算子のファミリーは通常、ヤン・バクスター方程式によって見つけられ、これにより統計力学が量子群の研究に関連します。 ${\displaystyle \lambda_{max}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau^{M}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle M\rightarrow \infty }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$

定義: 頂点モデルは、次の条件を満たす とき積分可能である。${\displaystyle \forall \mu ,\nu ,\exists \lambda }$

${\displaystyle R_{12}(\lambda )R_{13}(\mu )R_{23}(\nu )=R_{23}(\nu )R_{13}(\mu )R_{12}(\ラムダ)}$

これは、ヤン・バクスター方程式のパラメータ化されたバージョンであり、頂点エネルギー、したがってボルツマン重みR が温度、外部フィールドなどの外部パラメータに 依存する可能性があることに対応しています。

積分可能性条件は次の関係を意味します。

命題：積分可能な頂点モデル（およびが上記のように定義される）の場合、 ${\displaystyle \lambda ,\mu }$${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle R(\lambda )(1\otimes T(\mu ))(T(\nu )\otimes 1)=(T(\nu )\otimes 1)(1\otimes T(\mu ))R(\lambda )}$

の自己準同型として、 はテンソル積の最初の 2 つのベクトルに作用します。 ${\displaystyle V\otimes V\otimes V^{\otimes N}}$${\displaystyle R(\lambda )}$

上記の式の両辺に を掛け、トレース演算子の巡回特性を使用すると、次の系が成り立つことがわかります。 ${\displaystyle R(\lambda )^{-1}}$

系: が可逆な積分可能な頂点モデルの場合、転送行列はと可換です。 ${\displaystyle R(\lambda )}$${\displaystyle \forall \lambda }$${\displaystyle \tau (\mu )}$${\displaystyle \tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu }$

これは、解ける格子模型の解法におけるヤン・バクスター方程式の役割を示しています。転送行列はすべての に対して可換であるため、 の固有ベクトルは共通であり、したがってパラメータ化とは無関係です。これらの可換な転送行列を探すことは、他の多くのタイプの統計力学モデルに現れる繰り返しのテーマです。 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \lambda ,\nu }$${\displaystyle \tau }$

上記のRの定義から、2 つのn次元ベクトル空間のテンソル積におけるヤン・バクスター方程式のすべての解に対して、対応する 2 次元の解ける頂点モデルが存在し、各結合は可能な状態 になることができ、ここでR はによって張られる空間内の自己準同型であることがわかります。これにより、与えられた量子代数のすべての有限次元既約表現を分類して、それに対応する解けるモデルを見つけることになります。 ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n}$

• 6頂点モデル

  

• 8頂点モデル

  

• 19頂点モデル（イゼルギン・コレピンモデル）^[4]