格子QCD

格子QCDは、クォークとグルーオンの量子色力学（QCD）理論を解くための確立された非摂動的なアプローチです。これは、空間と時間の点のグリッドまたは格子上に定式化された格子ゲージ理論です。格子のサイズを無限に大きくし、そのサイト同士を無限に近づけると、連続QCDが回復されます。^{[1] [2]}

低エネルギー QCD における解析的または摂動的な解は、強い力の高度に非線形な性質と低エネルギーでの大きな結合定数のため、得ることが困難または不可能です。連続時空ではなく離散時空での QCD のこの定式化により、当然、1/ aオーダーで運動量カットオフが導入されます。ここで、a は格子間隔であり、理論を正規化します。その結果、格子 QCD は数学的に明確に定義されます。最も重要なことは、格子 QCD が、解析的な場の理論では扱いにくい閉じ込めやクォークグルーオンプラズマ形成などの非摂動的な現象を調査するための枠組みを提供することです。

格子 QCD では、クォークを表す場は格子サイトで定義され (フェルミオンの倍増につながる)、グルーオン場は隣接するサイトを接続するリンク上で定義されます。この近似は、格子サイト間の間隔がゼロに減少するにつれて連続 QCD に近づきます。格子間隔が減少するにつれて数値シミュレーションの計算コストが増加するため、異なる格子間隔aで繰り返し計算して結果をa = 0 (連続体限界)まで外挿する必要があります。

モンテカルロ法を用いた数値格子QCD計算は、非常に計算負荷が高く、利用可能な最大のスーパーコンピュータの使用を必要とする。計算負荷を軽減するために、いわゆるクエンチ近似を使用することができる。この近似では、クォーク場は非動的な「凍結」変数として扱われる。これは初期の格子QCD計算では一般的であったが、現在では「動的」フェルミオンが標準となっている。^{[3]これらのシミュレーションでは、通常、}分子動力学またはミクロカノニカルアンサンブルアルゴリズム に基づくアルゴリズムが使用される。^{[4] [5]}

現在、格子QCDは主に、数値符号問題が計算を妨げない低密度で適用されています。モンテカルロ法は、ゲージ群SU(2)(QC ₂ D)を持つQCDの場合に適用すると、符号問題から解放されます。

格子QCDはすでに多くの実験結果と一致している。例えば、陽子の質量は理論的に2%未満の誤差で決定されている。^{[6]格子QCDは、閉じ込められたクォークから}クォーク・グルーオン・プラズマへの遷移が約1000℃の温度で起こると予測している。150  MeV (1.7 × 10 ¹²  K）であり、実験測定範囲内であった。^{[7] [8]}

格子QCDは、もともとIBM Blue Geneスーパーコンピュータのコンテキストで開発されたアプローチであり、高性能コンピューティングのベンチマークとしても使用されています。^[9]

モンテカルロ法は、大規模な変数空間を擬似ランダムにサンプリングする方法です。モンテカルロ シミュレーションでゲージ構成を選択するために使用される重要度サンプリング手法では、時空のウィック回転によってユークリッド時間の使用が強制されます。

格子モンテカルロシミュレーションの目的は相関関数を計算することです。これは、作用と場によって決まる分布関数に従って選択された場構成を使用して、作用を明示的に計算することによって行われます。通常、ゲージ構成を計算するには、作用のゲージボソン部分とゲージフェルミオン相互作用部分から始め、次にシミュレートされたゲージ構成を使用してハドロンプロパゲーターと相関関数を計算します。

格子 QCD は、第一原理から、いかなる仮定もなしに、必要な精度で理論を正確に解く方法です。しかし、実際には計算能力には限界があり、利用可能なリソースを賢く使用する必要があります。利用可能な計算能力を使用して、エラーを最小限に抑えながら、システムの最良の物理的記述を与えるアクションを選択する必要があります。限られたコンピュータ リソースでは、実際の物理値とは異なる近似物理定数を使用する必要があります。

• 格子の離散化とは、連続した無限の空間時間を有限の格子間隔とサイズで近似することを意味します。格子が小さいほど、またノード間のギャップが大きいほど、誤差が大きくなります。リソースが限られていると、通常、必要なサイズよりも小さい物理格子と大きな格子間隔の使用が強制され、必要なサイズよりも大きな誤差が発生します。
• クォークの質量も近似値である。クォークの質量は実験的に測定されたものよりも大きい。これらは着実に物理的な値に近づいており、過去数年間でいくつかの共同研究がほぼ物理的な値を使用して物理的な値まで外挿した。^[3]

誤差を補正するために、主に有限間隔誤差を最小限に抑えるために、さまざまな方法で格子動作を改善します。

格子摂動論では、散乱行列は格子間隔aのべき乗で展開されます。結果は主に、格子 QCD モンテカルロ計算を繰り込むために使用されます。摂動計算では、作用演算子と伝播関数の両方が格子上で計算され、 aのべき乗で展開されます。計算を繰り込む場合、展開の係数は、MS バー スキームなどの共通の連続スキームと一致させる必要があります。一致させないと、結果を比較できません。展開は、連続スキームと格子スキームで同じ順序で実行する必要があります。

格子正則化は、当初ウィルソンによって、強く結合した理論を非摂動的に研究するための枠組みとして導入されました。しかし、摂動計算にも適した正則化であることがわかりました。摂動理論は結合定数の展開を伴い、結合定数が小さい高エネルギー QCD では十分に正当化されますが、結合が大きく、摂動級数で高次の補正が低次の補正よりも大きい場合は完全に失敗します。この領域では、相関関数のモンテカルロ サンプリングなどの非摂動的な方法が必要です。

格子摂動論は凝縮物質理論にも結果をもたらすことができます。格子を使って実際の原子結晶を表すことができます。この場合、格子間隔は実際の物理値であり、除去しなければならない計算のアーティファクト（UV レギュレータ）ではありません。また、量子場理論は物理格子上で定式化して解くことができます。

U(1)、SU(2)、SU(3)格子ゲージ理論は、汎用量子コンピュータ上で「スピン量子ビット操作」を使用してシミュレートできる形式に再定式化することができる。^[10]

この方法にはいくつかの制限があります。

• 現在、クォーク-グルーオン プラズマなどのクォーク-グルーオン システムのリアルタイム ダイナミクスをシミュレートできる格子 QCD の定式化は存在しません。
• これは計算集約的であり、ボトルネックとなるのはフロップではなくメモリ アクセスの帯域幅です。
• 非ゼロ重粒子密度における観測量の計算は符号問題に悩まされ、熱力学量の直接計算が不可能となる。^[11]

• 格子モデル（物理学）
• 格子場理論
• 格子ゲージ理論
• QCD物質
• SU(2)カラー超伝導
• QCD和則
• ウィルソンの行動

• M. Creutz,クォーク、グルーオン、格子、ケンブリッジ大学出版局、1985年。
• I. Montvay と G. Münster、「Quantum Fields on a Lattice」、ケンブリッジ大学出版局、1997 年。
• J. Smit、「格子上の量子場入門」、ケンブリッジ大学出版局、2002年。
• H. Rothe、「格子ゲージ理論入門」、World Scientific 2005 年。
• T. DeGrand と C. DeTar、「量子色力学のための格子法」、World Scientific 2006 年。
• C. Gattringer と CB Lang、「Quantum Chromodynamics on the Lattice」、Springer 2010 年。

• グプタ - 格子 QCD 入門
• ロンバルド - 有限温度と密度における格子 QCD
• チャンドラセカラン、ヴィーゼ - 格子上のカイラル対称性入門
• クティ、ジュリアス - 格子 QCD と弦理論
• 格子場理論のための FermiQCD ライブラリ 2015-02-03 にWayback Machineでアーカイブされました
• フレーバー格子平均化グループ