臨界指数

臨界指数は、連続相転移近傍における物理量の挙動を記述する。これらは普遍的であると考えられているが、証明はされていない。つまり、物理系の詳細には依存せず、その一般的な特徴のみに依存する。例えば、熱平衡状態にある強磁性系の場合、臨界指数は以下の要素のみに依存する。

• システムの次元
• 相互作用の範囲
• スピン次元​

臨界指数のこれらの性質は、実験データによって裏付けられています。解析結果は、高次元の平均場理論、または2次元イジングモデルのように厳密解が既知の場合には理論的に得られます。一般的な次元での理論的処理には、繰り込み群アプローチ、または熱平衡状態にあるシステムの場合は共形ブートストラップ法が必要です。相転移と臨界指数は、臨界点における水、磁気システム、超伝導、パーコレーション、乱流流体など、多くの物理システムに現れます。平均場指数が有効となる臨界次元はシステムによって異なり、無限大になることもあります。

相転移を引き起こす制御パラメータは、多くの場合温度ですが、圧力や外部磁場などの他の巨視的な変数である場合もあります。簡潔にするため、以下の議論は温度を基準としますが、他の制御パラメータへの変換は容易です。相転移が起こる温度を臨界温度T _cと呼びます。臨界温度付近での物理量fの挙動をべき乗則で記述するために、換算温度を導入します。

$\displaystyle \tau$ :={\frac {T-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}}

相転移ではゼロとなり、臨界指数を定義する。${\displaystyle k}$として：

${\displaystyle k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log |\tau |}}}$

これにより、我々が求めていたべき乗則が得られる。

${\displaystyle f(\tau )=\tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0}$

これは、 τ → 0のときの関数f ( τ )の漸近挙動を表していることを覚えておくことが重要です。

より一般的には、

${\displaystyle f(\tau )=\tau ^{k}\left(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \right)}$

熱平衡状態にある系には、秩序パラメーターΨによって特徴付けられる2つの異なる相があり、ΨはT _c以上でゼロになると仮定します。

無秩序相（τ > 0）、秩序相（τ < 0）、臨界温度（τ = 0 ）の各相をそれぞれ個別に考察する。標準的な慣例に従い、秩序相に関連する臨界指数にはプライム記号を付ける。また、無秩序状態（秩序状態）には上付き文字/下付き文字として+（−）を用いるのも標準的な慣例である。一般に、自発的対称性の破れは秩序相で起こる。

以下の項目は、J = 0で評価されます（ δ項目を除く）。

臨界指数は、ソースと温度の関数としての比自由エネルギーf ( J , T )から導出できる。相関長は、関数F [ J ; T ]から導出できる。多くの場合、秩序相と無秩序相で定義される臨界指数は同一である。

上限臨界次元が4の場合、これらの関係は2次元および3次元システムの臨界点付近で正確です。しかし、4次元では、べき乗則は対数因子によって修正されます。これらは、この問題を回避する方法として使用できる、4に任意に近いが厳密には4ではない次元には現れません。^{[ 1 ]}

スカラー場（イジング模型はその典型例）の臨界指数の古典的ランダウ理論（平均場理論とも呼ばれる）の値は、次のように与えられる。

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3}$

微分項を追加して平均場ギンツブルグ・ランダウ理論にすると、

${\displaystyle \eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}}$

臨界現象の研究における主要な発見の一つは、臨界点の平均場理論は、システムの空間次元が、ほとんどの場合、物理次元1、2、3を除外する、上部臨界次元と呼ばれる特定の次元よりも高い場合にのみ正しいということです。平均場理論の問題点は、臨界指数が空間次元に依存しないことです。このため、臨界次元より低い次元では、真の臨界指数が平均場理論の値と異なるため、定量的な不一致が生じます。平均場理論では臨界点が存在すると予測されるにもかかわらず、実際には臨界点が存在しない低空間次元では、定性的な不一致が生じることさえあります。これは、相転移が存在しない次元1のイジングモデルの場合に当てはまります。平均場理論が定性的に不正確になる空間次元は、下部臨界次元と呼ばれます。

αの最も正確に測定された値は、超流動ヘリウムの相転移(いわゆるラムダ転移) に対して −0.0127(3) です。この値は、サンプル内の圧力差を最小限に抑えるためにスペースシャトルで測定されました。^{[ 2 ]}この値は、高温膨張技術、モンテカルロ法、および共形ブートストラップから得られた最も精密な理論的決定値^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}と大きく異なっています。^{[ 6 ]}

臨界指数は、格子モデルのモンテカルロ法によって評価できます。この第一原理に基づく方法の精度は、利用可能な計算リソースに依存し、それが無限体積極限まで計算できるかどうか、また統計誤差を低減できるかどうかを決定します。他の手法は、臨界ゆらぎの理論的理解に基づいています。最も広く適用されている手法は、繰り込み群です。共形ブートストラップは、より最近開発された手法であり、イジング臨界指数に対して比類のない精度を達成しています。

臨界スケーリングを考慮すると、すべての熱力学的量を無次元量で表し直すことができる。臨界点に十分近い場合、すべての量は、無次元量のべき乗の特定の比率で表すことができる。これらがスケーリング関数である。

スケーリング関数の起源は、繰り込み群から見ることができる。臨界点は赤外固定点である。臨界点の十分小さな近傍では、繰り込み群の作用を線形化することができる。これは基本的に、システムを係数aで再スケーリングすることは、演算子とソース場をある Δ に対して係数a ^Δで再スケーリングすることと同等であることを意味する。したがって、すべての量を、再スケーリングされたスケールに依存しない量で再パラメータ化することができる。

長い間、臨界指数は臨界温度より上と下で同じであると考えられていました。例えば、α ≡ α ′またはγ ≡ γ ′などです。しかし、これは必ずしも真ではないことが現在では示されています。連続対称性が、無関係な（繰り込み群の意味で）異方性によって離散対称性に明示的に破られる場合、指数γとγ ′ は同一ではありません。^{[ 7 ]}

臨界指数はギリシャ文字で表されます。これらは普遍性クラスに属し、スケーリング関係とハイパースケーリング関係に従います。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}}$

これらの式は、 νとηという2つの独立した指数のみが存在することを示唆している。これらはすべて繰り込み群の理論から導かれる。

相転移と臨界指数は、格子の「占有された」サイトまたはリンクの濃度が相転移の制御パラメータとなるパーコレーション過程にも現れる（物理学における古典的な相転移における温度とは対照的である）。最も単純な例の1つは、2次元正方格子におけるベルヌーイパーコレーションである。サイトは確率でランダムに占有される。${\displaystyle p}$クラスターは、最も近い隣接占有サイトの集合として定義されます。${\displaystyle p}$占有されたサイトは小さな局所的なクラスターを形成するだけである。浸透閾値では${\displaystyle p_{c}\approx 0.5927}$（臨界確率とも呼ばれる）システムの反対側のサイトにまたがるスパンニングクラスターが形成され、普遍的な臨界指数によって特徴付けられる二次相転移が生じる。^{[ 8 ] [ 9 ]}パーコレーションの場合、普遍性クラスはイジング普遍性クラスとは異なる。例えば、相関長臨界指数は${\displaystyle \nu =4/3}$ 2Dベルヌーイパーコレーションと比較して${\displaystyle \nu =1}$2次元イジングモデルの場合。

相関長が方向に依存する異方性システムもいくつか存在する。

指向性パーコレーションは異方性パーコレーションとみなすこともできる。この場合、臨界指数は異なり、上限臨界次元は5である。^{[ 10 ]}

多重臨界点、境界、または臨界多様体の交点では、より複雑な挙動が生じる可能性がある。これらの臨界点は、温度や圧力などの2つ以上のパラメータの値を調整することによって実現できる。

上記の例は、臨界システムの静的特性のみを指しています。しかし、システムの動的特性も臨界状態になることがあります。特に、システムの特性時間τ _charは、動的指数zを用いてτ _char ∝ ξ ^zのように発散します。さらに、静的臨界指数が同一である等価モデルの大きな静的普遍性クラスは、動的指数も同一であるという条件を課すと、より小さな動的普遍性クラスに分解されます。

平衡臨界指数は共形場理論から計算できる。

散逸系における自己組織化臨界性についても、臨界指数が存在する。

• 臨界指数の数値に対する普遍性クラス
• 複雑なネットワーク
• ランダムグラフ
• ラッシュブルックの不平等
• ウィズダムスケーリング
• 共形ブートストラップ
• イジング臨界指数
• 浸透臨界指数
• ネットワーク科学
• 浸透理論
• グラフ理論

• Hagen Kleinertおよび Verena Schulte-Frohlinde、「Critical Properties of φ ⁴ -Theories」、World Scientific (シンガポール、2001)。ペーパーバックISBN 981-02-4658-7
• 戸田正明、久保良一、斎藤直樹、『統計物理学 I』、シュプリンガー・フェルラーク（ベルリン、1983年）；ハードカバーISBN 3-540-11460-2
• JMYeomans著、『相転移の統計力学』、オックスフォード・クラレンドン出版
• H・E・スタンレー著『相転移と臨界現象入門』、オックスフォード大学出版局、1971年
• Sklogwikiの普遍性クラス
• ジン＝ジャスティン、ジャン（2002）。量子場理論と臨界現象、オックスフォード、クラレンドン・プレス（2002）、ISBN 0-19-850923-5
• Zinn-Justin, J. (2010). "臨界現象：場の理論的アプローチ" Scholarpedia記事 Scholarpedia、5(5):8346。
• D. Poland、S. Rychkov、A. Vichi、「共形ブートストラップ：理論、数値的手法、および応用」、Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002、http://arxiv.org/abs/1805.04405
• F. Leonard および B. Delamotte 「臨界指数は遷移の両側で異なる可能性がある: 一般的なメカニズム」、Phys. Rev. Lett. 115、200601 (2015)、https://arxiv.org/abs/1508.07852、