クッタ・ジュコフスキーの定理

まず、任意の断面を持つ円筒の各単位長さに作用する力を計算する。^{[ 7 ]}この単位長さあたりの力（以下、単に力と呼ぶ）を${\displaystyle \mathbf {F} }$すると、合計力は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}$

ここでCは円筒の境界線を表し、${\displaystyle p}$は流体の静圧であり、${\displaystyle \mathbf {n} \,}$は円筒に垂直な単位ベクトルであり、 dsは断面の境界線の弧要素である。${\displaystyle \phi }$を法線ベクトルと鉛直方向との間の角度とする。すると、上記の力の成分は次のようになる。

${\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\,,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}$

ここで重要なステップが出てきます。使用する2次元空間を複素平面として考えてみましょう。すると、すべてのベクトルは複素数として表すことができ、その第1成分は複素数の実部、第2成分は複素数の虚部となります。すると、力は次のように表すことができます。

${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}$

次のステップは、力の複素共役を取ることです。${\displaystyle F}$そして、いくつかの操作を行う：

${\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}$

表面セグメントdsは、それに沿った変化dzと次のような関係にある。

${\displaystyle {\begin{aligned}dz&=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\\{}\Rightarrow d{\bar {z}}&=e^{-i\phi }ds.\end{aligned}}}$

これを積分式に代入すると、次のようになります。

${\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}$

ここで、積分から圧力を取り除くためにベルヌーイの式を使用します。解析全体を通して、外部の力場は存在しないと仮定します。流れの質量密度は${\displaystyle \rho .}$そして圧力${\displaystyle p}$速度に関係する${\displaystyle v=v_{x}+iv_{y}}$による：

${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}$

これにより、力が${\displaystyle F}$になる:

${\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}$

残りの手順は1つだけです。${\displaystyle w=f(z),}$流れの複素ポテンシャル。これは速度成分と関連しており、${\displaystyle w'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}},}$ここで、アポストロフィは複素変数zに関する微分を表します。速度は境界線Cに接しているので、これは次のことを意味します。${\displaystyle v=\pm |v|e^{i\phi }.}$したがって、${\displaystyle v^{2}d{\bar {z}}=|v|^{2}dz,}$そして、力の望ましい表現が得られる。

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}$

これはブラジウスの定理と呼ばれています。

ジュコフスキーの公式を導出するには、この積分を評価する必要があります。複素解析から、正則関数はローラン級数として表せることが知られています。問題の物理的性質から、複素ポテンシャルの導関数は${\displaystyle w}$以下のように表示されます。

${\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\cdots .}$

速度は無限遠でも有限なので、この関数には高次の項は含まれません。${\displaystyle a_{0}\,}$これは、無限遠点における複素ポテンシャルの導関数を表します。${\displaystyle a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,}$次の課題は、の意味を調べることです。${\displaystyle a_{1}\,}$上記の級数に留数定理を適用すると、次のようになります。

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}$

次に、上記の統合を実行します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}w'(z)\,dz&=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)\\&=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)\\&=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).\end{aligned}}}$

最初の積分は、で示される循環として認識される。${\displaystyle \Gamma .}$2番目の積分は、いくつかの操作の後、評価できます。

${\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}$

ここ${\displaystyle \psi \,}$は流れ関数です。円柱のC境界自体が流線であるため、流れ関数はそこで変化せず、${\displaystyle d\psi =0\,}$したがって、上記の積分はゼロとなる。結果として：

${\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}$

数列の二乗をとる。

${\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\cdots .}$

これをブラジウス・チャプリギン公式に代入し、留数定理を用いて積分を実行すると次のようになる。

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}$

したがって、クッタ・ジュコフスキーの公式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=\rho \Gamma v_{y\infty }\,,&F_{y}&=-\rho \Gamma v_{x\infty }.\end{aligned}}}$