渦巻きシート

渦シートとは、流体力学において、流体の層が他の層の上に滑り落ちるなど、流体速度に不連続性がある表面を指す用語です。 ^[1]流速の接線方向成分は渦シート全体で不連続ですが、流速の法線方向成分は連続しています。接線方向速度の不連続性は、渦シート上で 流れが無限大の渦度を持つことを意味します。

レイノルズ数が高い場合、渦シートは不安定になる傾向があります。特に、ケルビン・ヘルムホルツ不安定性を示す場合があります。

渦シートの運動方程式の定式化は、複素座標 で与えられます。シートは、 によってパラメータ的に記述されます。ここで 、は座標と基準点の間の弧長 、 は 時間です。はシートの強度、つまり接線方向の不連続性のジャンプを表します。シートによって誘発される速度場は、 ${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle z(s,t)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \gamma (s,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma (s',t)\mathrm {d} s'}{z(s,t)-z(s',t)}}}$

上記の式の積分は、コーシー主値積分です。ここでは、円弧長を持つ点 とシート内の 基準材料点 の間の積分シート強度または循環として定義します。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle \Gamma (s,t)=\int \limits _{0}^{s}\gamma (s',t)\mathrm {d} s'\qquad \mathrm {and} \qquad {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} s}}=\gamma (s,t)}$

ケルビンの循環定理の結果として、シートに外力が作用していない場合、シート内の任意の 2 つの物質点間の循環は保存されるため、 となります。シートの運動方程式は、変数変換によってとで書き直すことができます。パラメータ は に置き換えられます。つまり、 ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma /\mathrm {d} t=0}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \ガンマ}$

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\Gamma '}{z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t)}}}$

この非線形積分微分方程式は、バーコフ・ロット方程式と呼ばれます。これは、初期条件が与えられた場合の渦シートの進化を記述します。渦シートの詳細については、Saffman (1977) の教科書を参照してください。

渦シートになると、粘性作用により拡散します。 における平面の一方向の流れを考えてみましょう。 ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle u={\begin{cases}+U,&{\text{for }}y>0\\-U,&{\text{for }}y<0\end{cases}}}$

は渦シートの存在を示唆している。速度不連続は^[2]に従って滑らかになる。${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2{\sqrt {\pi \nu t}}}}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-( sy)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s-\int _{0}^{\infty }e^{-(s+y)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s\right].}$

ここで は動粘性である。唯一のゼロでない渦度成分は方向であり、次式で与えられる。 ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \omega _{z}=-{\frac {U}{\sqrt {\pi \nu t}}}e^{-y^{2}/4\nu t}}$。

流れ方向に周期的な境界を持つ平坦な渦シートは、高レイノルズ数における一時的な自由せん断層をモデル化するために使用できます。周期的な境界の間隔が長さ であると仮定します 。すると、渦シートの運動方程式は次のように簡約されます。 ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2}}\int \limits _{0}^{1}\cot \pi (z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t))\;d\Gamma '}$

上式の積分はコーシー主値積分であることに注意する。一定の強度を持つ平坦な渦シートの初期条件は である。平坦な渦シートは平衡解である。しかし、 という形の微小周期擾乱に対しては不安定である。線型理論によれば、フーリエ係数はに比例する速度で指数的に増加する。つまり、フーリエモードの波数が高いほど、増加速度が速くなる。しかし、線型理論は初期状態を超えて拡張することはできない。非線形相互作用を考慮に入れると、漸近解析によれば、 が大きく有限な （ここで は臨界値）に対して、フーリエ係数は指数的に減少する。渦シート解は臨界時点で解析性を失うことが予想される。Moore (1979)、および Meiron、Baker、Orszag (1983) を参照。 ${\displaystyle z(\Gamma ,0)=\Gamma }$${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }A_{k}\mathrm {e} ^{\imath 2\pi k\Gamma }}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle t<t_{c}}$${\displaystyle t_{c}}$${\displaystyle A_{k}}$

Birkoff-Rott 方程式で与えられる渦シート解は、臨界時間を超えることはできません。渦シートの解析性の自発的な喪失は数学的モデリングの結果です。なぜなら、粘性を持つ実際の流体は、それがどんなに小さくても、特異点を発現することはないからです。粘性は、実際の流体では平滑化または正則化パラメータとして機能します。渦シートについては広範囲にわたる研究が行われてきましたが、そのほとんどは、特異点除去の有無にかかわらず、離散的または点渦近似によるものでした。点渦近似とデルタ正則化を使用して、Krasny (1986) は、渦シートが二重分岐螺旋に滑らかに巻き上がることを達成しました。点渦は本質的に無秩序であるため、丸め誤差の増加を制御するにはフーリエ フィルタが必要です。循環密度の円弧状の拡散を伴う渦パネルによる渦シートの連続近似でも、シートが二重分岐螺旋に巻き上がることがわかります。

多くの工学および物理学の応用において、一時的な自由せん断層の成長は興味深いものです。自由せん断層の厚さは通常、運動量厚さによって測定され、次のように定義されます。

${\displaystyle \theta =\int \limits _{y=-\infty }^{\infty }\left({\frac {1}{4}}-\left({\frac {\left\langle u\right\rangle }{2U}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} y}$

ここで、 は自由流の速度です。運動量の厚さは長さの次元を持ち、無次元の運動量の厚さは で与えられます。運動量の厚さは渦層の厚さを測定するために使用できます。 ${\displaystyle \left\langle u\right\rangle ={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}\ u(x,y,t)dx}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \theta _{ND}=\theta /L}$

• 渦輪
• ハンバーガーの渦巻きシート