カー・ニューマン計量

カー・ニューマン計量は、電気的に帯電し回転する質量の周囲の時空幾何学を記述する。これは真空解であり、カー計量（電荷を持たない回転質量を記述する）を電磁場のエネルギーも考慮に入れることで一般化したもので、一般相対性理論におけるアインシュタイン・マクスウェル方程式の最も一般的な漸近的に平坦で定常的な解となる。電気真空解であるため、磁場に関連する電荷のみを含み、自由電荷は含まない。

カー・ニューマン計量は、主に理論的な関心の対象である。天体には回転軸と磁場軸が存在するが、この計量は軸が一致している場合にのみ有効である。このモデルは、落下するバリオン物質、光（ヌルダスト）、暗黒物質の記述を欠いているため、恒星質量ブラックホールや活動銀河核の記述は不完全である。しかしながら、この解は数学的に興味深く、今後の研究のための比較的単純な基礎を提供する。

1963 年 12 月、ロイ・カーとアルフレッド・シルトは、ミンコフスキー空間の正確な線形摂動であるすべてのアインシュタイン空間を与えるカー・シルト計量を発見した。1964 年初頭、カーは、同じ性質を持つすべてのアインシュタイン・マクスウェル空間を調べた。1964 年 2 月までに、カー・シルト空間が電荷を持つ特殊なケース (カー・ニューマン解を含む) は知られていたが、特殊な方向が基礎となるミンコフスキー空間の測地線ではない一般のケースは非常に難しいことが判明した。この問題はジョージ・デブニーに解決を依頼されたが、1964 年 3 月までに断念された。この頃、エズラ・T・ニューマンは推測で電荷を持つカーの解を発見した。1965 年、エズラ「テッド」ニューマンは、回転し電気的に帯電しているブラックホールのアインシュタイン場の方程式の軸対称解を発見した。^{[ 1 ] [ 2 ]}この計量テンソルの式は、カー・ニューマン計量と呼ばれます。これは、2年前にロイ・カーによって発見された、電荷を持たない回転点質量に対するカー計量の一般化です。^{[ 3 ]}

ニューマンの結果は、 4次元の電磁場が存在する場合におけるアインシュタイン方程式の、最も単純な定常的、軸対称、漸近的に平坦な解を表している。これは、アインシュタイン方程式の「電気真空」解と呼ばれることもある。

解にはリング状の特異点が含まれている。解の多重極構造は、解が対称軸を中心に回転する電荷リングの場を表していることを示唆している。同様に、カー解は質量リングの場を表している。しかし、この単純な見方が数学的に正しいためには、多価挙動を破るために、電荷（カーの場合は質量）が解の特異リングの周囲に分布している必要がある。^{[ 1 ]}

カー・ニューマン源は、回転軸が磁気軸と一致している。^{[ 4 ]}したがって、カー・ニューマン源は、回転軸と磁気モーメントの間に大きな角度がある、一般的に観測される天体とは異なる。[5] 具体的には、太陽も太陽系の惑星^も、磁場双極子が自転軸と一致していない。したがって、カー解は太陽と惑星の重力場を記述するが、磁場は必然的に異なるプロセスによって生じる。

カー・ニューマン計量は、極限の場合において一般相対性理論の他の厳密解に帰着することがわかった。それは^{[ 6 ] : 61に帰着する。}

• 電荷Qがゼロに近づくときのカー計量。
• 角運動量J (またはa = J / M ) がゼロに近づくときのライスナー・ノルドシュトロム計量。
• シュワルツシルト計量では、電荷Qと角運動量J (またはa ) の両方がゼロとみなされます。
• 質量M、電荷Q、および回転パラメータaがすべてゼロの場合、ミンコフスキー空間となる。

関連する4つの解決策は、以下の表にまとめられます。

ここで、Qは物体の電荷、Jはそのスピン角運動量である。

カー・ニューマン解において重力定数Gをゼロとすると、ミンコフスキー空間に境界を持つ回転する帯電円盤からの電磁場が得られる。^{[ 7 ] [ 8 ]}カー・ニューマン解自体は、アインシュタイン・マクスウェル方程式のより一般的な厳密解の特殊な場合である。より一般的な解には、宇宙定数、ニューマン・ウンティ・タンブリーノ（NUT）パラメータ、および磁荷が含まれる。^{[ 9 ] : 324}

カー・ニューマン計量は、質量M、電荷Q、角運動量Jを持つ回転する荷電ブラックホールの時空の幾何学を記述します。この計量の式は、どの座標または座標条件を選択するかによって異なります。以下に、ボイヤー・リンドクイスト座標とカー・シルト座標の 2 つの形式を示します。重力計量だけではアインシュタイン場の方程式の解を決定するには不十分であり、電磁応力テンソルも与える必要があります。どちらも各セクションで提供されます。

この計量を表現する一つの方法は、特定の球面座標系^{[ 10 ]}（ボイヤー・リンドクイスト座標とも呼ばれる）でその線要素を書き出すことである。

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=-\left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}\right)\rho ^{2}+\left(c\,dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}-\left(\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -ac\,dt\right)^{2}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}},}$

ここで、( r , θ , ϕ )は標準球面座標であり、長さスケールは次のとおりです。

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}\,,}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}+r_{Q}^{2}\,,}$

簡潔にするために導入した。ここでr _{sは質量体の}シュワルツシルト半径であり、その全質量相当Mと次の関係にある。

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

ここで、Gは重力定数であり、rQ_は質量の電荷Qに対応する長さスケールである。

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}},}$

ここで、_ε₀は真空の誘電率である。

Kerr–Newman メトリックは、1965 年にKerrとSchildによって提案された特定のデカルト座標を使用してKerr–Schild形式で表現できます。メトリックは次のとおりです。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

${\displaystyle f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

ここで、kは単位ベクトルです。ここで、 Mは回転体の一定質量、Qは回転体の一定電荷、ηはミンコフスキー計量、a  = J / Mは回転体の一定回転パラメータです。ベクトルは、 ${\displaystyle {\vec {a}}}$は正のz軸に沿って方向付けられている、つまり${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {z}}}$量rは半径ではなく、むしろ関係式によって暗黙的に定義される。

${\displaystyle 1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}.}$

量rは通常の半径Rとなる

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

回転パラメータa がゼロに近づくとき。この形式の解では、光速が 1 ( c = 1 ) になるように単位が選択されます。アインシュタイン-マクスウェル方程式の完全な解を提供するために、カー-ニューマン解には計量テンソルの式だけでなく、電磁ポテンシャルの式も含まれています。^{[ 13 ] [ 16 ]}

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }}$

光源から遠い距離（R ≫ a）では、これらの式はライスナー・ノルドシュトロム計量に帰着し、以下のようになる。

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }}$

Kerr–Newman計量のKerr–Schild形式では、計量テンソルの行列式は、ソースの近くでもどこでも-1に等しい。^{[ 9 ]}

電場エネルギーと回転エネルギーを含む全質量等価Mと既約質量Mirr_は^{[ 19 ] [ 20 ]}によって関連付けられている。

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-(r_{Q}^{2}+a^{2})c^{4}/G^{2}}}}}}$

これは解くと

${\displaystyle M={\frac {4M_{\rm {irr}}^{2}+r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}}{2{\sqrt {4M_{\rm {irr}}^{2}-a^{2}c^{4}/G^{2}}}}}}$

中性で静止した物体を電気的に帯電および/または回転させるには、システムにエネルギーを印加する必要があります。質量エネルギー等価性により、このエネルギーには質量等価性も存在します。したがって、M_は常に Mirr より大きくなります。たとえば、ブラックホールの回転エネルギーがペンローズ過程によって抽出された場合、^{[ 21 ] [ 22 ]}_{残りの質量エネルギーは常に}Mirr以上になります。

設定${\displaystyle 1/g_{rr}}$0 にして解く${\displaystyle r}$ボイヤー・リンドクイスト座標に位置する内側および外側の事象の地平線を示す。

${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}-r_{Q}^{2}}}.}$

この手順を繰り返す${\displaystyle g_{tt}}$内側と外側のエルゴサーフェス

${\displaystyle r_{\text{E}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}\cos ^{2}\theta -r_{Q}^{2}}}.}$

事象の地平線とエルゴ面の間の領域はエルゴ球と呼ばれる。エルゴ球内では、すべての局所的な光円錐は回転方向に傾いている。^{[ 8 ]： 18}

簡潔にするため、さらに無次元化された量を正規化して 使用します。${\displaystyle G}$、${\displaystyle M}$、${\displaystyle c}$そして${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$、 どこ${\displaystyle a}$に縮小${\displaystyle Jc/G/M^{2}}$そして${\displaystyle Q}$に${\textstyle Q/(M{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}})}$、電荷を持つ試験粒子の運動方程式${\displaystyle q}$なる^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle {\dot {t}}\Delta \rho ^{2}=\csc ^{2}\theta \ ({L_{z}}(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}$

${\displaystyle {\dot {r}}\rho ^{2}=\pm \left(((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})\right)^{1/2}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}\rho ^{2}=\pm \left(C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})^{2}/\sin ^{2}\theta \right)^{1/2}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}\rho ^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta =E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }$

と${\displaystyle E}$全エネルギーと${\displaystyle L_{z}}$軸方向角運動量について。${\displaystyle C}$カーター定数とは：

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta ={\rm {const}},}$

どこ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}\ \rho ^{2}}$は試験粒子の角運動量のポロイダル成分であり、${\displaystyle \delta }$軌道傾斜角。

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=-g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}-g_{t\phi }{\dot {t}}-q\ A_{\phi }={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}}+{\frac {(1-\mu ^{2}v^{2})\ a\ r\ \mho \ q\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

そして

${\displaystyle E=-p_{t}=g_{tt}{\dot {t}}+g_{t\phi }{\dot {\phi }}+q\ A_{t}={\sqrt {\frac {\Delta \ \rho ^{2}}{(1-\mu ^{2}v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}+{\frac {\mho \ q\ r}{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

と${\displaystyle \mu ^{2}=0}$そして${\displaystyle \mu ^{2}=1}$粒子についても、それらは保存量である。

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi }}}$

はフレームの引きずりによって生じる角速度です。略称${\displaystyle \chi }$定義される

${\displaystyle \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta .}$

座標微分間の関係${\displaystyle {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\phi }}}$そして局所的な3速度${\displaystyle v}$は

${\displaystyle v^{r}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}{\Delta }}}}$

放射状の場合、

${\displaystyle v^{\theta }={\dot {\theta }}\ {\sqrt {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}}}$

ポロイダル方向の場合、

${\displaystyle v^{\phi }={\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}\left(L_{z}\ \Sigma -a\ q\ Q\ r\left(1-\mu ^{2}v^{2}\right)\sin ^{2}\theta \right)\cdot ({\bar {R}}\ \Sigma )^{-1}}$

軸方向と

${\displaystyle v={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \ \rho ^{2}}{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}}$

全局所速度の場合、

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {-g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\rho ^{2}}}}\ \sin \theta }$

は軸方向の回転半径（局所円周を2πで割った値）であり、

${\displaystyle \varsigma ={\sqrt {g^{tt}}}={\frac {\chi }{\Delta \ \rho ^{2}}}}$

重力による時間の遅れ成分。したがって、中性粒子の局所的な半径方向脱出速度は次のようになる。

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}.}$

パラメータのセットについて${\displaystyle M^{2}-(J/M)^{2}-Q^{2}=0}$この解は「極値」と呼ばれ、超極値領域では、${\displaystyle M^{2}-(J/M)^{2}-Q^{2}<0}$事象の地平線はなく、内部特異点は裸の特異点として観測される。つまり、カー・ニューマン計量は、電荷と角運動量の合計が質量に比べて十分に小さい場合にのみ、事象の地平線を持つブラックホールを定義する。^{[ 8 ]}

電子の回転パラメータaと電荷長スケールr _{Q は}どちらもシュワルツシルト半径r _sをはるかに超えているため、事象の地平線は存在せず、「ブラックホール電子」は必然的に裸の回転リング特異点となる。^{[ 25 ]}このような計量には、宇宙検閲仮説の違反や、リングのすぐ近くに因果律に違反する閉じた時間的曲線が現れるなど、一見非物理的な性質がいくつかある。^{[ 11 ]}

回転する荷電体のカー・ニューマン解の解析において、ブランドン・カーターは、解が相対論的量子力学的ディラック方程式で予測される値と同じで、電子に​​ついて実験的に観測された値に近い、 2 の磁気回転比を予測すると指摘した。^{[ 11 ] : 1562}これにより、一般相対性理論に基づく電子の非量子モデルを作成するためにカー・ニューマン計量を適用することになった。電子および同様のすべての粒子は、大きな電荷対質量比を持ち、カー・ニューマンパラメータは、事象の地平線はないが裸の特異点がある領域にある。^{[ 26 ] [ 27 ] : 2442}例えば、電子の場合、電荷対質量比2 r _Q / r _s ≈ 10 ²¹とスピン効果は、この限界よりも桁違いに大きい。^{[ 28 ]}

カー・ニューマンポテンシャルを電子の古典モデルとみなすと、電子は磁気双極子モーメントだけでなく、電気四重極モーメントなどの他の多重極モーメントも持つと予測される。^{[ 8 ]}しかし、そのような四重極モーメントの実験的測定は報告されていない。^{[ 28 ]}

• ウォルド、ロバート・M. (1984).一般相対性理論. シカゴ：シカゴ大学出版局. pp. 312–324 . ISBN  978-0-226-87032-8。

• Adamo, Tim; Newman, Ezra (2014). "Kerr–Newman metric" . Scholarpedia . 9 (10) 31791. arXiv : 1410.6626 . Bibcode : 2014SchpJ...931791N . doi : 10.4249/scholarpedia.31791 .エズラ・T・ニューマンとの共著
• 特殊相対性理論入門、第11章：電荷を持つ回転ブラックホールとその熱力学