エボリュート

曲線の微分幾何学では、曲線の縮閉線はその曲線のすべての曲率中心の軌跡です。つまり、曲線上の各点の曲率中心を描くと、結果として得られる形状はその曲線の縮閉線になります。したがって、円の縮閉線はその中心にある単一の点です。^[1] 同様に、縮閉線は曲線の 法線の包絡線です。

曲線、曲面、またはより一般的には部分多様体の縮閉線は、法線マップのコースティックです。MをR ⁿ内の滑らかで正規の部分多様体とします。M内の各点pと、 pを基準としMに垂直な各ベクトルvに対して、点p + vを関連付けます。これにより、法線マップと呼ばれるラグランジュ マップが定義されます。法線マップのコースティックはMの縮閉線です。^[2]

縮閉線は縮閉線と密接に関連しています。曲線は、その縮閉線のいずれかの縮閉線です。

アポロニウス（紀元前200年頃）は円錐曲線の第5巻で縮閉線について論じている。しかし、縮閉線を最初に研究したのはホイヘンス（1673年）だと言われることもある。ホイヘンスは1659年頃に縮閉線理論を定式化し、同同期曲線を見つける問題を解決するのに役立てた。この理論は等時性振り子の構築にも役立った。これは同同期曲線がサイクロイドであり、サイクロイドには縮閉線もサイクロイドであるというユニークな性質があるためである。実際、縮閉線理論によってホイヘンスは後に微積分学で発見される多くの結果を得ることができた。^[3]

が、曲率がどこでも 0 ではなく、曲率半径を持ち、単位法線が曲率中心を指している 平面上の正規曲線のパラメトリック表現である場合、 は指定された曲線の縮閉線 を表します 。 ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle \rho (t)}$${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$$${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)}$$

とする と、 ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle {\vec {E}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}}$$${\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}}$$$${\displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.}$$

正規曲線の特性を導くには、およびのため、与えられた曲線の弧の長さを そのパラメータとして使用するのが有利です(フレネ・セレの公式を参照)。したがって、縮閉線の接線ベクトルは次のようになります。 この式から、縮閉線の次の特性が得られます。 ${\displaystyle s}$${\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1}$${\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }$${\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}}$$${\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .}$$

• 縮閉線のある点では、縮閉線は正規ではありません。つまり、最大または最小の曲率を持つ点 (与えられた曲線の頂点) では、縮閉線に尖点があります。(放物線、楕円、サイクロイド、ネフロイドの縮閉線の図を参照してください。)${\displaystyle \rho '=0}$
• 尖端を含まない縮閉線の任意の弧の長さは、その端点における曲率半径の差に等しい。この事実は、接触円の入れ子に関するテイト・クネーザー定理の簡単な証明につながる。^[4]
• 与えられた曲線の曲率がゼロでない点における法線は縮閉線の接線であり、曲率がゼロの点における法線は縮閉線の漸近線です。したがって、縮閉線は与えられた曲線の法線の包絡線です。
• 曲線の または の部分では、曲線はその縮閉線の閉曲線になります。(図では、青い放物線は赤い半三次放物線の閉曲線であり、実際には青い放物線の縮閉線です。)${\displaystyle \rho '>0}$${\displaystyle \rho '<0}$

最後の特性の証明:を考察のセクションと
します。縮閉曲線のインボリュートは次のように記述できます。 ここで は固定された弦の延長です (パラメーター化された曲線のインボリュート を参照)。 および を使用すると、次の式が得られます 。つまり、弦の延長に対して、指定された曲線が再現されます。 ${\displaystyle \rho '>0}$$${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{\left|{\vec {E}}'\right|}}\left(\int _{0}^{s}\left|{\vec {E}}'(w)\right|\mathrm {d} w+l_{0}\right),}$$${\displaystyle l_{0}}$
${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}$${\displaystyle \rho '>0}$$${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\left(\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}\right)={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\,.}$$${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$

• 平行曲線は同じ縮閉線を持ちます。

証明:与えられた曲線から離れた距離にある平行曲線は、パラメトリック表現と曲率半径を持ちます（平行曲線を参照）。したがって、平行曲線の縮閉線は${\displaystyle d}$${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$$${\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}$$

パラメトリック表現による放物線については、上記の式から次の式が得られます。 これは半三次放物線を表します。${\displaystyle (t,t^{2})}$$${\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}$$ $${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\,,}$$

楕円のパラメトリック表現では次の式が得られる: ^[5] これらは非対称小惑星の方程式である。パラメータを消去すると暗黙の表現が得られる。 ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ $${\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t}$$ $${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t\;.}$$${\displaystyle t}$$${\displaystyle (aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .}$$

パラメトリック表現を持つサイクロイドの場合、縮閉線は次のようになります。^[6] これはそれ自体の転置された複製を表します。 ${\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))}$ $${\displaystyle X=\cdots =r(t+\sin t)}$$ $${\displaystyle Y=\cdots =r(\cos t-1)}$$

対数美的曲線の縮閉線は、別の対数美的曲線である。^{[7]この関係の一例としては、}オイラー螺旋の縮閉線がチェザロ方程式 を持つ螺旋であることがあげられる。^[8]${\displaystyle \kappa (s)=-s^{-3}}$

縮閉線

• 放物線は半三次放物線である（上記参照）。
• 楕円は非対称小惑星である（上記参照）。
• 線の理想的な点、
• 腎腫は腎腫（半分の大きさ、図を参照）である。
• 小惑星の2倍の大きさの小惑星である。
• カーディオイドはカーディオイド（大きさは3分の1）
• 円の中心は
• 三角筋は三角筋（3倍の大きさ）
• サイクロイドは合同なサイクロイドである。
• 対数螺旋は同じ対数螺旋であり、
• トラクトリックスの代表的なものは懸垂線です。

同様の定義を持つ曲線は、与えられた曲線の半径です。曲線上の各点について、その点から曲率中心へのベクトルを取り、原点から始まるように平行移動します。次に、そのようなベクトルの終点の点の軌跡を曲線の半径と呼びます。半径の式は、縮閉線の式から x項とy項を削除することで得られます。これにより、次の式が得られます。$${\displaystyle (X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right).}$$

• Weisstein、Eric W.「Evolute」。MathWorld。
• ソコロフ、DD (2001) [1994]、「Evolute」、数学百科事典、EMS Press
• Yates, RC:曲線とその特性に関するハンドブック、JW Edwards (1952)、「Evolutes」、pp. 86ff
• 2D 曲線上で縮閉します。