カテゴリーのローカライズ

数学において、カテゴリの局所化とは、カテゴリにいくつかの射の集合に対する逆射を追加し、それらが同型になるように制約することです。これは形式的には環の局所化のプロセスに似ており、一般に、以前は同型ではなかったオブジェクトを同型にします。たとえば、ホモトピー理論では、ホモトピーまで可逆なマッピングの例が多数あり、そのためホモトピー同値空間の大きなクラスがあります^{[説明が必要]}。分数微積分は、局所化されたカテゴリでの作業の別名です。

カテゴリC は、 オブジェクトと、これらのオブジェクト間の射から構成されます。射は、オブジェクト間の関係を反映します。多くの場合、特定の射が同型になるように強制される別のカテゴリC'でC を置き換えることは意味があります。このプロセスは、局所化と呼ばれます。

例えば、 R加群のカテゴリ（ある固定された可換環Rに対して）では、 Rの固定された元rによる乗算は通常（つまり、rが単位元でない限り）、同型ではありません。

${\displaystyle M\to M\quad m\mapsto r\cdot m.}$

R加群に最も密接に関連しているが、この写像が同型であるカテゴリは、加群のカテゴリであることが判明しています。これは、 rのすべてのべき乗からなる（乗法的に閉じた）部分集合Sに関するRの局所化です。 「最も密接に関連している」という表現は、2つの条件によって形式化されます。まず、関手が存在することです。${\displaystyle R[S^{-1}]}$${\displaystyle R[S^{-1}]}$${\displaystyle S=\{1,r,r^{2},r^{3},\dots \}}$

${\displaystyle \varphi :{\text{Mod}}_{R}\to {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\quad M\mapsto M[S^{-1}]}$

任意のR加群をSに関する局所化に送る。さらに、任意のカテゴリCと任意の関手

${\displaystyle F:{\text{Mod}}_{R}\to C}$

任意のR加群（上記参照）上のrによる乗算写像をCの同型に送ると、一意の関手が存在する。

${\displaystyle G:{\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to C}$

となる。 ${\displaystyle F=G\circ\varphi}$

上記のRモジュールのローカリゼーションの例は、次の定義で抽象化されています。この形で、さらに多くの例に適用され、そのうちのいくつかを以下に概説します。

カテゴリー CとC内の射の何らかのクラスWが与えられたとき、局所化C [ W ⁻¹ ] はW内のすべての射を反転することによって得られる別のカテゴリーです。より正式には、これは普遍的な性質によって特徴付けられます。自然な局所化関手C → C [ W ⁻¹ ]があり、別のカテゴリーDが与えられたとき、関手F : C → DがC [ W ⁻¹ ]上で一意に因数分解されるためには、F がW内のすべての矢印を同型に送る必要があります。

したがって、カテゴリの局所化は、カテゴリの一意な同型が存在する限り一意である。局所化の1つの構成は、そのオブジェクトがCのオブジェクトと同じであると宣言することによって行われるが、射はWの各射の形式的な逆を追加することによって強化される。Wに関する適切な仮定の下では、^{[1]オブジェクト}XからオブジェクトYへの射は屋根によって与えられる。

${\displaystyle X{\stackrel {f}{\leftarrow }}X'\rightarrow Y}$

(ここで、X' はCの任意のオブジェクトであり、f は与えられた射のクラスWにあります)、特定の同値関係を法として。これらの関係は、「間違った」方向に進むマップをfの逆に変換します。この「分数の計算」は、整数のペアの同値クラスとしての有理数の構築の一般化として見ることができます。

しかし、この手順は一般に、XとY の間の適切な射のクラスを生成します。通常、カテゴリ内の射は集合を形成することしかできません。一部の著者は、このような集合論的な問題を単に無視します。

これらの集合論的問題を避けながら、カテゴリの局所化を厳密に構築することが、モデルカテゴリの理論が開発された当初の理由の 1 つでした。モデルカテゴリMは、3 つのマップのクラスが存在するカテゴリです。これらのクラスの 1 つは、弱い同値性のクラスです。ホモトピーカテゴリHo( M ) は、弱い同値性に関する局所化です。モデルカテゴリの公理により、この局所化は集合論的な困難なしに定義できます。

また、カテゴリCの局所化を冪等かつ共増関数として定義する著者もいます。共増関数とは、 L:C → Cが自己関数であり、l:Id → Lが恒等関数からLへの自然変換(共増と呼ばれる)であるペア(L,l)です。共増関数が冪等であるとは、すべてのXに対して、両方の写像L(l _X ),l _L(X) :L(X) → LL(X)が同型であるときです。この場合、両方の写像が等しいことが証明できます。^[2]

この定義は、上記の定義と次のように関連している。最初の定義を適用すると、多くの状況では、標準的な関数だけでなく、反対方向の関数も 存在する。${\displaystyle C\to C[W^{-1}]}$

${\displaystyle C[W^{-1}]\to C.}$

例えば、環の局所化上の加群はR自身の加群でもあるので、関数 ${\displaystyle R[S^{-1}]}$

${\displaystyle {\text{Mod}}_{R[S^{-1}]}\to {\text{Mod}}_{R}}$

この場合、構成

${\displaystyle L:C\to C[W^{-1}]\to C}$

は、冪等かつ共拡張された関数という意味で のCの局所化です。

セールは、アーベル群のいくつかのクラスCを法としてホモトピー理論 を扱うというアイデアを導入しました。これは、たとえばA/B がC内にある場合、グループAとBが同型として扱われることを意味しました。

可換環R上の加群の理論において、R がKrull 次元≥ 2を持つとき、 M/N が少なくとも 2 の余次元のサポートを持つ場合、加群MとN を擬同型として扱うことが有用である。この考え方は岩澤理論でよく使われる。

アーベル圏の導来圏はホモロジー代数でよく使われる。これは、準同型に関する鎖複体の圏（ホモトピーまで）の局所化である。

アーベル圏 Aとセール部分圏 Bが与えられた場合、商圏 A/Bを定義できます。これは、本質的に射影的で核Bを持つ、AからA/Bへの正確な関数を備えたアーベル圏です。この商圏は、核と余核の両方がBにある射のクラスによるAの局所化として構築できます。

アーベル多様体Aから別のアーベル多様体Bへの同型射は、有限核を持つ射影写像である。アーベル多様体に関するいくつかの定理は、その便利な記述のために同型射までのアーベル多様体の概念を必要とする。例えば、Aのアーベル部分多様体A ₁が与えられたとき、 Aの別の部分多様体A ₂が存在し、

A1 × A2_​​

はAと同型です(ポアンカレの可約定理: たとえばDavid MumfordのAbelian Varietiesを参照)。これを直和分解と呼ぶには、同型までの Abelian Varieties のカテゴリで作業する必要があります。

デニス・サリバンによって導入された位相空間の局所化は、そのホモロジーが元の空間のホモロジーの局所化である別の位相空間を生成します。

ホモトピー代数からのより一般的な概念は、空間とカテゴリの両方の局所化を特別なケースとして含む、モデルカテゴリのバウスフィールド局所化である。バウスフィールド局所化は、特定のマップを弱い同値にすることを強制するが、これは一般に、マップを同型にすることを強制するよりも弱い。^[3]

• 単純化ローカリゼーション