スパン（カテゴリー理論）

圏論において、スパン、ルーフ、対応は、ある圏の2 つのオブジェクト間の関係 の概念の一般化です。圏がすべてのプルバックを持ち (そして他のいくつかの条件も満たす) 場合、スパンは分数の圏の射と見なすことができます。

スパンのコンセプトは、米田信夫 (1954) とJean Bénabou (1967) によって提唱されました。

スパンは、タイプの図、つまり、 形式の図です。 ${\displaystyle \Lambda =(-1\leftarrow 0\rightarrow +1),}$${\displaystyle Y\leftarrow X\rightarrow Z}$

つまり、Λ をカテゴリ (-1 ← 0 → +1) とします。すると、カテゴリC内のスパンは関数 S  : Λ →  Cです。これは、スパンがCの3 つのオブジェクトX、Y、Zと、射f  :  X  →  Yおよびg  :  X  →  Zで構成されることを意味します。つまり、スパンは共通のドメインを持つ 2 つのマップです。

スパンの余極限はプッシュアウトです。

• R が集合 XとYの関係（つまり、X × Yのサブセット）である場合、X ← R → Y はスパンであり、マップは射影マップとです。${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{X}}{\to }}X}$${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y}$
• 任意のオブジェクトは、自明なスパンA ← A → A を生成します。ここで、マップは恒等です。
• より一般的には、をあるカテゴリの射とします。 自明な範囲A ← A → Bが存在し、ここで左写像はA上の恒等写像であり、右写像は与えられた写像φです。${\displaystyle \phi \colon A\to B}$
• Mがモデルカテゴリで、W が弱同値集合である場合、左射がWに含まれる形式のスパンは、一般化された射（つまり、「弱同値を反転する」）と見なすことができます。これは、モデルカテゴリを扱うときに通常取られる観点ではないことに注意してください。${\displaystyle X\leftarrow Y\rightarrow Z,}$

カテゴリCのコスパンKは、関手 K : Λ ^op  →  Cです。これは、 Λ からCへの反変関手と同値です。つまり、型の図、つまり、形式の図です。 ${\displaystyle \Lambda ^{\text{op}}=(-1\rightarrow 0\leftarrow +1),}$${\displaystyle Y\rightarrow X\leftarrow Z}$

したがって、これはCの3 つのオブジェクトX、Y 、 Zと、射f  :  Y  →  Xおよびg  :  Z  →  Xで構成され、共通の共域を持つ 2 つのマップです。

コストパンの限界は引き戻しです。

共線範囲の例としては、2 つの多様体MとNの間の共線範囲 Wが挙げられます。ここで、2 つの写像はWへの包含です。共線範囲は共線範囲ですが、共線範囲のカテゴリは「共線範囲カテゴリ」ではないことに注意してください。これは、「境界に包含物を持つ多様体のカテゴリ」内のすべての共線範囲のカテゴリではなく、むしろそのサブカテゴリです。これは、 MとN がWの境界の分割を形成するという要件がグローバル制約であるためです。

有限次元コボルディズムのカテゴリnCobはダガーコンパクトカテゴリです。より一般的には、有限極限を持つ任意のカテゴリC上のスパンのカテゴリSpan ( C )もダガーコンパクトです。

• 二項関係
• プルバック（カテゴリー理論）
• プッシュアウト（カテゴリー理論）
• コボルディズム