ホム関数

数学、特に圏論において、ホム集合（すなわち、対象間の射の集合）は、集合の圏への重要な関手を生み出す。これらの関手はホム関手と呼ばれ、圏論をはじめとする数学の様々な分野で数多くの応用例がある。

C を局所的に小さな圏とする（つまり、ホムクラスが実際には集合であって真のクラスではない圏）。

Cに含まれるすべての対象AとBに対して、集合の圏への 2 つのファンクターを次のように定義します。

ファンクター Hom( – , B ) は、オブジェクトBの点のファンクターとも呼ばれます。

Hom の第一引数を固定すると自然に共変関手が得られ、第二引数を固定すると自然に反変関手が得られることに注意してください。これは、射を構成する方法に起因するものです。

関数 Hom( A , – ) と Hom( – , B )のペアは自然な関係にある。任意の射f  : B → B ′とh  : A ′ → Aのペアに対して、次の図式は可換である。

どちらの経路も、 g  : A → Bをf ∘ g ∘ h : A ′ → B ′に送ります。 

上記の図の可換性から、Hom( – , – ) はC × CからSetへの双関手であり、第 1 引数に関して反変で、第 2 引数に関して共変であることがわかります。言い換えれば、Hom( – , – ) は双関手であると言えます。

Hom( – , – )  : C ^op × C → Set

ここで、C ^opはCの反対のカテゴリです。Hom ( – , – ) の表記としてHom _C ( – , – )が使われることもあります。これは、ドメインを形成するカテゴリを強調するためです。

上記の可換図を参照すると、すべての射が

h  : A ′ → A

自然の変化を引き起こす

Hom( h , – )  : Hom( A , – ) → Hom( A ′ , – )

そしてすべての射

f  : B → B ′

自然の変化を引き起こす

Hom( – , f )  : Hom( – , B ) → Hom( – , B ' )

米田の補題は、Hom関手間のすべての自然変換がこの形式であることを示唆している。言い換えれば、Hom関手は、圏Cを関手圏Set ^{C op}（使用するHom関手によって共変または反変となる）に完全かつ忠実に埋め込むことを可能にする。

一部の圏には、Hom ファンクターのように振る舞うが、 Setではなく圏C自体の値を取るファンクターが存在する。このようなファンクターは内部 Hom ファンクターと呼ばれ、しばしば次のように表記される。

${\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C}$

製品のような性質を強調するため、または

${\displaystyle \mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C}$

その機能的な性質を強調するため、あるいは単に小文字で表記される場合もある。

${\displaystyle \operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.}$例については、「関係のカテゴリ」を参照してください。

内部に Hom ファンクターを持つ圏は閉じた圏と呼ばれます。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)}$、

ここで、Iは閉圏の単位対象である。閉じたモノイド圏の場合、これはカリー化の概念に拡張され、すなわち、

${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)}$

どこ${\displaystyle \otimes }$は双関手であり、モノイド圏を定義する内部積関手です。同型はXとZの両方で自然です。言い換えれば、閉じたモノイド圏では、内部 Hom 関手は内部積関手の随伴関手です。対象は${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$内部 Homと呼ばれます。${\displaystyle \otimes }$デカルト積${\displaystyle \times }$対象物${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$は指数オブジェクトと呼ばれ、しばしば次のように表記されます。${\displaystyle Z^{Y}}$。

内部ホムは、連鎖的に連結されると、その圏の内部言語と呼ばれる言語を形成します。最も有名な例としては、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算と、閉対称モノイド圏の内部言語である線形型システムが挙げられます。

形式のファンクターに注意してください。

Hom( – , A )  : C ^op → Set

は前層です。同様に、Hom( A , – ) は共前層です。

CのあるAに対してHom( A , – ) と自然に同型な関数F :  C → Setは、表現可能関数(または表現可能共層)と呼ばれます。同様に、Hom( – , A )と同等の反変関数は、共表現可能と呼ばれることがあります。

Hom( – , – )  : C ^op × C → Set はプロファンクターであり、具体的には恒等プロファンクターであることに注意してください。${\displaystyle \operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C}$。

内部ホム関数は限界を保存します。つまり、${\displaystyle \operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C}$制限を制限に送信する一方で${\displaystyle \operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C}$制限を送信${\displaystyle C^{\text{op}}}$つまり、​${\displaystyle C}$極限への変換。ある意味では、これは極限または余極限の定義とみなすことができる。

エンドファンクターHom( E , – )  : Set → Set にはモナドの構造を与えることができます。このモナドは環境（またはリーダー）モナドと呼ばれます。

Aがアーベル圏であり、A がAの対象である場合、Hom _A ( A , – ) は、Aからアーベル群の圏Abへの共変左完全関手です。Aが射影的である場合に限り、完全です。^{[ 2 ]}

R を環、Mを左R加群とする。関手 Hom _R ( M , – ): Mod - R → Abは、テンソル積関手–に随伴する。${\displaystyle \otimes }$_R M : Ab → Mod - R。

• 外部ファンクタ
• ファンクター圏
• 表現可能なファンクター

• n LabのHomファンクター
• n Labの内部Ho