二十面体

幾何学では、正二十面体( / ˌ aɪ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən、 - k ə -、 - k oʊ -/または/ aɪ ˌ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən / ^[1] ) は次のとおりです。 20の面を持つ多面体。名前は古代ギリシャ語の εἴκοσι (eíkosi)  「20」と ἕδρα (hédra)  「座席」に由来しています。複数形は「二十面体」 ( /- d r ə / ) または「二十面体」のいずれかになります。

二十面体には相似でない形状が無数に存在し、その中には他の形状よりも対称性の高いものもあります。最もよく知られているのは、面が 20 個の正三角形である (凸型で星型でない)正二十面体(プラトン立体の 1 つ) です。

正二十面体と呼ばれる物体が 2 つあり、1 つは凸面、もう 1 つは非凸面です。どちらも正二十面体です。それぞれ 30 の辺と 20 の正三角形の面があり、12 の頂点のそれぞれで 5 つの辺が交わります。どちらも正二十面体の対称性があります。「正二十面体」という用語は一般に凸面の種類を指し、非凸面は大二十面体と呼ばれます。

凸正二十面体は、通常単に正二十面体と呼ばれ、5つの正プラトン立体の1つであり、シュレーフリ記号{3, 5}で表され、20の三角形の面があり、各頂点の周りで5つの面が交わります。

その双対多面体は、各頂点の周りに3つの正五角形の面を持つ 正十二面体{5, 3}です。

大二十面体は、 4つの正多面体ケプラー・ポアンソ多面体のうちの1つである。そのシュレーフリ記号は{3, ⁠5/2⁠ }. 凸形式と同様に、この形式にも 20 個の正三角形の面がありますが、頂点の図形は五角形ではなく五芒星であり、幾何学的に交差する面につながります。三角形の交点は、新しい辺を表しません。

その二重多面体は大星型十二面体である{ ⁠5/2⁠、3}、各頂点の周りに3つの正星型五角形の面を持ちます。

星形化とは、多面体の面または辺を延長して、それらが出会うまで新しい多面体を形成するプロセスです。対称的に行われるため、結果として得られる図形は親図形の全体的な対称性を維持します。

コクセターらは、著書『The Fifty-Nine Icosahedra』の中で、正二十面体のこのような星型配置を 59 個列挙しました。

これらの多くは、20 面体のそれぞれに 1 つの面があるため、20 面体でもあります。大 20 面体もその 1 つです。

その他の星型多面体は、各平面に複数の面があったり、より単純な多面体の複合体を形成したりします。これらは厳密には二十面体ではありませんが、そのように呼ばれることがよくあります。

正二十面体は、歪んだり、低対称性として強調されたりすることがあり、^{[2] [3]}スナブ八面体、スナブ四面体、スナブ四面体、擬似二十面体と呼ばれます。^{[4]これは、}交互に 切頂八面体として見ることができます。すべての三角形が正三角形である場合、8つと12の三角形の集合を異なる色で塗ることで対称性を区別することもできます。

黄体対称性の記号は(3*2)、[3 ⁺ ,4]で、次数は24です。四面体対称性の記号は(332)、[3,3] ⁺で、次数は12です。これらの低い対称性により、20個の正三角形の面からの幾何学的歪みが許容され、代わりに8個の正三角形と12個の合同な二等辺三角形が得られます。

これらの対称性はコクセター図を提供します。そしてそれぞれ正二十面体に対する下対称性を表す。 、(*532)、[5,3] 120次の 二十面体対称性。

12 個の頂点の直交座標は、(2, 1, 0) 形式の座標のすべての可能な巡回順列と符号反転によって定義されるベクトルによって定義できます。これらの座標は、交互の頂点が削除された切頂八面体を表します。

この構造は、正二十面体の形でスナブ四面体と呼ばれ、ベクトル（ϕ、1、0）から始めて同じ操作を実行することによって生成されます。ここで、ϕは黄金比です。^[3]

ジェッセン正二十面体（ジェッセン直交二十面体とも呼ばれる）では、12 個の二等辺面が異なる配置になっているため、図形は非凸で直 二面角を持ちます。

これは立方体と 合同なはさみであり、小さな多面体の断片にスライスして再配置し、完全な立方体を形成できることを意味します。

正二十面体は、対角線で二等分された 6 つの正方形の面を持つ立方八面体と位相的に同一であり、黄鉛面対称性を持ちます。黄鉛面対称性を持つ二十面体は、立方八面体、正二十面体、ジェッセン二十面体、二重被覆八面体を含む無限の多面体族を構成します。この族のメンバー間には周期的な運動学的変換が存在します。

菱形二十面体は、20 個の合同な菱形で構成されるゾノヘドロンです。菱形三十面体から中央の面を 10 個削除することで生成できます。すべての面が合同ですが、菱形二十面体は面推移的ではありません。

ピラミッド対称性と柱対称性を持つ一般的な二十面体には以下のものがあります。

• 19 面のピラミッド(プラス 1 底辺 = 20)。
• 18 面体の角柱(プラス 2 辺 = 20)。
• 9 面の逆プリズム(9 面の 2 セット + 2 つの端 = 20)。
• 10 面双錐体(10 面が 2 セット = 20)。
• 10 面台形(10 面が 2 セット = 20)。

いくつかのジョンソン立体は二十面体である: ^[5]

• 切頂二十面体
• 600セル
• イコソク

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