基本ベクトル場

数学、特に微分幾何学の研究において、基本ベクトル場は滑らかな多様体に対する滑らかな リー群作用の微小な挙動を記述する手段である。このようなベクトル場は、リー理論、シンプレクティック幾何学、ハミルトン群作用の研究において重要な応用が見出されている。

数学と物理学^[1]への応用において重要なのは、多様体上の流れの概念です。特に、が滑らかな多様体でが滑らかなベクトル場である場合、への積分曲線を見つけることに興味があります。より正確には、次のような 曲線に興味があるとします。${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \gamma _{p}:\mathbb {R} \to M}$

${\displaystyle \gamma _{p}'(t)=X_{\gamma _{p}(t)},\qquad \gamma _{p}(0)=p,}$

の局所解は常微分方程式の存在定理と一意性定理によって保証されます。さらにが完全なベクトル場である場合、のすべての積分曲線の集合として定義される のフローは の微分同相写像です。によって与えられるフローは、実際にはへの加法リー群の作用です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi _{X}:\mathbb {R} \times M\to M}$${\displaystyle \phi _{X}(t,p)=\gamma _{p}(t)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle M}$

逆に、すべての滑らかな動作は次の式によって完全なベクトル場を定義します。 ${\displaystyle A:\mathbb {R} \times M\to M}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{p}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A(t,p).}$

すると、上の作用と上の完全ベクトル場の間には全単射対応が存在するという単純な結果^[2]が得られる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

流れ理論の言語では、ベクトル場は無限小生成器と呼ばれます。^[3]直感的に、各点における流れの挙動は、ベクトル場によって示される「方向」に対応します。ベクトル場と、より任意のリー群の作用との間に同様の対応を確立できるかどうかを尋ねるのは自然な疑問です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$

を対応するリー代数を持つリー群とする。さらに、を滑らかな作用を持つ滑らかな多様体とする。となる写像を に対応するの軌道写像と呼ぶ。^[4]に対して、に対応する基本ベクトル場 は次の同値な定義のいずれかである: ^{[2] [4] [5]}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A:G\times M\to M}$${\displaystyle A_{p}:G\to M}$${\displaystyle A_{p}(g)=A(g,p)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=d_{e}A_{p}(X)}$
• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=d_{(e,p)}A\left(X,0_{T_{p}M}\right)}$
• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A\left(\exp(tX),p\right)}$

ここで、 は滑らかな写像の微分であり、はベクトル空間内の零ベクトルです。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle 0_{T_{p}M}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

この写像はリー代数準同型であることが示される。^[5]${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \Gamma (TM),X\mapsto -X^{\#}}$

リー群のリー代数は、上の左不変ベクトル場または右不変ベクトル場のいずれかと同一視できます。このようなベクトル場は、恒等接空間 に同型であることはよく知られた結果^[3]です。実際、 が右乗法を介して自身に作用するようにすると、対応する基本ベクトル場はまさに左不変ベクトル場になります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T_{e}G}$${\displaystyle G}$

動機づけでは、滑らかな作用と完全なベクトル場の間には全単射の対応があることが示されました。同様に、シンプレクティック作用（誘導された微分同相写像はすべてシンプレクティック同相写像である）と完全なシンプレクティックベクトル場の間にも全単射の対応があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

密接に関連する考え方は、ハミルトン ベクトル場です。シンプレクティック多様体 が与えられたとき、次を満たす滑らかな関数が存在する場合、 はハミルトン ベクトル場であると言えます。 ${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle H:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle dH=\iota _{X_{H}}\omega }$

ここで、写像は内積です。これにより、ハミルトン群作用の定義が次のように導かれます。がリー代数 を持つリー群であり、 が滑らかな多様体 上のの群作用である場合、がハミルトン群作用であるとは、次のモーメント写像が存在するときであると言います。 、 ${\displaystyle \iota}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle A:G\times M\to M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle d\mu ^{X}=\iota _{X^{\#}}\omega ,}$

ここで、およびは、${\displaystyle \mu ^{X}:M\to \mathbb {R} ,p\mapsto \langle \mu (p),X\rangle }$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X}$