トーラスノット

結び目理論において、トーラス結び目は、R ³の結び目のないトーラスの表面にある特別な種類の結び目です。同様に、トーラスリンクは、同じようにトーラスの表面にあるリンクです。各トーラス結び目は、互いに素な整数pとqのペアによって指定されます。pとqが互いに素でない場合 (その場合、成分の数はgcd ( p, q ) です)、トーラスリンクが発生します。トーラス結び目は、pまたはq のいずれかが 1 または -1 に等しい場合にのみ、自明(非結び目と同等)です。最も単純で自明でない例は、トレフォイルノットとしても知られる (2,3)-トーラス結び目です。

トーラス結び目は、位相的には同等(以下のプロパティを参照) だが幾何学的には異なる複数の方法で幾何学的に表現できます。この記事と図で使用されている規則は次のとおりです。

( p , q )-トーラス結び目は、トーラスの内部の円の周りをq回巻き、回転対称軸の周りをp回巻きます。^{[注 1]} pとqが互いに素でない場合は、複数のコンポーネントを持つトーラスリンクになります。

結び目のストランドがトーラスに巻き付く方向も、さまざまな慣習に従っている。最も一般的なのは、pq > 0の場合にストランドが右巻きのねじを形成することである。^{[3] [4] [5]}

( p , q )-トーラス結び目は、パラメータ化によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(p\phi )\\y&=r\sin(p\phi )\\z&=-\sin(q\phi )\end{aligned}}}$

ここで、 および です。これは、 （円筒座標）で与えられるトーラスの表面上にあります。 ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+2}$${\displaystyle 0<\phi <2\pi }$${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$

結び目は連続変形まで定義されるため、他のパラメータ化も可能です。 (2,3)-トーラス結び目と (3,8)-トーラス結び目の図は、 を取ることで得られ、(2,3)-トーラス結び目の場合には、さらにそれぞれxとyの上記のパラメータ化から とを減算することで得られます。後者は、を満たす任意の互いに素なp,qに滑らかに一般化されます。 ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+4}$${\displaystyle 3\cos((pq)\phi )}$${\displaystyle 3\sin((pq)\phi )}$${\displaystyle p<q<2p}$

トーラス結び目はpまたはqが1または-1に等しい場合にのみ自明である。 ^{[4] [5]}

それぞれの非自明なトーラス結び目は素数^[6]かつカイラルである。^[4]

( p , q )トーラス結び目は、( q , p )トーラス結び目と同等です。^{[3] [5]}これは、トーラスの表面でストランドを動かすことで証明できます。^[7] ( p ,− q )トーラス結び目は、( p , q )トーラス結び目の表側（鏡像）です。^[5] (− p ,− q )トーラス結び目は、向きが逆であることを除いて、( p , q )トーラス結び目と同等です。

任意の（p、q ）トーラス結び目はp本のストランドからなる閉じた組紐から作ることができる。適切な組紐語は^[8]である。

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}.}$

（この式は、編組ジェネレーターは右ねじれであるという一般的な慣習を前提としていますが、^{[4] [8] [9] [10]}はWikipediaの編組に関するページでは従われていません。）

p , q > 0 の( p , q ) トーラス結び目の交差数は次のように与えられる。

c = min(( p −1) q , ( q −1) p )。

p , q > 0 のトーラス結び目の種数は

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

トーラス結び目のアレクサンダー多項式は[ 3 ^{] [8]}

${\displaystyle t^{k}{\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}},}$どこ${\displaystyle k=-{\frac {(p-1)(q-1)}{2}}.}$

（右手）トーラス結び目のジョーンズ多項式は次のように与え られる。

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.}$

3 次元球面のトーラス結び目の補集合は、2 つの特異なファイバーで円板上にファイバー化された ザイフェルト ファイバー多様体です。

Y を内部から円板を取り除いたp倍のダンス キャップ、Z を内部から円板を取り除いた q 倍のダンス キャップ、Xを境界円に沿ってYとZ を同一視して得られる商空間とします。 ( p , q ) トーラス結び目の変形の結び目の補集合は空間Xに収縮します。したがって、トーラス結び目の結び目群は次のように表されます。

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

トーラス結び目は、結び目グループが非自明な中心（上記のプレゼンテーションの 要素によって生成される無限循環）を持つ唯一の結び目です。${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$

ユークリッド空間内の曲線としての( p , q ) トーラス結び目の伸縮係数はΩ(min( p , q )) であるため、トーラス結び目の伸縮係数は無限大である。学部生研究者のジョン・パードンは、この結果を証明した研究で 2012 年のモーガン賞を受賞した。この研究は、もともとミハイル・グロモフによって提起された問題を解決した。^{[11] [12]}

( p , q )−トーラス結び目は、孤立した複素超曲面の特異点のつながりを考えるとき、生じます。複素超曲面を、孤立した特異点を中心とし、他の特異点を囲んだり遭遇したりしないほど十分に小さい半径を持つ超球と交差させます。交差により、超球の部分多様体が得られます。

pとq が互いに素で、2 以上の整数であるとします。次で与えられる正則関数 を考えます。 をの集合とします。実数が与えられたとき、実三次元球面を次のように定義します。関数はに孤立した臨界点を持ちます。なぜなら は の場合に限ります。したがって、に近いの構造を考えます。これを行うには、交点を考えます。この交点は、いわゆる特異点のリンクです。 pとqが互いに素で、どちらも 2 以上であるのリンクは、まさに ( p , q )−トーラス結び目です。^[13]${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f(w,z):=w^{p}+z^{q}.}$${\displaystyle V_{f}\subset \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle (w,z)\in \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle f(w,z)=0.}$${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1,}$${\displaystyle \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle |w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon ^{2}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0}$${\displaystyle w=z=0.}$${\displaystyle V_{f}}$${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}.}$${\displaystyle V_{f}\cap \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}.}$${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}.}$${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}}$

• 解く、3 ₁ノット(3,2)、5 ₁ノット(5,2)、7 ₁ノット(7,2)、8 ₁₉ノット (4,3)、9 ₁ノット(9,2)、10 ₁₂₄ノット(5,3)

g-トーラス結び目は、g-トーラス上に描かれた閉曲線です。より技術的には、 S³内の円の同相像であり、S³内の種数 g ハンドルボディ(その補集合も種数gハンドルボディ)のサブセットとして実現できます。リンクが種数 2 ハンドルボディのサブセットである場合、それは二重トーラスリンクです。^[14]

種数2の場合、トーラス結び目ではない二重トーラス結び目の最も単純な例は8の字結び目である。^{[15] [16]}

• 交互結び
• 衛星結び目
• 双曲結び目
• トーラスの無理数巻き
• トポポリス

• 「36 トーラス ノット」、The Knot Atlas。
• Weisstein、Eric W.「トーラスノット」。MathWorld。
• Actionscript のトーラス ノット レンダラー
• PQ-トーラスノットの楽しみ