グループの絶対的なプレゼンテーション

数学において、絶対表現は群を定義する方法の一つである。^[1]

表現によってグループを定義するには、グループのすべての要素がこれらの生成子の積として記述できるように生成子のセットと、それらの生成子間の関係のセットを指定することを思い出してください。記号では: ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle G\simeq \langle S\mid R\rangle .}$

非公式には、すべての に対してとなる集合 によって生成される群です。しかし、ここでは、の関係がの任意の準同型像で満たされていることが明らかな「最も自由な」群であるという暗黙の仮定があります。この暗黙の仮定を排除できる 1 つの方法は、の特定の単語がと等しくないことを指定することです。つまり、すべての に対してとなる、非関係集合と呼ばれる集合 を指定します。${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle i\neq 1}$${\displaystyle i\in I.}$

グループの絶対的表現を定義するには、生成元と集合、およびそれらの生成元間の関係と非関係の集合を指定します。次に、絶対的表現を持つと 言います。${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \langle S\mid R,I\rangle .}$

ただし、

1. ${\displaystyle G}$プレゼンテーションあり ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$
2. において不一致が満たされるような任意の準同型が 与えられると、は と同型になります。${\displaystyle h:G\rightarrow H}$${\displaystyle I}$${\displaystyle h(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle h(G)}$

条件 2 をより代数的だが同等な方法で記述すると次のようになります。

2a.がの非自明な正規部分群である場合、${\displaystyle N\triangleleft G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle I\cap N\neq \left\{1\right\}.}$

注:絶対的表現の概念は、代数的に閉じた群やグリゴルチュク位相などの分野で実り多い成果を上げています。文献では、絶対的表現が議論されている文脈において、表現 (通常の意味での) は相対的表現と呼ばれることがあり、これはレトロニムの一例です。

8次の巡回群は次のように表される。

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1\rangle .}$

しかし、同型性に至るまで、関係を「満たす」グループがさらに 3 つあります。 ${\displaystyle a^{8}=1,}$

${\displaystyle \langle a\mid a^{4}=1\rangle }$

${\displaystyle \langle a\mid a^{2}=1\rangle }$そして

${\displaystyle \langle a\mid a=1\rangle .}$

しかし、これらのいずれも不関係式を満たしません。したがって、位数 8 の巡回群の絶対表現は次のようになります。 ${\displaystyle a^{4}\neq 1}$

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{4}\neq 1\rangle .}$

絶対表現の定義には、群のいかなる適切な準同型像においても非関係性が満たされないことが含まれる。したがって、

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{2}\neq 1\rangle }$

順序 4 の巡回群では不変関係が満たされるため、順序 8 の巡回群の絶対表現ではありません。 ${\displaystyle a^{2}\neq 1}$

絶対表現の概念は、ベルンハルト・ノイマンによる代数閉群の同型性問題の研究から生まれた。^[1]

2 つのグループとが同型であるかどうかを検討する一般的な戦略は、一方の表現がもう一方の表現に変換できるかどうかを検討することです。ただし、代数的に閉じたグループは有限生成でも再帰的にも表現されないため、それらの表現を比較することは不可能です。ノイマンは次のような代替戦略を検討しました。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

有限表示の群が代数的に閉じた群に埋め込むことができるとわかっていると仮定し、別の代数的に閉じた群 が与えられた場合、「は に埋め込むことができるか?」と尋ねることができます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G=\langle x_{1},x_{2}\mid R\rangle }$${\displaystyle G^{*}}$${\displaystyle H^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H^{*}}$

すぐに、グループの表現には、この決定を行うのに十分な情報が含まれていないことが明らかになります。なぜなら、準同型 が存在する可能性がある一方で、この準同型は埋め込みである必要がないからです。必要なのは、その仕様を保存する準同型を埋め込みとして「強制する」 の仕様です。絶対表現はまさにこれを行います。 ${\displaystyle h:G\rightarrow H^{*}}$${\displaystyle G^{*}}$

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