安定したマップ

数学、特にシンプレクティック位相幾何学と代数幾何学では、指定された条件を満たす、リーマン面から与えられたシンプレクティック多様体への安定写像のモジュライ空間を構築することができます。このモジュライ空間はグロモフ-ウィッテン不変量の本質であり、列挙幾何学とタイプIIA弦理論に応用されています。安定写像のアイデアは、1992年頃にマキシム・コンツェビッチによって提案され、コンツェビッチ（1995）で発表されました。

構築は長くて難しいため、グロモフ-ウィッテン不変量の記事自体ではなく、ここで実行されます。

シンプレクティック形式を持つ閉じたシンプレクティック多様体を固定します。と を自然数（ゼロを含む）とし、の2次元ホモロジー類とします。すると、擬正則曲線の集合を考えることができます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle ((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,}$

ここで、は種数 の滑らかな閉じたリーマン面であり、点 がマークされており、 ${\displaystyle (C,j)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle f:C\to X\,}$

は、 -tameほぼ複素構造と非同次項の選択に対して、摂動コーシー・リーマン方程式を満たす関数である。${\displaystyle \omega}$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle {\bar {\partial}}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=\nu .}$

通常、負の穴あきオイラー特性となるとだけが認められます。すると領域は安定し、マークされた点を保存する の正則自己同型は有限個しか存在しないことを意味します。${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2-2g-n}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

演算子は楕円型であり、したがってフレドホルムである。重要な解析的議論（適切なソボレフノルムで完成させ、バナッハ多様体に対する暗黙関数定理とサード定理を適用し、楕円正則性を使用して滑らかさを回復する）の後、 -tameと摂動の一般的な選択に対して、クラスを表すマークされた点を持つ種数 の -正則曲線の集合が、滑らかで方向付けられたオービフォールドを形成することを示すことができる。${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle (j,J,\nu )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)}$

アティヤ・シンガー指数定理によって与えられた次元、

${\displaystyle d:=\dim _{\mathbb {R} }M_{g,n}(X,A)=2c_{1}^{X}(A)+(\dim _{\mathbb {R} }X-6)(1-g)+2n.}$

モジュライ空間は コンパクトではありません。なぜなら、一連の曲線が特異曲線に退化する可能性があり、その曲線は上で定義されたモジュライ空間に存在しないからです。これは、たとえば、 (導関数のL ²ノルムを意味する)のエネルギーがドメイン上のある点に集中するときに発生します。 ${\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)}$${\displaystyle f}$

集中点の周りのマップを再スケーリングすることで、エネルギーを捕捉できます。その効果は、集中点の元の領域にバブルと呼ばれる球をアタッチし、マップを球全体に拡張することです。再スケーリングされたマップには、1 つ以上のポイントにエネルギーが集中している可能性があるため、反復的に再スケーリングして、最終的にバブル ツリー全体を元の領域にアタッチする必要があります。マップは、新しい領域の各滑らかなコンポーネントで適切に動作します。

安定写像を、最悪の場合、節点特異点を持つリーマン面からの擬似正則写像として 定義し、その写像の自己同型は有限個しか存在しないようにします。

具体的には、次のことを意味します。節点リーマン面の滑らかな成分が安定であるとは、そのマークされた点と節点を保存する自己同型が最大でも有限個しかない場合です。安定写像とは、少なくとも1つの安定な領域成分を持つ擬正則写像であり、他の領域成分のそれぞれに対して

• マップはそのコンポーネント上で定数ではない、または
• そのコンポーネントは安定しています。

安定な写像の領域は必ずしも安定な曲線である必要はないということが重要です。ただし、不安定な要素を（反復的に）縮小して安定な曲線を生成することは可能であり、これを領域の安定化 と呼びます。 ${\displaystyle \mathrm {st} (C)}$${\displaystyle C}$

マークされた点を持つ種数のリーマン面からの安定写像全体の集合はモジュライ空間を形成する。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}^{J,\nu }(X,A).}$

位相は、安定写像の列が収束するのは、

• それらの（安定化された）領域は曲線のドリーニュ・マンフォードモジュライ空間 に収束し、${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}}$
• それらは、ノードから離れたコンパクト部分集合上のすべての導関数において一様に収束し、
• 任意の点に集中するエネルギーは、限界マップ内のその点に取り付けられたバブルツリーのエネルギーに等しくなります。

安定写像のモジュライ空間はコンパクトである。つまり、安定写像の任意のシーケンスは安定写像に収束する。これを示すために、写像のシーケンスを反復的に再スケールする。各反復で、前の反復よりもエネルギー集中が少ない新しい極限領域（おそらく特異）が存在する。このステップで、シンプレクティック形式が決定的な方法で登場する。ホモロジー類を表す任意の滑らかな写像のエネルギーは、シンプレクティック領域によって下に制限される。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \omega (B)}$

${\displaystyle \omega (B)\leq {\frac {1}{2}}\int |df|^{2},}$

等式は、マップが擬似正則である場合に限ります。これにより、再スケーリングの各反復で取得されるエネルギーが制限され、したがって、すべてのエネルギーを取得するには有限回の再スケーリングのみが必要であることが示されます。最終的に、新しい極限領域上の極限マップは安定します。

コンパクト化された空間は、再び滑らかで、方向付けられたオービフォールドになります。非自明な自己同型を持つマップは、オービフォールド内の等方性を持つ点に対応します。

グロモフ・ウィッテン不変量を構成するには、安定写像のモジュライ空間を評価写像の下で前方に押し進める。

${\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)\to {\overline {M}}_{g,n}\times X^{n},}$

${\displaystyle ((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\mapsto (\mathrm {st} (C,j),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n}))}$

適切な条件下で有理ホモロジークラス を得る

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}({\overline {M}}_{g,n}\times X^{n},\mathbb {Q} ).}$

モジュライ空間はオービフォールドなので、有理係数が必要である。評価マップによって定義されるホモロジー類は、一般的な-tameおよび摂動の選択に依存しない。これは、与えられたデータ、、および に対して、のグロモフ・ウィッテン (GW) 不変量と呼ばれる。コボルディズムの議論を使用して、このホモロジー類が同位体を除いて の選択に依存しないことを示すことができる。したがって、グロモフ・ウィッテン不変量は、シンプレクティック多様体のシンプレクティック同位体類の不変量である。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega}$

「適切な条件」はむしろ微妙です。主な理由は、多重被覆写像（領域の 分岐被覆を介して因数分解する写像）が予想よりも大きな次元のモジュライ空間を形成する可能性があるためです。

これを処理する最も簡単な方法は、ターゲット多様体が半正値またはある意味でファノであると仮定することです。この仮定は、多重被覆マップのモジュライ空間が、多重被覆されていないマップの空間で少なくとも 2 つの余次元を持つように正確に選択されます。次に、評価マップの像は擬似サイクルを形成し、予想される次元の明確に定義されたホモロジー クラスを誘導します。 ${\displaystyle X}$

ある種の半正定性を仮定せずにグロモフ・ウィッテン不変量を定義するには、仮想モジュライサイクルと呼ばれる難しい技術的な構成が必要です。

• Dusa McDuff と Dietmar Salamon、「J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology」、アメリカ数学会コロキウム出版、2004 年。ISBN 0-8218-3485-1 。
• Kontsevich, Maxim (1995). 「トーラス作用による有理曲線の列挙」. Progr. Math . 129 : 335–368. MR  1363062.