属（数学）

数学において、種数（複数形：genera）には、いくつかの異なるが密接に関連した意味があります。直感的には、種数は表面の「穴」の数です。^[1]球面の種数は0ですが、トーラスの種数は1です。

連結された有向曲面の種数は、結果として得られる多様体が不連続にならないように、交差しない単純な閉じた曲線に沿った切断の最大数を表す整数です。 ^{[2]これは、その上の}ハンドルの数に等しくなります。あるいは、閉じた曲面（ は種数）の関係を介して、オイラー特性に関して定義することもできます。境界成分を持つ曲面の場合、方程式は となります。 ${\displaystyle \chi}$${\displaystyle \chi =2-2g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \chi =2-2g-b}$

平たく言えば、種数とは物体が持つ「穴」の数です（「穴」はドーナツの穴の意味で解釈されます。この意味では、中空の球体は穴がゼロであると考えられます）。^[3]トーラスにはそのような穴が 1 つありますが、球体には0 個あります。上の写真の緑色の表面には、関連する種類の穴が 2 つあります。

例えば：

• 球と円板はどちら も種数が 0 です。${\displaystyle S^{2}}$
• トーラスは種数 1 であり、取っ手付きのコーヒー マグの表面も同様です。これが、「位相幾何学者とは、ドーナツとコーヒー マグの区別がつかない人々である」というジョークの由来です。

種数gの曲面の明示的な構築については、基本多角形に関する記事で説明しています。

• 有向面の属
• 
  平面グラフ: 種数 0
• 
  トロイダルグラフ: 種数 1
• 
  ティーポット: 二重トロイダルグラフ: 種数 2
• 
  プレッツェルグラフ: 種数 3

連結された非向き付け可能な閉曲面の非向き付け可能な種数、半種数、またはオイラー種数は、球に取り付けられたクロスキャップの数を表す正の整数です。あるいは、閉曲面に対して、オイラー特性 χ に関して χ = 2 − kの関係で定義することもできます。ここで、kは非向き付け可能な種数です。

例えば：

• 実射影平面は向き付け不可能な種数 1 を持ちます。
• クラインの壺は向き付け不可能な種数 2 を持ちます。

結び目Kの種数は、 Kのすべてのザイフェルト面の最小種数として定義されます。^[4]ただし、結び目のザイフェルト面は境界 を持つ多様体であり、境界は結び目、つまり単位円に同相です。このような面の種数は、単位円を境界に沿って接着することによって得られる 2 次元多様体の種数として定義されます。

3 次元ハンドルボディの種数は、結果として得られる多様体を切断せずに埋め込まれたディスクに沿った切断の最大数を表す整数です。これは、そのハンドルの数に等しくなります。

例えば：

• ボールの種数は 0 です。
• 立体トーラスD ² × S ¹の種数は 1 です。

グラフの種数は、 n 個のハンドルを持つ球面（つまり、種数nの有向面）上でグラフが自己交差せずに描画できる最小の整数nです。したがって、平面グラフは自己交差せずに球面上に描画できるため、種数は 0 です。

グラフの非可逆種数は、 n 個の交差キャップを持つ球面（つまり、（非可逆）種数nの非可逆面）上でグラフが交差することなく描画できる最小の整数nです。（この数はデミジェナスとも呼ばれます。）

オイラー種数は、 n個のクロスキャップを持つ球面上またはn/2個のハンドルを持つ球面上にグラフが交差することなく描画できる最小の整数nである。^[5]

位相グラフ理論では、群の種数の定義がいくつかあります。Arthur T. White は次の概念を導入しました。群Gの種数は、 Gの(連結、無向)ケイリー グラフの最小の種数です。

グラフ種数問題はNP完全である。^[6]

任意の射影代数スキームの種数に は、算術種数と幾何種数という2つの関連する定義があります。^{[7] が}複素数 を定義体とする代数曲線であり、 に特異点がない場合、これらの定義は、 （その複素点多様体）のリーマン面に適用された位相的な定義と一致します。たとえば、代数幾何学からの楕円曲線の定義は、種数1の非特異射影曲線とその上の与えられた有理点との接続です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

リーマン・ロッホの定理によれば、切断の消失軌跡によって与えられる次数の既約平面曲線は、幾何学的種数 ${\displaystyle d}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))}$

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

ここで、適切に数えられた特異点の数です。 ${\displaystyle s}$

微分幾何学では、有向多様体 の種数は、以下の条件を満たす 複素数として定義される。${\displaystyle M}$${\displaystyle \Phi (M)}$

• ${\displaystyle \Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})}$
• ${\displaystyle \Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})}$
• ${\displaystyle \ファイ (M_{1})=\ファイ (M_{2})}$とが一致する場合。${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$

言い換えれば、は環準同型であり、はトムの有向コボルディズム環である。^[8]${\displaystyle \Phi}$ ${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$${\displaystyle R}$

が、あるに対してのような楕円積分である場合、連結されたコンパクト構造を持つスピノル多様体上のすべてのバンドルに対して種数が乗法的になります。この種数を楕円種数と呼びます。 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \log_{\Phi}}$${\displaystyle \log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt}$${\displaystyle \delta,\varepsilon\in\mathbb{C}.}$

オイラー特性はコボルディズムに関して不変ではないため、この意味では種数ではありません。 ${\displaystyle \chi (M)}$

核酸やタンパク質の化学相互作用の網が張るグラフの属数を計算することもできます。特に、鎖に沿った属数の増加を研究することができます。このような関数（属数トレースと呼ばれる）は、生体分子のトポロジカルな複雑さとドメイン構造を示します。^[9]

• グループ（数学）
• 算術種族
• 幾何学的属
• 乗法数列の種数
• 二次形式の種数
• スピノル属

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