矢筒（数学）

数学、特に表現論において、矢印は多重有向グラフの別名です。つまり、 2 つの頂点間にループと複数の矢印が許される有向グラフです。矢印は表現論でよく使用されます。矢印の表現 V は、矢印の各頂点 xにベクトル空間V ( x )を割り当て、各矢印 aに線型写像V ( a )を割り当てます。   

圏論では、箙は圏の基礎構造であるが、合成や恒等写像の指定がないと理解できます。つまり、Cat (圏の圏)からQuiv (多重ダイグラフの圏)への忘却関手があります。その左随伴は自由関手で、箙から対応する自由圏を作成します。

矢筒Γ は次の要素で構成されます。

• Γの頂点の集合V
• Γの辺の集合E
• 2 つの関数:エッジの開始またはソースを指定する⁠ ⁠${\displaystyle s:E\to V}$と、エッジのターゲットを指定する別の関数⁠ ⁠ 。${\displaystyle t:E\to V}$

この定義は多重有向グラフの定義と同一です。

矢印の射は、有向辺を有向辺に写す頂点から頂点への写像です。正式には、とが2 つの矢印である場合、矢印の射は2 つの関数とで構成され、次の図は と可換です。 ${\displaystyle \Gamma =(V,E,s,t)}$${\displaystyle \Gamma '=(V',E',s',t')}$${\displaystyle m=(m_{v},m_{e})}$${\displaystyle m_{v}:V\to V'}$${\displaystyle m_{e}:E\to E'}$

つまり、

${\displaystyle m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}}$

そして

${\displaystyle m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}}$

上記の定義は集合論に基づいています。カテゴリー理論的定義は、これを自由矢筒から集合のカテゴリー への関数に一般化します。

自由矢筒（ウォーキング矢筒、クロネッカー矢筒、2-クロネッカー矢筒、クロネッカー圏とも呼ばれる）Qは、2つの対象と4つの射を持つ圏である。対象はVとEである。4つの射は⁠ ⁠ ${\displaystyle s:E\to V,}$ ⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle t:E\to V,}$と恒等射 ⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} _{V}:V\to V}$と⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} _{E}:E\to E.}$である。 つまり、自由矢筒は圏である。

${\displaystyle E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\rightrightarrows \\[-4pt]t\end{matrix}}\;V}$

すると、quiver は関数 ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma :Q\to \mathbf {集合} }$になります。 (つまり、は 2 つの集合と、および 2 つの関数を指定します。これが からへの関数であるということが意味する完全な範囲です。) ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ (V)}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \Gamma (s),\Gamma (t)\colon \Gamma (E)\longrightarrow \Gamma (V)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \mathbf {集合} }$

より一般的には、カテゴリCの quiverは関数カテゴリです。C${\displaystyle \Gamma :Q\to C.}$のquiver の カテゴリQuiv ( C )は、次の条件を満たす関数カテゴリです。

• オブジェクトは関数である⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma :Q\to C,}$
• 射影は関数間の自然な変換です。

Quiv は、反対カテゴリQ ^op上の前層のカテゴリであることに注意してください。

Γが矢筒である場合、 Γ内のパスは矢印の列である。

${\displaystyle a_{n}a_{n-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}}$

右から左へのパスの連結規則を使用すると、i = 1, …, n −1に対して、 a _{i +1}の先頭がa _iの末尾になります。グラフ理論におけるパスはより厳密な定義を持ち、この概念はグラフ理論でウォークと呼ばれるものと一致することに注意してください。

Kが体の場合、箙代数または パス代数 K  Γ は、箙内のすべてのパス (長さ ≥ 0) を基底として持ち (箙Γの各頂点iについて、長さ 0 の自明なパスe _{i を}含みます。これらのパスは、異なるiに対して等しいとは想定されません)、乗算がパスの連結によって与えられるベクトル空間として定義されます。最初のパスの終了頂点が 2 番目のパスの開始頂点と等しくないために 2 つのパスを連結できない場合、それらの積は 0 と定義されます。これは、K上の結合代数を定義します。この代数は、箙が有限個の頂点のみを持つ場合のみ、単位元を持ちます。この場合、K  Γ上のモジュールは、 Γの表現と自然に同一視されます。矢筒に無限の頂点がある場合、K  Γ は次のように近似的に表されます。ここで、 F はΓの頂点集合の有限部分集合上を移動します。 ${\textstyle e_{F}:=\sum _{v\in F}1_{v}}$

矢筒に有限個の頂点と矢印があり、任意のパスの終了頂点と開始頂点が常に異なる場合（つまり、Q に有向サイクルがない場合）、K  ΓはK上の有限次元 遺伝代数です。逆に、Kが代数的に閉じている場合、 K上の任意の有限次元遺伝結合代数は、その Ext 矢筒のパス代数と Morita 同値です（つまり、それらは同値のモジュールカテゴリを持ちます）。

矢筒Qの表現は、 RモジュールとQの各頂点との関連と、各矢印の各モジュール間の射です。

矢筒Qの表現V は、 Q内の すべての頂点xに対して である場合に自明であると言われます。 ${\displaystyle V(x)=0}$

矢筒Qの表現間の射とは、 ${\displaystyle f:V\to V',}$Qのxからyへのすべての矢印aに対して、つまり、 f がVおよびV'の矢印と形成する正方形がすべて交換するような線型写像の集合です。射fは、 f ( x ) が矢筒のすべての頂点xに対して可逆である場合に同型です。これらの定義により、矢筒の表現はカテゴリを形成します。 ${\displaystyle f(x):V(x)\to V'(x)}$${\displaystyle V'(a)f(x)=f(y)V(a),}$

VとW が矢筒Qの表現である場合、これらの表現の直和はQ内のすべての頂点xに対して によって定義され、線形写像V ( a )と W ( a )の直和になります。 ${\displaystyle V\oplus W,}$${\displaystyle (V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)}$${\displaystyle (V\oplus W)(a)}$

表現が非ゼロ表現の直和に同型である場合、 その表現は分解可能であると言われます。

箙表現のカテゴリカルな定義も与えることができます。箙自体はカテゴリと見なすことができ、頂点はオブジェクト、パスは射です。この場合、Qの表現は、このカテゴリから有限次元ベクトル空間のカテゴリへの共変関数にすぎません。Q の表現の射は、対応する関数間の自然な変換です。

有限の矢筒Γ (有限個の頂点と辺を持つ矢筒) について、K  Γ をそのパス代数とします。e _{i を}頂点iの自明なパスとします 。すると、頂点iに、 始点iを持つパスの線形 結合からなる 射影K  ΓモジュールK  Γ e _iを関連付けることができます。これは、iから始まり、他の各頂点には 0 であるパス上にある各頂点にKのコピーを配置することによって得られるΓの表現に対応します。 Kの 2 つのコピーを結合する各辺に恒等写像を関連付けます。

この理論は、ダークセン、ウェイマン、ゼレビンスキーによってクラスター代数と関連付けられました。 ^[1]

矢筒内のいくつかの正方形の可換性を強化するために、関係を持つ矢筒（境界矢筒とも呼ばれる）の概念が一般化されます。矢筒Q上の関係は、 QからのパスのK線形結合です。関係を持つ矢筒は、Qが矢筒であり、パス代数のイデアルであるペア ( Q 、 I ) です。商K Γ / Iは、  ( Q、I )のパス代数です。 ${\displaystyle I\subseteq K\Gamma }$

各頂点に割り当てられたベクトル空間の次元が与えられれば、それらの指定された次元を持つその箙のすべての表現を特徴付ける多様体を形成し、安定性条件を考慮することができます。これらは、King (1994) によって構築された箙多様体を与えます。

箙が有限型であるとは、その箙が有限個の非分解表現の同型類しか持たない場合である。ガブリエル (1972) は有限型の箙をすべて分類し、その非分解表現も分類した。より正確には、ガブリエルの定理は次のように述べている。

1. (連結された) 矢印が有限型となるのは、その基礎となるグラフ (矢印の方向を無視した場合) がADE Dynkin 図のいずれかである場合のみです: A _n、D _n、E ₆、E ₇、E ₈。
2. 分解不可能な表現は、ディンキン図のルート システムの正の根と 1 対 1 に対応します。

Dlab と Ringel (1973) は、有限次元半単純リー代数のすべての Dynkin 図が出現するというガブリエルの定理の一般化を発見しました。これは Victor Kac によってすべての箙とそれに対応するKac-Moody 代数に一般化されました。

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• トーリック多様体
• 導出非可換代数幾何学- クイバーは導出非可換スキームのデータをエンコードするのに役立ちます

キリロフ、アレクサンダー（2016）、Quiver Representations and Quiver Varieties、アメリカ数学会、ISBN 978-1-4704-2307-0

• Crawley-Boevey, William, Lectures on Representations of Quivers (PDF)、2017-08-20 にオリジナルからアーカイブ{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
• トーリック幾何学における矢筒表現

• 射影トーリック多様体は箙表現の微細モジュライ空間である

ウィキメディア・コモンズには、 Quivers (グラフ理論)に関連するメディアがあります。

• デルクセン、ハーム、ウェイマン、ジェルジ（2005年2月）、「Quiver Representations」（PDF）、アメリカ数学会報、52（2）
• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1973)、「有限表現型の代数について」、Carleton Mathematical Lecture Notes、第 2 巻、Carleton Univ. 数学科、オタワ、オンタリオ州、MR  0347907
• Crawley-Boevey, William (1992)、Notes on Quiver Representations (PDF)、オックスフォード大学、 2011-07-24 にオリジナル(PDF)からアーカイブ、2007-02-17 に取得
• Gabriel, Peter (1972)、「Unzerlegbare Darstellungen. I」、Manuscripta Mathematica、6 (1): 71–103、doi :10.1007/BF01298413、ISSN  0025-2611、MR  0332887。
• Victor Kac、「ルートシステム、箙の表現、不変理論」。 不変理論（モンテカティーニ、1982年）、pp. 74–108、数学の講義ノート。996、Springer-Verlag、ベルリン、1983年。ISBN 3-540-12319-9 [ ^1] 
• キング、アラステア (1994)、「有限次元代数の表現のモジュライ」、Quart. J. Math.、45 (180): 515–530、doi : 10.1093/qmath/45.4.515
• サベージ、アリスター (2006) [2005]、「有限次元代数と箙」、フランソワーズ、J.-P.、ネイバー、GL、ツォウ、ST (編)、数理物理学百科事典、第 2 巻、エルゼビア、pp. 313–320、arXiv : math/0505082、Bibcode :2005math......5082S
• シムソン、ダニエル、スコウロンスキー、アンジェイ、アセム、イブラヒム（2007）、結合代数の表現理論の要素、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88218-7
• Bernšteĭn, IN; Gelʹfand, IM; Ponomarev, VA、「Coxeter 関数と Gabriel の定理」(ロシア語)、Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973)、第 2 号 (170)、19–33。Bernstein の Web サイトで翻訳されています。
• nラボのQuiver