ワイエルシュトラス変換

数学において、関数のワイエルシュトラス変換^{[ 1 ]は}${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$カール・ワイエルシュトラスにちなんで名付けられた は、 の「滑らかにした」バージョンです。${\displaystyle f(x)}$値を平均することによって得られる${\displaystyle f}$ガウス分布で重み付けされ、${\displaystyle x}$。

具体的には、それは関数です${\displaystyle F}$定義される

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(xy)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}$

畳み込み​​${\displaystyle f}$ガウス関数を用いて

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.}$

その要因${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}}$ガウス関数の全積分が1になるように選択することで、定数関数がワイエルシュトラス変換によって変化しないという結果になる。

の代わりに${\displaystyle F(x)}$ また、次のように書いている。${\displaystyle W[f](x)}$。 ご了承ください${\displaystyle F(x)}$すべての実数に対して存在する必要はない${\displaystyle x}$定義積分が収束しない場合。

ワイエルシュトラス変換は熱方程式（または等価的に、拡散係数が一定の拡散方程式）と密接に関係しています。関数が${\displaystyle f}$無限に長い棒の各点における初期温度を記述し、その棒の温度分布を記述する。その棒は一定の熱伝導率（1）を持つ。${\displaystyle t=1}$時間単位後には関数によって与えられます${\displaystyle F}$値を使用することにより${\displaystyle t}$1とは異なる場合、一般化されたワイエルシュトラス変換を定義できます。${\displaystyle f}$。

一般化ワイエルシュトラス変換は、与えられた可積分関数を近似する手段を提供する。${\displaystyle f}$解析関数と任意にうまく連携します。

ワイエルシュトラスは、ワイエルシュトラスの近似定理の最初の証明でこの変換を使用しました。これは、カール・フリードリヒ・ガウスにちなんでガウス変換またはガウス・ワイエルシュトラス変換とも呼ばれ、また、これを広範に研究したアイナー・カール・ヒレにちなんでヒレ変換とも呼ばれています。一般化${\displaystyle W_{t}}$以下に述べるものは、信号解析ではガウスフィルタとして知られており、画像処理では（実装時に）$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$）ガウスぼかしとして。

ワイエルシュトラス変換は各関数に割り当てます${\displaystyle f}$新機能${\displaystyle F}$この割り当ては線形です。また、並進不変です。つまり、関数の変換は${\displaystyle f(x+a)}$は${\displaystyle F(x+a)}$これらの事実はどちらも、畳み込みによって定義される任意の積分変換に対してより一般的に当てはまります。

変換する場合${\displaystyle F(x)}$実数に対して存在する${\displaystyle x=a}$そして${\displaystyle x=b}$すると、その間のすべての実数値に対しても存在し、そこで解析関数を形成する。さらに、${\displaystyle F(x)}$すべての複素数値に対して存在する${\displaystyle x}$と${\displaystyle a\leq \Re (x)\leq b}$そして、複素平面のその帯状領域上で正則関数を形成する。これが「滑らかさ」の形式的な記述である。${\displaystyle F}$上記で述べたとおり。

もし${\displaystyle f}$実軸全体で積分可能である（すなわち${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$) ならば、そのワイエルシュトラス変換も同様である。${\displaystyle F}$さらに${\displaystyle f(x)\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle x}$そしてまた${\displaystyle F(x)\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle x}$そして、${\displaystyle f}$そして${\displaystyle F}$等しい。これは、熱方程式によって総熱エネルギーまたは熱量が保存される、あるいは拡散方程式によって拡散物質の総量が保存されるという物理的事実を表している。

上記を用いると、${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$そして${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$、 我々は持っています${\displaystyle F\in L^{p}(\mathbb {R} )}$そして$\displaystyle \left\|F\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}}$ワイエルシュトラス変換は、結果として有界な作用素を与える。${\displaystyle W:L^{p}(\mathbb {R} )\to L^{p}(\mathbb {R} )}$。

もし${\displaystyle f}$が十分に滑らかであれば、ワイエルシュトラス変換は${\displaystyle k}$の階微分${\displaystyle f}$に等しい${\displaystyle k}$のワイエルシュトラス変換の 階微分${\displaystyle f}$。

ワイエルシュトラス変換Wと両側ラプラス変換を関連付ける公式が存在する。${\displaystyle L}$定義すると

${\displaystyle g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)}$

それから

${\displaystyle W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).}$

ガウス関数のラプラス変換と密接に関連し、ハバード・ストラトノビッチ変換の実例となる以下の式は、比較的容易に導出できる。

${\displaystyle e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.}$

ここで、 u を形式微分演算子D  = d / dxに置き換え、ラグランジュシフト演算子を利用する。 

${\displaystyle e^{-yD}f(x)=f(xy)}$、

（テイラー級数公式と指数関数の定義の結果として）

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}}$

これにより、ワイエルシュトラス変換の以下の形式表現が得られる。${\displaystyle W}$、

ここで、右側の演算子は関数f ( x ) に対して次のように作用するものと理解される。

${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.}$

上記の形式的な導出では収束の詳細が省略されており、式は${\displaystyle W=e^{D^{2}}}$したがって、普遍的に妥当なものではなく、いくつかの関数が存在する。${\displaystyle f}$明確に定義されたワイエルシュトラス変換を持つが、${\displaystyle e^{D^{2}}(f)}$意味のある定義は不可能である。

とはいえ、この規則は依然として非常に有用であり、例えば、上述の多項式、指数関数、三角関数のワイエルシュトラス変換を導出するために使用することができる。

ワイエルシュトラス変換の形式的な逆変換は次のように与えられる。

${\displaystyle W^{-1}=e^{-D^{2}}~.}$

繰り返しますが、この公式は普遍的に有効ではありませんが、ガイドとして役立ちます。右辺の演算子が適切に定義されていれば、特定のクラスの関数に対して正しいことが示されます。^{[ 2 ]}

あるいは、少し異なる方法でワイエルシュトラス変換を逆変換することも試みることができる。解析関数が与えられた場合

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,}$

適用する${\displaystyle W^{-1}}$取得する

${\displaystyle f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)}$

再び（物理学者の）エルミート多項式の基本的な性質を利用する${\displaystyle H_{n}}$。

繰り返しますが、この式は${\displaystyle f(x)}$最終的な級数が収束するかどうかを確認していないため、これはせいぜい形式的なものです。しかし、例えば、${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$、そしてすべての導関数の知識${\displaystyle F}$で${\displaystyle x=0}$係数を得るのに十分${\displaystyle a_{n}}$そしてこのように再構築する${\displaystyle f}$エルミート多項式の系列として。

ワイエルシュトラス変換を逆変換する3つ目の方法は、前述のラプラス変換との関連性、およびラプラス変換のよく知られた逆変換公式を利用するものです。分布に関する結果を以下に示します。

ガウスカーネルを用いた畳み込みを利用できます。$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},\quad t>0,}$$の代わりに$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}},}$$これにより、一般化ワイエルシュトラス変換である演算子W _tが定義される。

の値が小さい場合${\displaystyle t}$、${\displaystyle W_{t}[f]}$非常に近い${\displaystyle f}$しかし滑らかです。${\displaystyle t}$この演算子が平均化して変化させるほど${\displaystyle f}$物理的に、${\displaystyle W_{t}}$これは、熱（または拡散）方程式に従うことに対応します。${\displaystyle t}$時間単位、これは加算されます。 $${\displaystyle W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},}$$ 「拡散する」に対応${\displaystyle t}$時間単位、それから${\displaystyle s}$時間単位では、拡散に相当します${\displaystyle s+t}$時間単位」。これを拡張すると、${\displaystyle t=0}$設定することで${\displaystyle W_{0}}$恒等演算子（つまりディラックのデルタ関数との畳み込み）となり、これらは1パラメータ半群の演算子を形成します。

カーネル$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},}$$一般化ワイエルシュトラス変換に用いられるものは、ガウス・ワイエルシュトラス核と呼ばれることもあり、拡散方程式のグリーン関数である。$${\displaystyle (\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0,}$$の上${\displaystyle \mathbb {R} }$。 ${\displaystyle W_{t}}$から計算できます${\displaystyle W}$: 関数が与えられた場合${\displaystyle f(x)}$新しい関数を定義する$${\displaystyle f_{t}(x):=f(x{\sqrt {t}}),}$$それから$${\displaystyle W_{t}[f](x)=W[f_{t}](x{\sqrt {t}}),}$$置換規則の結果。

ワイエルシュトラス変換は、特定のクラスの分布または「一般化関数」に対しても定義できます。^{[ 3 ]}例えば、ディラックデルタ関数のワイエルシュトラス変換はガウス関数です。$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}.}$$ この文脈では、厳密な逆変換公式が証明できます。例えば、 $${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz,}$$ どこ${\displaystyle x_{0}}$は、​${\displaystyle F(x_{0})}$が存在する場合、積分は複素平面上の実部を持つ垂直線に沿って拡張されます。${\displaystyle x_{0}}$そして、極限は分布の意味で取られる。

さらに、ワイエルシュトラス変換は、実数値（または複素数値）関数（または分布）に対して定義できます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上記と同じ畳み込み公式を使用しますが、積分は全体にわたって拡張されていると解釈します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして表現${\displaystyle (x-y)^{2}}$ベクトルのユークリッド長の二乗として${\displaystyle x-y}$; ガウス関数の積分の合計が 1 になるように、積分の前の係数を調整する必要があります。

より一般的には、ワイエルシュトラス変換は任意のリーマン多様体上で定義できます。熱方程式はそこで定式化でき（多様体のラプラス・ベルトラミ演算子を使用）、ワイエルシュトラス変換は${\displaystyle W[f]}$は、初期の「温度分布」から始めて、1単位時間における熱方程式の解を追跡することによって与えられます。${\displaystyle f}$。

カーネルを用いた畳み込みを考えると ${\displaystyle {\frac {1}{(1+x^{2})\pi }}}$ガウス関数の代わりに、ポアソン変換を用いることで、ワイエルシュトラス変換と同様の方法で、与えられた関数を平滑化および平均化することができる。

• ガウスぼかし
• ガウスフィルター
• フシミQ表現
• 熱方程式#基本解