擬似多様体

数学において、擬似多様体は特殊なタイプの位相空間です。擬似多様体はほとんどの点で多様体のように見えますが、特異点を含む場合があります。たとえば、の解の円錐は擬似多様体を形成します。 ${\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}}$

擬似多様体は、特異点を持つ多様体の一般的な概念を組合せ論的に実現したものとみなすことができます。写像の向き付け可能性、向き、次数の概念は擬似多様体にとって意味があり、さらに、組合せ論的アプローチでは、擬似多様体はこれらの概念の自然な定義領域を形成します。^{[1] [2]}

三角分割Kを持つ位相空間Xは、次の条件が満たされるときn次元擬似多様体である: ^[3]

1. (純粋) X = | K | はすべてのn単体の和集合です。
2. すべての( n -1)単体は、 n>1に対してちょうど1つまたは2つのn単体の面である。
3. K内のn単体 σ と σ'のすべてのペアに対して、n単体のシーケンスσ = σ ₀、 σ ₁、 ...、 σ _k = σ'が存在し、交差σ _i ∩ σ _{i +1}は、すべてのi = 0、 ...、k −1に対して( n −1) 単体になります。

• 条件2は、Xが非分岐 単体複体であることを意味する。^[4]
• 条件3はXが強く連結した単体複体であることを意味する。^[4]
• 条件2が条件3のn単体の列における ( n −1)単体に対してのみ成立することを要求すると 、n=2の場合にのみ同等の定義が得られます。n≥3の場合、条件2を満たすn単体の列を介して強く連結された組合せ的非擬似多様体の例があります。 ^[5]

強く連結されたn-複合体は、常に n-単体から、そのうちの2つを( n −1)-単体で接着することで組み立てることができます。ただし、一般に、接着による構築は非擬似多様体につながる可能性があります（図2を参照）。

それでも、非擬似多様体表面を、特異な辺と頂点のみで切断する多様体部分に分解することは常に可能です (図 2 の青部分を参照)。一部の表面では、複数の非同等のオプションが可能です (図 3 を参照)。

一方、高次元では、n>2 の場合、状況はかなり複雑になります。

• 一般に、n≥3の場合、n擬多様体は特異点で切断するだけでは多様体部分に分解できません（図4を参照）。

• n≥3の場合、特異点で切断するだけでは擬多様体部分にさえ分解できないn複体が存在する。^[5]

• 擬多様体は、余次元が 2 以上の各単体のリンクが擬多様体である場合に正規と呼ばれます。

• ピンチトーラス（図1参照）は、向き付け可能なコンパクトな2次元擬似多様体の一例である。^[3]

(頂点のリンクが接続されていないため、ピンチトーラスは通常の擬似多様体ではないことに注意してください。)

• 複素代数多様体（特異点を含むものも含む）は擬似多様体の例である。^[4]

(実代数多様体は必ずしも擬似多様体ではないことに注意してください。その特異点は余次元 1 になる可能性があるためです。たとえば、xy=0 を取ります。)

• 三角形化可能なコンパクト多様体上のベクトル束のトム空間は擬多様体の例である。^[4]
• Z上の三角形状、コンパクト、連結、ホモロジー多様体は擬多様体の例である。^[4]
• 2つの4次元単体を共通の四面体に接着して得られる複合体は、ループ量子重力のスピンフォーム定式化で使用される4次元擬似多様体の適切なスーパーセットです。^[6]
• 2つのn単体を(n-1)面で接着して定義される組み合わせn複体は、必ずしもn擬多様体ではない。接着により非擬多様体性が誘発されることがある。[ ^5]

• 階層化された空間