世界多様体

重力理論では、何らかのローレンツ擬リーマン計量と関連する時空構造を備えた世界多様体は時空である。重力理論は、世界多様体上の 自然束上の古典場の理論として定式化される。

世界多様体は、4 次元の向き付け可能な実滑らかな多様体です。これは、ハウスドルフ空間で、第 2 可算な 位相空間であると仮定されます。したがって、これは、可算な数のコンパクト部分集合の和集合、可分空間、パラコンパクト空間、および完全に正則な空間である局所コンパクト空間です。パラコンパクトであるため、世界多様体は滑らかな関数による単位の分割を許容します。パラコンパクト性は、世界多様体の本質的な特性です。これは、世界多様体がリーマン計量を許容するために必要かつ十分であり、擬リーマン計量の存在に必要です。世界多様体は連結である と仮定され、したがって、弧状連結されています。

世界多様体の接バンドル と、 内の線型接フレームの関連する主フレームバンドルは、一般線型群構造群を持ちます。世界多様体は、接バンドルと、それに応じてフレームバンドルが自明である場合、つまり の大域セクション (フレームフィールド) が存在する場合、並列化可能であると言われます。世界多様体上の接バンドルと関連するバンドルが、有限個の自明化チャートからなる バンドルアトラスを許容することが不可欠です。${\displaystyle TX}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle FX}$${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle GL^{+}(4,\mathbb {R} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle FX}$

世界多様体上の接線バンドルとフレームバンドルは、一般共変変換によって特徴付けられる自然バンドルです。これらの変換は、世界多様体上の重力理論の ゲージ対称性です。

構造群簡約に関するよく知られた定理により、世界多様体上のフレームバンドルの構造群は、常にその最大コンパクト部分群に簡約可能です。商バンドルの対応する大域切断は、上のリーマン計量です。したがって、世界多様体は常に、計量位相空間 を作成するリーマン計量を許容します。 ${\displaystyle GL^{+}(4,\mathbb {R} )}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle SO(4)}$${\displaystyle FX/SO(4)}$${\displaystyle g^{R}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

幾何学的同値原理によれば、世界多様体はローレンツ構造を持ちます。つまり、フレームバンドルの構造群はローレンツ群に縮小される必要があります。商バンドルの対応する大域断面は、上の符号の擬リーマン計量です。これは、一般相対性理論では重力場として、ゲージ重力理論では古典的なヒッグス場として扱われます。 ${\displaystyle FX}$ ${\displaystyle SO(1,3)}$${\displaystyle FX/SO(1,3)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (+,---)}$${\displaystyle X}$

ローレンツ構造が存在する必要はありません。したがって、世界多様体は特定の位相条件を満たすものとみなされます。これは、非コンパクトな位相空間か、オイラー特性がゼロのコンパクト空間のいずれかです。通常、重力理論でディラックフェルミオン場を記述するには、世界多様体がスピノル構造を許容することも必要です。この構造の存在には、追加の位相的障害があります。特に、非コンパクトな世界多様体は並列化可能でなければなりません。

フレームバンドルの構造群がローレンツ群に還元可能である場合、後者は常にその最大コンパクト部分群に還元可能である。したがって、可換図式が存在する。 ${\displaystyle FX}$${\displaystyle SO(3)}$

${\displaystyle GL(4,\mathbb {R} )\to SO(4)}$

${\displaystyle \downarrow \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow }$

${\displaystyle SO(1,3)\to SO(3)}$

重力理論におけるフレームバンドルの構造群の縮小。この縮小図の結果は次のようになります。 ${\displaystyle FX}$

(i) 世界多様体 上の重力理論では、常に、 - 値の遷移関数を持つフレームバンドル(ローカルフレームフィールド によって特徴付けられる)のアトラスを選択できます。これらの遷移関数は、ローカルフレームフィールドの時間のような要素を保存するため、グローバルに定義されます。これは、 上のどこにも消えないベクトル場です。したがって、双対時間のような共ベクトル場もグローバルに定義され、となるような上の空間分布を生成します。すると、世界多様体の接線バンドルは、時空分解 を許容します。 ここで、 は、時間のようなベクトル場 によって張られる 1 次元のファイバーバンドルです。この分解は、 - 互換時空構造と呼ばれます。これにより、世界多様体が時空になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle \{h^{\lambda }\}}$${\displaystyle SO(3)}$${\displaystyle h_{0}=h_{0}^{\mu }\partial _{\mu }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h^{0}=h_{\lambda }^{0}dx^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subset TX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h^{0}\rfloor {\mathfrak {F}}=0}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle TX={\mathfrak {F}}\oplus T^{0}X}$${\displaystyle T^{0}X}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle g}$

(ii) 構造群の縮小の上記の図が与えられたとき、および を上の対応する擬リーマン計量およびリーマン計量とする。これらは、関係式 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{R}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (g,g^{R},h^{0})}$

${\displaystyle g=2h^{0}\otimes h^{0}-g^{R}}$。

逆に、世界多様体がどこにも消えない一形式（または、同等に、どこにも消えないベクトル場）を許容するとする。すると、任意のリーマン計量は擬リーマン計量を与える。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle g^{R}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle g={\frac {2}{g^{R}(\sigma ,\sigma )}}\sigma \otimes \sigma -g^{R}}$。

したがって、世界多様体は、上にどこにも消滅しないベクトル（または共ベクトル）場が存在する場合にのみ、擬リーマン計量を許容します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

3 組の - 互換リーマン計量は、世界多様体 上の - 互換距離関数を定義することに注意しましょう。このような関数は、を、局所ユークリッド位相が 上の多様体位相と同等な計量空間に持ち込みます。重力場 が与えられた場合、- 互換リーマン計量と対応する距離関数は、異なる空間分布 およびに対して異なります。したがって、これらの異なる空間分布に関連付けられた物理的な観測者は、世界多様体を異なるリーマン空間として認識します。よく知られている運動物体のサイズの相対論的変化は、この現象の例です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{R}}$${\displaystyle (g,g^{R},h^{0})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$${\displaystyle X}$

しかし、時空構造から直接世界位相を導出しようとする試みがあります（パス位相、アレクサンドロフ位相）。時空が強い因果条件を満たす場合、そのような位相は世界多様体のよく知られた多様体位相と一致します。ただし、一般的なケースでは、それらはむしろ異常です。

時空構造は、空間分布 が可積分であるとされる。この場合、その積分多様体は、葉が空間 3 次元部分空間である世界多様体の空間葉脈を構成する。空間葉脈は、その葉を横切る曲線が各葉と 2 回以上交差しない場合に因果的であるとされる。この条件は、スティーブン ホーキングの安定因果律と同等である。時空葉脈は、微分がどこにも消滅しない滑らかな実関数のレベル面の葉脈である場合に限り因果的である。このような葉脈は繊維状多様体である。しかし、これは、 上の繊維状多様体にはなり得ないコンパクトな世界多様体の場合には当てはまらない。 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

安定した因果関係は、最も単純な因果構造を提供しません。ファイバー多様体がファイバー束である場合、それは自明です。つまり、世界多様体は大域双曲多様体です。任意の方向付けられた 3 次元多様体は並列化可能であるため、大域双曲世界多様体は並列化可能です。 ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} \times M}$

• 時空
• 一般相対性理論の数学
• ゲージ重力理論

• SW ホーキング、GFR エリス、『時空の大規模構造』（ケンブリッジ大学出版、ケンブリッジ、1973 年）ISBN  0-521-20016-4
• CTG ドッドソン『カテゴリー、バンドル、時空トポロジー』（Shiva Publ. Ltd.、オーピントン、イギリス、1980 年）ISBN 0-906812-01-1 

• Sardanashvily, G. (2011). 「古典ゲージ重力理論」.現代物理学における幾何学的手法の国際ジャーナル. 8 (8): 1869–1895. arXiv : 1110.1176 . Bibcode :2011IJGMM..08.1869S. doi :10.1142/S0219887811005993. S2CID  119711561.