第二高調波発生

第二高調波発生（SHG ）は周波数倍増とも呼ばれ、光学、電波、大気、磁気流体力学システムなど、さまざまなシステムで発生する最も低次の波動非線形相互作用です。^[1] SHGは波のプロトタイプ動作として、たとえばレーザー周波数の倍増に広く使用されています。SHGは当初、同じ周波数を持つ2つの光子が非線形材料と相互作用して「結合」し、励起のコヒーレンスを保存する ^、最初の光子の2倍のエネルギー（つまり、周波数が2倍で波長が半分）を持つ新しい光子を生成する非線形光学プロセスとして発見されました[ 2]。これは和周波発生（2つの光子）の特殊なケースであり、より一般的には高調波発生の特殊なケースです。

媒体の二次非線形感受率は、その媒体が SHG を引き起こす傾向を特徴づける。他の偶数次非線形光学現象と同様に、二次高調波発生は反転対称性 (主要な電気双極子の寄与) を持つ媒体では許可されない。 ^[3]しかし、 2 レベル システムがその遷移周波数に匹敵するラビ周波数で駆動されるときに見られるブロッホ-ジーゲルト シフト(振動) などの効果は、中心対称システムで二次高調波発生を引き起こす。^{[4] [5]}さらに、結晶学的点群432に属する非中心対称 結晶では、SHG は不可能であり^[6]、クラインマンの条件下では、422 および 622 点群の SHG は消滅するはずである^[7]が、いくつかの例外が存在する。^[8]

場合によっては、光エネルギーのほぼ 100% を第二高調波周波数に変換できます。これらのケースでは通常、強力なパルスレーザービームを大きな結晶に通し、位相を合わせるために慎重に調整する必要があります。第二高調波イメージング顕微鏡などの他のケースでは、光エネルギーのごく一部のみが第二高調波に変換されますが、それでもこの光は光学フィルターの助けを借りて検出できます。

周波数倍増とも呼ばれる第 2 高調波の生成も無線通信のプロセスです。これは 20 世紀初頭に開発され、メガヘルツ範囲の周波数で使用されてきました。これは周波数倍増の特殊なケースです。

第二高調波発生は、 1961年にミシガン大学アナーバー校のピーター・フランケン、A・E・ヒル、C・W・ピーターズ、G・ウェインライヒによって初めて実証されました。 ^{[9]この実証は、必要な高強度コヒーレント光を作り出す}レーザーの発明によって可能になりました。彼らは、波長694 nmのルビーレーザーを石英サンプルに集中させました。彼らは出力光を分光計に通し、印画紙にスペクトルを記録しました。それは、347 nmの光の生成を示していました。有名な話ですが、この研究がPhysical Review Letters誌に掲載されたとき、^[9]校正担当者は印画紙の上の薄暗い点（347 nm）をほこりの粒と勘違いして、出版物から削除しました。^[10] SHGの定式化は、1962年にハーバード大学のN. BloembergenとP. S. Pershanによって最初に説明されました。 ^{[11]線形媒体と非線形媒体の間の平面界面における}マクスウェル方程式の広範な評価により、非線形媒体における光の相互作用に関するいくつかの規則が解明されました。

第二高調波発生は、臨界位相整合の3つのタイプで発生し、^[12] 0、I、IIと表記される。タイプ0のSHGでは、結晶に対して異常偏光を持つ2つの光子が結合して、周波数/エネルギーが2倍で異常偏光を持つ単一の光子を形成する。タイプIのSHGでは、結晶に対して通常の偏光を持つ2つの光子が結合して、周波数が2倍で異常偏光を持つ1つの光子を形成する。タイプIIのSHGでは、直交偏光を持つ2つの光子が結合して、周波数が2倍で通常の偏光を持つ1つの光子を形成する。特定の結晶方向に対して、これらのタイプのSHGのうちの1つだけが発生する。一般に、タイプ0の相互作用を利用するには、周期分極反転ニオブ酸リチウム（PPLN）などの準位相整合結晶タイプが必要となる。

位相整合プロセスは基本的に、ω と 2ω における光学屈折率 n を適合させることを意味するため、一部の複屈折結晶では温度制御によっても実行できます。これは、n が温度によって変化するためです。たとえば、LBO は1200 または 1400 nm で励起された SHG に対して 25 °C で完全な位相整合を示しますが、^[13]通常の 1064 nm のレーザー ラインを使用した SHG では 200 °C に上昇させる必要があります。これは通常の位相整合のように結晶の向きに依存しないため、「非臨界」と呼ばれます。

反転対称性を持つ媒体は、主次電気双極子寄与による第二高調波光の生成が禁止されているため（第三高調波発生とは異なり）、表面と界面は SHG の研究対象として興味深いものになります。実際、第二高調波発生と和周波発生はバルクからの信号を区別するため、暗黙的に表面特有の技術と分類されます。1982 年に、TF Heinzと YR Shen は、表面に吸着した分子単分子層を調べるための分光技術として SHG を使用できることを初めて明示的に実証しました。^[14] Heinz と Shen は、レーザー色素ローダミンの単分子層を平面の溶融シリカ表面に吸着させ、次にコーティングされた表面をナノ秒超高速レーザーでポンピングしました。吸着分子とその電子遷移の特徴的なスペクトルを持つ SH 光が表面からの反射として測定され、ポンプレーザー出力に対する 2 次パワー依存性が実証されました。

SHG分光法では、入射電界が与えられたときの入射周波数2ωの2倍を測定することに焦点を当て、表面に関する情報を明らかにします。単純に（より詳細な導出については以下を参照）、単位体積あたりの誘導された第2高調波双極子は次のように表すことができます。 ${\displaystyle E(\omega )}$${\displaystyle P^{(2)}(2\omega )}$

${\displaystyle E(2\omega )\propto P^{(2)}(2\omega )=\chi ^{(2)}E(\omega )E(\omega )}$

ここで、は非線形感受率テンソルとして知られ、研究対象界面の材料の特性です。^[15]生成された対応するは、表面/界面における分子の配向、表面の界面分析化学、および界面における化学反応に関する情報を明らかにすることが示されています。 ${\displaystyle \chi^{(2)}}$${\displaystyle E(2\omega )}$${\displaystyle \chi^{(2)}}$

この分野での初期の実験では、金属表面からの第二高調波発生が実証されました。^[16]最終的に、SHGは空気と水の界面を調べるために使用され、最も普遍的な表面の1つにおける分子の配向と秩序に関する詳細な情報が可能になりました。^[17]次の特定の要素が示されています。 ${\displaystyle \chi^{(2)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{zzz}^{(2)}&=N_{s}\left\langle \cos ^{3}(\theta )\right\rangle \alpha _{zzz}^{(2)}\\\chi _{xzx}^{(2)}&={\frac {1}{2}}N_{s}\left\langle \cos(\theta )\sin ^{2}(\theta )\right\rangle \alpha _{zzz}^{(2)}\end{aligned}}}$

ここで、N _sは吸着密度、θは分子軸z が表面法線Zとなす角度、界面における分子の非線形分極率の支配的な要素であり、 実験室座標( x、y、z )が与えられた場合、 θ を決定することができる。^[18] χ (2)のこれらの要素を決定するために干渉SHG法を使用した最初の分子配向測定では、フェノールのヒドロキシル基が空気-水界面で下向きに水中を向いていることが示された（^{ヒドロキシル}基が水素結合を形成する可能性があるため、予想どおり）。さらに、平面表面でのSHGにより、界面における分子のpKaと回転運動に違いがあることが明らかになった。 ${\displaystyle \alpha _{zzz}^{(2)}}$

第二高調波光は、「局所的に」平面であるが、より大きなスケールでは反転対称性（中心対称性）を持つ表面からも生成される可能性がある。具体的には、最近の理論では、レイリー散乱（吸収波から放射波への周波数変化のない散乱）を適切に処理することで、小さな球状粒子（マイクロメートルおよびナノメートルスケール）からの第二高調波が可能になることが実証されている。^[19]小さな球の表面では反転対称性が破れ、第二高調波やその他の偶数次高調波が発生する。

比較的低濃度の微粒子コロイド系の場合、総SH信号は次のように表されます。 ${\displaystyle I_{2\omega }^{\text{total}}}$

${\displaystyle I_{2\omega }^{\text{total}}\propto \sum \limits _{j=1}^{n}\left(E_{j}^{2\omega }\right)^{2}=n\left(E^{2\omega }\right)^{2}=nI_{2\omega }}$

ここで、はj番目の粒子によって生成される SH 電場、n は粒子の密度です。^[20]各粒子から生成される SH 光はコヒーレントですが、他の粒子によって生成される SH 光にインコヒーレントに追加されます (密度が十分に低い限り)。したがって、SH 光は球とその環境の界面からのみ生成され、粒子間相互作用とは無関係です。また、第 2 高調波電場は粒子の半径の 3 乗、つまり a ³に比例することが示されています。 ${\displaystyle E_{j}^{2\omega }}$${\displaystyle E(2\omega )}$

球体以外にも、棒状などの他の小さな粒子も同様にSHGによって研究されてきました。^[21]小さな粒子の固定化システムとコロイドシステムの両方を調査することができます。非平面システムの第二高調波発生を使用した最近の実験には、生きた細胞膜を介した輸送速度論^{[22]や複雑な}ナノ材料におけるSHGの実証などがあります。^[23]

励起ガウスビームによって生成されるSHG放射パターンは、励起される非線形媒体が均質である場合（A）、（均質な）2Dガウスプロファイルも持ちます。ただし、励起ビームがビーム伝播と平行な反対極性間のインターフェース（±境界、B）に配置されている場合（図を参照）、SHGは振幅が反対の符号を持つ、つまり位相シフトした2つのローブに分割されます。 ^[24]${\displaystyle \pi }$

これらの境界は、例えば 筋肉のサルコメア（タンパク質 =ミオシン）に見られます。ここでは、前世代のみを考慮していることに注意してください。

さらに、SHG位相整合の結果、一部のSHGは後方（エピ方向）にも放射されることがあります。生物学的組織のように位相整合が満たされていない場合、後方信号は十分に高い位相不整合から生じ、小さな後方寄与でそれを補うことができます。^[25]蛍光とは異なり、プロセスの空間コヒーレンスにより、これら2つの方向にのみ放射するように制限されますが、後方のコヒーレンス長は常に前方よりもはるかに小さく、つまり常に前方SHG信号が後方SHG信号より多くなります。^[26]${\displaystyle {\vec {k}}_{2\omega }=-2{\vec {k}}_{\omega }}$

前方 ( F ) と後方 ( B ) の比率は、励起されているさまざまな双極子 (図の緑色) の配置によって異なります。双極子が 1 つだけの場合 (図の (a))、F  =  Bですが、伝播方向に沿ってより多くの双極子が積み重ねられると (b および c)、F がBよりも高くなります。ただし、ガウスビームのGouy 位相シフトは、焦点ボリュームのエッジで生成される SHG 間の位相シフトを意味し、これらのエッジに同じ方向を持つ双極子がある場合 (図のケース (d))、破壊的な干渉 (ゼロ信号) が発生する可能性があります。 ${\displaystyle \pi }$

レーザー業界では、1064 nm の光源から 532 nm の緑色レーザーを生成するために、第二高調波発生が使用されています。1064 nm の光は、バルク非線形結晶 (通常は KDPまたはKTP製) を通して供給されます。高品質のダイオード レーザーでは、結晶の出力側が赤外線フィルターでコーティングされており、1064 nm または 808 nm の強力な赤外線がビームに漏れるのを防いでいます。これらの波長は両方とも目に見えず、目の防御反応である「瞬き反射」を誘発しないため、人間の目には特に危険です。さらに、アルゴンやその他の緑色レーザー用のレーザー安全眼鏡の中には、緑色成分をフィルターで除去するもの (安全だと誤解させる) もありますが、赤外線は透過します。それでも、高価な赤外線フィルターを省略した「緑色レーザー ポインター」製品が市場に出回っており、多くの場合、警告も出ていません。^[27]

第二高調波発生は、自己相関器による超短パルス幅の測定にも使用される。超短パルスの特性評価（時間幅の測定など）は、時間スケールが 1ps（秒）未満であるため、電子工学のみで直接行うことはできない。パルス自体を使用する必要があり、そのため自己相関関数がよく使用される。SHG には、2 つの入力フィールドを混合して高調波フィールドを生成できるという利点があるため、このようなパルス測定を実行するための優れた候補である（ただし、唯一の候補ではない）。 光自己相関は、強度または縞分解（干渉）バージョンで SHG を使用し、^[28]フィールド自己相関とは異なります。また、 FROGのほとんどのバージョン（SHG-FROG と呼ばれる）では、遅延フィールドを混合するために SHG を使用します。^[29]${\displaystyle 10^{-12}}$

生物学および医学では、第二高調波発生の効果は高解像度の光学顕微鏡法に使用されています。第二高調波係数がゼロではないため、非中心対称構造のみが SHG 光を放射できます。そのような構造の 1 つがコラーゲンで、ほとんどの荷重支持組織に見られます。フェムト秒レーザーなどの短パルスレーザーと適切なフィルターのセットを使用すると、励起光は放射された周波数 2 倍の SHG 信号から簡単に分離できます。これにより、ピンホールを使用せずに共焦点顕微鏡に匹敵する非常に高い軸方向および横方向の解像度が可能になります。SHG顕微鏡法は、主にコラーゲンで構成される角膜 [30] と強膜篩骨板 [31] の研究に使用されています。第^二高調^波発生は、いくつかの非中心対称有機色素によって生成できますが、ほとんどの有機色素は、第二高調波発生信号とともに副次的な蛍光も生成します。^[32]これまで、副次的な蛍光を生成せず、純粋に第二高調波発生で機能する有機染料は2つのクラスのみであることが示されています。^{[32] [33]}最近、オックスフォード大学の研究者グループは、2光子励起蛍光と第二高調波発生に基づく顕微鏡法を使用して、有機ポルフィリン型分子が2光子蛍光と第二高調波発生に対して異なる遷移双極子モーメントを持つことができることを示しました。 ^[34]そうでなければ、これらは同じ遷移双極子モーメントから発生すると考えられていました。^[35]

第二高調波発生顕微鏡は材料科学でも利用されており、例えばナノ構造材料の特性評価に利用されている。^[36]

第二高調波発生は、非中心対称性を検出する最も識別力が高く迅速な技術の1つであるため、有機または無機結晶の特性評価にも関連しています^[37]。^[38]さらに、この技術は、単結晶だけでなく粉末サンプルにも使用できます。 SHGは（バルクから）非中心対称（NC）結晶でのみ可能であることを思い出してください。 自然界における非中心対称結晶の割合は、中心対称結晶よりもはるかに低い（ケンブリッジ構造データベースの約22％ ）が^{[39] 、NC結晶の頻度は、これらの結晶の特定の特性（}圧電性、焦電性、極性相、キラリティーなど） のために、製薬、生物学、電子工学の分野で大幅に増加します。

1968年^[40]（単結晶におけるSHGの最初の実験的証拠^[9]から7年後）、カーツとペリーは粉末結晶サンプル中の反転中心の有無を迅速に検出するためのSHG分析装置の開発を開始しました。SHG信号の検出は、99％以上の信頼度レベルで結晶の非中心対称性を検出するための信頼性が高く感度の高いテストであることが証明されています。これは、単結晶X線回折におけるフリーデルの法則から生じる可能性のある空間群の曖昧さを解決するための適切なツールです。^[41]さらに、この方法は国際結晶構造表に記載されており、「結晶材料に対称中心が存在しないかどうかをテストする強力な方法」と説明されています。^[42]

一つの応用例としては、製薬業界で特に関心の高い複合体などのキラル相を迅速に識別することが挙げられる。 ^[43]また、不純物の1つがNCである場合、SHG顕微鏡を使用して体積比で100億分の1まで、Kurtz-Perry装置を使用して1ppmという低い検出閾値に達すると、物質の構造純度を調べる技術としても使用できる。 ^{[44 ]}

この技術は感度が高いため、相図を正確に決定するのに役立つツールとなり得る^[46]。また、少なくとも1つの相がNCである場合に相転移（多形転移、脱水など）を監視するためにも使用できる。 ^{[47] [48] [49]}

第二高調波発生の解析の最も単純なケースは、振幅E ( ω )の平面波が非線形媒体中をkベクトルの方向に伝わる場合である。第二高調波周波数で偏光が生成される: ^[50]

${\displaystyle P(2\omega )=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E^{2}(\omega )=2\varepsilon _{0}d_{\text{eff}}(2\omega ;\omega ,\omega )E^{2}(\omega ),\,}$

ここで、は、この特定の相互作用に関与するの特定の成分に依存する有効非線形光学係数である。2ω における波動方程式（損失は無視できると仮定し、ゆっくり変化する包絡線近似を主張する）は、 ${\displaystyle d_{\text{eff}}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$

${\displaystyle {\frac {\partial E(2\omega )}{\partial z}}=-{\frac {i\omega }{n_{2\omega }c}}d_{\text{eff}}E^{2}(\omega )e^{i\,\Delta k\,z}}$

どこ。 ${\displaystyle \Delta k=k(2\omega )-2k(\omega )}$

変換効率が低い場合（E (2 ω ) ≪ E ( ω )）、振幅は相互作用長にわたって本質的に一定のままである。そして境界条件により、 ${\displaystyle E(\omega )}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle E(2\omega ,z=0)=0}$

${\displaystyle E(2\omega ,z=\ell )=-{\frac {i\omega d_{\text{eff}}}{n_{2\omega }c}}E^{2}(\omega )\int _{0}^{\ell }e^{i\,\Delta k\,z}\,dz=-{\frac {i\omega d_{\text{eff}}}{n_{2\omega }c}}E^{2}(\omega )\ell \,{\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}\,\Delta k\,\ell \right)}{{\frac {1}{2}}\,\Delta k\,\ell }}e^{{\frac {i}{2}}\,\Delta k\,\ell }}$

光強度に関して言えば、これは、 ${\displaystyle I=n/2{\sqrt {\varepsilon _{0}/\mu _{0}}}|E|^{2}}$

${\displaystyle I(2\omega ,\ell )={\frac {2\omega ^{2}d_{\text{eff}}^{2}\ell ^{2}}{n_{2\omega }n_{\omega }^{2}c^{3}\varepsilon _{0}}}\left({\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}\,\Delta k\,\ell \right)}{{\frac {1}{2}}\,\Delta k\,\ell }}\right)^{2}I^{2}(\omega )}$

この強度は、位相整合条件 Δ k = 0で最大になります。プロセスが位相整合されていない場合、ωでの駆動偏光は、生成された波E (2 ω )と位相が合ったり外れたりし、変換は sin(Δ kℓ /2) として振動します。コヒーレンス長は と定義されます。コヒーレンス長よりもはるかに長い非線形結晶を使用するのは得策ではありません。(周期的ポーリングと擬似位相整合は、この問題に対する別のアプローチを提供します。) ${\displaystyle \ell _{c}={\frac {\pi }{\Delta k}}}$

2次高調波への変換が重要になると、基本波の減衰を考慮する必要が出てきます。エネルギー変換は、関係するすべてのフィールドがマンリー・ロウの関係を検証することを述べています。すると、次の連立方程式が得られます。^[51]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial E(2\omega )}{\partial z}}&=-{\frac {i\omega }{n_{2\omega }c}}d_{\text{eff}}E^{2}(\omega )e^{i\,\Delta k\,z},\\[5pt]{\frac {\partial E(\omega )}{\partial z}}&=-{\frac {i\omega }{n_{\omega }c}}d_{\text{eff}}^{*}E(2\omega )E^{*}(\omega )e^{-i\,\Delta k\,z},\end{aligned}}}$

ここで は複素共役を表す。簡単のため、位相整合発電（）を仮定する。すると、エネルギー保存則は ${\displaystyle *}$${\displaystyle \Delta k=0}$

${\displaystyle n_{2\omega }\left[E^{*}(2\omega ){\frac {\partial E(2\omega )}{\partial z}}+{\text{c.c.}}\right]=-n_{\omega }\left[E(\omega ){\frac {\partial E^{*}(\omega )}{\partial z}}+{\text{c.c.}}\right]}$

ここで、は他の項の複素共役であり、 ${\displaystyle {\text{c.c.}}}$

${\displaystyle n_{2\omega }\left|E(2\omega )\right|^{2}+n_{\omega }|E(\omega )|^{2}=n_{2\omega }E_{0}^{2}.}$

さて、次の前提で方程式を解きます。

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\omega )&=\left|E(\omega )\right|e^{i\varphi (\omega )}\\E(2\omega )&=\left|E(2\omega )\right|e^{i\varphi (2\omega )}\end{aligned}}}$

そして得る

${\displaystyle {\frac {d\left|E(2\omega )\right|}{dz}}=-{\frac {i\omega d_{\text{eff}}}{n_{\omega }c}}\left[E_{0}^{2}-\left|E(2\omega )\right|^{2}\right]e^{2i\varphi (\omega )-i\varphi (2\omega )}}$

それは

${\displaystyle \int _{0}^{\left|E(2\omega )\right|\ell }{\frac {d\left|E(2\omega )\right|}{E_{0}^{2}-\left|E(2\omega )\right|^{2}}}=-\int _{0}^{\ell }{\frac {i\omega d_{\text{eff}}}{n_{\omega }c}}e^{2i\varphi (\omega )-i\varphi (2\omega )}\,dz.}$

使用

${\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}-x^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}{\frac {x}{a}}}$

私たちは得る

${\displaystyle \left|E(2\omega )\right|_{z=\ell }=E_{0}\tanh \left({\frac {-iE_{0}\ell \omega d_{\text{eff}}}{n_{\omega }c}}e^{2i\varphi (\omega )-i\varphi (2\omega )}\right).}$

実数を仮定すると、実数調和成長の相対位相は となる必要があります。すると ${\displaystyle d_{\text{eff}}}$${\displaystyle e^{2i\varphi (\omega )-i\varphi (2\omega )}=i}$

${\displaystyle I(2\omega ,\ell )=I(\omega ,0)\tanh ^{2}\left({\frac {E_{0}\omega d_{\text{eff}}\ell }{n_{\omega }c}}\right)}$

または

${\displaystyle I(2\omega ,\ell )=I(\omega ,0)\tanh ^{2}(\Gamma \ell ),}$

ここで、 から次のことが導かれる。 ${\displaystyle \Gamma =\omega d_{\text{eff}}E_{0}/nc}$${\displaystyle I(2\omega ,\ell )+I(\omega ,\ell )=I(\omega ,0)}$

${\displaystyle I(\omega ,\ell )=I(\omega ,0)\operatorname {sech} ^{2}(\Gamma \ell ).}$

励起波は振幅のガウスビームであると仮定されます。 ${\displaystyle A_{1}=A_{0}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {z_{R}}{iq(z)}}\exp \left(ik_{1}{\frac {x^{2}+y^{2}}{2q(z)}}\right)}$

、伝播方向、レイリー範囲、波数ベクトルです。 ${\displaystyle q(z)=z-iz_{R}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z_{R}}$${\displaystyle {k}_{1}}$

各波は波動方程式を検証する

${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial }{\partial y^{2}}}+2ik_{1}{\frac {\partial }{\partial z}}\right]A(x,y,z;k_{1})={\begin{cases}0&{\text{for the fundamental}},\\{\frac {\omega _{n}^{2}c^{2}}{\chi ^{(n)}}}A(x,y,z;k_{1})e^{i\,\Delta k\,z}&{\text{for }}n{\text{-th harmonic}}.\end{cases}}}$

どこ。 ${\displaystyle \Delta k=k_{n}-k_{1}}$

次のことが証明できます: ${\displaystyle A_{n}=-i{\frac {\omega _{n}}{2n_{n\omega }c}}{\left(A_{0}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)^{n}}z_{R}^{2}\int _{-\infty }^{z}{\frac {\chi ^{(n)}(u)}{q(u)^{2}}}\,du\exp \left(ik_{n}{\frac {x^{2}+y^{2}}{2q(z)}}\right)}$

(ガウス分布) は、方程式の解です ( SHG の場合はn  = 2)。

実際には、特に生物学的サンプルでは、​​位相整合が完全でない方が現実的な条件です。しかし、近軸近似は依然として有効であると想定されています。調和表現では、は になります。 ${\displaystyle k_{n}=nk_{1}}$${\displaystyle \chi ^{(n)}(z)}$${\displaystyle \chi ^{(n)}(z)e^{i\,\Delta k\,z}}$

SHG（ n = 2）の特殊なケースでは、長さL の媒質と焦点位置における強度は次のように表される：^[52]${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle I_{2\omega }={\frac {2\omega ^{2}d_{\text{eff}}^{2}}{\pi c^{3}\varepsilon _{0}w_{0}^{2}n_{2\omega }n_{\omega }^{2}}}I_{\omega }^{2}\left(\int _{z_{0}}^{z_{0}+L}{\frac {e^{i\,\Delta k\,z}}{1+iz/z_{R}}}\right)^{2}\,dz.}$

ここで、は真空中の光速、は真空の誘電率、における媒体の光学屈折率、 は励起のウエストサイズです。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle n_{n\omega }}$${\displaystyle n\omega }$${\displaystyle w_{0}}$

したがって、ガウスビームの グイ位相シフトにより、SHG強度はバルク内で急速に減衰します（ ）。${\displaystyle 0<z_{0}<L}$

実験によれば、SHG 信号はバルク内では消え (媒体の厚さが大きすぎる場合)、SHG は材料の表面で生成される必要があります。したがって、変換は、平面波モデルが示すものとは反対に、散乱体の数の 2 乗に厳密に比例するわけではありません。興味深いことに、信号は、 THG のように、より高次のバルクでも消えます。

第二高調波を発生できる物質は、点群432の結晶を除いて反転対称性のない結晶である。これにより水とガラスは除外される。^[50]

特に、コラーゲン、チューブリン、ミオシンなどの円筒対称構造を持つ糸状の生物学的タンパク質だけでなく、特定の炭水化物（デンプンやセルロースなど）もSHG（近赤外線の基礎物質）の非常に優れた変換体です。^[53]

SHG変換に使用される 結晶の例:

• 600 ～ 1500 nm での基本励起: ^[54] BiBO (BiB ₃ O ₆ )
• 570 ～ 4000 nm での基本励起: ^[55] ヨウ素酸リチウムLiIO ₃。
• 800～1100 nm（多くの場合860または980 nm）での基本励起：^[56] ニオブ酸カリウムKNbO ₃。
• 410 ～ 2000 nm の基本励起: BBO (β-BaB ₂ O ₄ )。^[57]
• 984 ～ 3400 nm の基本励起: KTP (KTiOPO ₄ ) または KTA。^[58]
• 約1000～2000 nmでの基本励起： PPLNのような周期分極反転結晶。^[59]

入力波長を持つ 一般的なタイプのダイオード励起固体レーザーの場合:

• 1064 nm:リン酸一カリウムKDP (KH ₂ PO ₄ )、三ホウ酸リチウム(LiB ₃ O ₅ )、CsLiB ₆ O ₁₀、ホウ酸バリウムBBO (β-BaB ₂ O ₄ )。
• 1319 nm: KNbO ₃、BBO (β-BaB ₂ O ₄ )、リン酸一カリウムKDP (KH ₂ PO ₄ )、LiIO ₃、LiNbO ₃、およびリン酸チタニルカリウムKTP (KTiOPO ₄ )。

• 半高調波発生
• 高調波発生
• 非線形光学
• 光周波数逓倍器
• 第二高調波イメージング顕微鏡
• 自発的なパラメトリックダウンコンバージョン
• 表面第二高調波発生

• Parameswaran, KR; Kurz, JR; Roussev, MM; Fejer (2002). 「周期分極反転ニオブ酸リチウム導波路におけるシングルパス第二高調波発生における 99% ポンプ減衰の観察」. Optics Letters . 27 (1): 43– 45. Bibcode :2002OptL...27...43P. doi :10.1364/ol.27.000043. PMID  18007710.
• 「周波数倍増」。レーザー物理と技術の百科事典。2006年 11 月 4 日閲覧。