アルティン・ティッツグループ

数学の群論の分野において、アルティン群はアルティン・ティッツ群または一般化編組群とも呼ばれ、単純な表現によって定義される無限離散群の族です。コクセター群と密接な関係があります。例としては、自由群、自由アーベル群、編組群、直角アルティン・ティッツ群など があります。

これらの群は、1920年代から1940年代にかけての編組群に関する初期の研究にちなんでエミール・アルティンにちなんで名付けられました^[1] 。また、1960年代にもっと一般的な群のクラスの理論を開発したジャック・ティッツにもちなんで名付けられました^{[2] 。}

Artin–Tits 表示は、が (通常は有限の) 生成元の集合であり、 が Artin–Tits 関係の集合である群表示 です。つまり、において異なる に対する という形式の関係で、両辺の長さが等しく、異なる生成元の各ペアに対して最大で 1 つの関係が存在します。Artin–Tits 群は、Artin–Tits 表示を許容する群です。同様に、Artin– Tits モノイドは、モノイドとして Artin–Tits 表示を許容するモノイドです。 ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$${\displaystyle s,t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s,t}$

あるいは、アルティン・ティッツ群は、 内の任意の に対して、 と の長さである自然数 の集合によって指定することができ、はとを結ぶ関係である（もしあれば）。慣例により、関係がない場合はを置く。正式には、との長さ の交代積を表すために を定義すると、 から始まり、 、 などとなるため、アルティン・ティッツ関係は次の形式になる。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle s,t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 2}$${\displaystyle stst\ldots }$${\displaystyle tsts\ldots }$${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle m}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{2}=st}$${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{3}=sts}$

${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m_{s,t}}=\langle t,s\rangle ^{m_{t,s}},{\text{ ただし }}m_{s,t}=m_{t,s}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}.}$

整数は、グループの Coxeter 行列として知られる対称行列に編成できます。${\displaystyle m_{s,t}}$

がArtin–Tits 群の Artin–Tits 表示である場合、 のそれぞれについて関係式を加算して得られる の商はCoxeter群です。逆に、が反射によって表示される Coxeter 群で関係式が削除される場合、このようにして得られる拡張は Artin–Tits 群です。たとえば、 - ストランド組紐群に関連付けられた Coxeter 群は、のすべての順列の対称群です。 ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle s^{2}=1}$${\displaystyle s}$${\displaystyle R}$${\displaystyle W}$${\displaystyle s^{2}=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

• ${\displaystyle G=\langle S\mid \emptyset \rangle }$は、に基づく無料のグループです。ここでは、すべての を対象としています。${\displaystyle S}$${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$${\displaystyle s,t}$
• ${\displaystyle G=\langle S\mid \{st=ts\mid s,t\in S\}\rangle }$は に基づく自由アーベル群です。ここではすべての に対してです。${\displaystyle S}$${\displaystyle m_{s,t}=2}$${\displaystyle s,t}$
• ${\displaystyle G=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}{\text{ }}\vert ij\vert =1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\text{ }}\vert ij\vert \geqslant 2\rangle }$はストランド上の組紐群です。ここでは、です。${\displaystyle n}$${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=3}$${\displaystyle \vert ij\vert =1}$${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=2}$${\displaystyle \vert ij\vert >1}$

Artin–Tits モノイドは、その割り切れる関係の調査に基づいて Garside 法に適しており、よく理解されています。

• アルティン・ティッツモノイドは相殺可能であり、最大公約数と条件付き最小公倍数（公倍数が存在する場合は常に最小公倍数が存在する）を許容します。
• がアルティン・ティッツのモノイドであり、が関連するコクセター群である場合、へのの（集合論的）切断が存在し、 のすべての要素はの像内の要素の列として明確に分解できます（「貪欲正規形」）。${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle \sigma}$

一般的なアルティン・ティッツ群については、ほとんど結果が知られていません。特に、一般的な場合には、以下の基本的な疑問が未解決のままです。

–決定可能であると推測される単語と共役関係の問題を解くこと、

– ねじれを決定する — これは自明であると推測されるが、

– 中心を決定する — 群が直積でない場合（「既約な場合」）には、中心は自明または単一であると推測される。

– コホモロジーを決定する — 特に、予想を解く、つまり、考慮されている群を基本群とする非環式複体を見つける。${\displaystyle K(\pi,1)}$

特定のサブファミリーに関する部分的な結果を以下にまとめます。既知の一般的な結果のうち、いくつかを以下に挙げます。

• アルティン・ティッツ群は無限可算である。
• アルティン・ティッツ群において、の元の平方を結ぶ唯一の関係は、が にある場合である(ジョン・クリスプとルイス・パリス^[3] )。${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle s,t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s^{2}t^{2}=t^{2}s^{2}}$${\displaystyle st=ts}$${\displaystyle R}$
• あらゆるArtin–Tits表現に対して、によって表現されるArtin–Titsモノイドは、(Paris ^[4] )によって表現されるArtin–Tits群に埋め込まれます。${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$
• あらゆる（有限生成）アルティン・ティッツモノイドは有限のガーサイド族を許容する（マシュー・ダイアーとクリストフ・ホルウェグ^[5]）。結果として、アルティン・ティッツモノイドにおける共通の右倍数の存在は決定可能であり、倍数の簡約は効果的である。

アルティン群のいくつかの重要なクラスは、コクセター行列の特性に基づいて定義できます。

• 関連するCoxeter 群が有限である場合、Artin–Tits 群は球型であると言われます。「有限型の Artin–Tits 群」という別の用語は、曖昧であるため使用しないでください。「有限型群」とは、有限の生成集合を許容する群のことです。完全な分類が既知であり、「既約型」は無限級数、、、および6 つの例外群、、、、、、およびとして分類されることを思い出してください。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle I_{2}(n)}$${\displaystyle E_{6}}$${\displaystyle E_{7}}$${\displaystyle E_{8}}$${\displaystyle F_{4}}$${\displaystyle H_{3}}$${\displaystyle H_{4}}$
• 球面アルティン・ティッツ群の場合、群はモノイドの分数の群であるため、研究がはるかに容易になります。球面アルティン・ティッツ群の場合、上記のすべての問題は正に解決されます。つまり、語と共役の問題は決定可能で、捩れは自明で、中心は既約な場合は単元的であり、コホモロジーは決定されます ( Pierre Deligne、幾何学的手法により、^[6] Egbert BrieskornとKyoji Saito、組合せ論的手法により^[7] )。
• 球面型の純粋なアルティン・ティッツ群は、における有限超平面配置の補集合の基本群として実現できます。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• 球面型のアルティン・ティッツ群は双自動群である（ルース・チャーニー^[8]）。
• 現代の用語では、アルティン・ティッツ群はガーサイド群であり、は関連するモノイドの分数の群であり、の元とその逆元の有限列（のコピー）からなる一意の正規形（「対称貪欲正規形」）の各元が存在することを意味します。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W}$

• コクセター行列のすべての係数がまたはである場合、つまりすべての関係が交換関係である場合、アルティン・ティッツ群は直角であると言われます。 (自由)部分可換群、グラフ群、トレース群、半自由群、さらには局所自由群という名前もよく使用されます。${\displaystyle 2}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle st=ts}$
• このクラスの Artin–Tits 群では、異なるラベル付け方式が一般的に使用されます。ラベルの付いた頂点上の任意のグラフは 、頂点とが内の辺で接続されている場合、行列 を定義します。それ以外の場合は です。${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{s,t}=2}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$
• 直角アルティン・ティッツ群のクラスには、辺のないグラフに対応する有限階数の自由群と、完全グラフに対応する有限生成自由アーベル群が含まれます。階数rのすべての直角アルティン群は、自由積と直積を極端なケースとして、階数 の直角アルティン群のHNN 拡張として構築できます。この構築の一般化は、群のグラフ積と呼ばれます。直角アルティン群はこの積の特殊なケースであり、グラフ積のすべての頂点/オペランドは階数 1 の自由群 (無限巡回群) です。${\displaystyle r-1}$
• 直角アルティン・ティッツ群の語問題と共役問題は決定可能であり、語問題は線形時間で決定され、群は捩れがなく、明示的な細胞有限が存在する（ジョン・クリスプ、エディ・ゴデル、バート・ウィエスト^[9]）。${\displaystyle K(\pi ,1)}$
• すべての直角アルティン・ティッツ群は、有限次元CAT(0)立方体複体、つまり「サルヴェッティ複体」に対して自由かつココンパクトに作用する。応用として、直角アルティン群とそのサルヴェッティ複体を使用して、与えられた有限性特性を持つ群を構築することができる（Mladen BestvinaとNoel Brady ^{[10] ）また、（Ian Leary [11]} ）も参照。

• Artin–Tits 群 (および Coxeter 群) は、すべての生成元 に対してである場合に大規模型であると言われます。また、すべての生成元 に対して である場合に特大型であると言われます。${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 3}$${\displaystyle s\neq t}$${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 4}$${\displaystyle s\neq t}$
• 特大型のアルティン・ティッツ群は小相殺理論に適している。応用として、特大型のアルティン・ティッツ群は捩れがなく、共役問題が解ける（ケ​​ネス・アペルとポール・シュップ^[12]）。
• 超大型のアルティン・ティッツ群は双自動型である（デイビッド・ペイファー^[13]）。
• 大きなタイプのアルティン群は、通常の測地線と自動的にショートレックスします（デレク・ホルトとサラ・リース^[14]）。

Artin–Tits グループの他の多くのファミリーが特定され、調査されています。ここではそのうちの 2 つについて説明します。

• アルティン・ティッツ群は、のすべての に対してとなるようなの任意 の部分集合に対して、群が球面型である場合に、 FC 型（「旗複体」）であると言われる。このような群は CAT(0) 立方体複体に対してココンパクトに作用し、その結果、その要素の有理正規形を見つけて、単語問題の解を演繹することができる（ジョー・アルトベリとチャーニー^[15]）。代わりの正規形は、多重分数簡約によって提供され、これは、球面の場合の既約分数による表現を直接拡張する、既約多重分数による一意の表現を与える（デホルノイ^[16]）。${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle m_{s,t}\neq \infty }$${\displaystyle s,t}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle \langle S'\mid R\cap S'{}^{2}\rangle }$
• アルティン–ティッツ群は、付随するコクセター群がアフィン である場合に、アフィン型であるといわれる。これらは、 、 、 、 の 4 つの無限族、および 、 、 、 の 5 つの散在型 、 、 、 の拡張されたディンキン図に対応する。アフィンアルティン–ティッツ群はユークリッド型であり、付随するコクセター群はユークリッド空間に対して幾何学的に作用する。結果として、その中心は自明であり、その単語問題は決定可能である (Jon McCammond と Robert Sulway [ ^17] )。2019 年には、すべてのアフィン アルティン–ティッツ群に対する予想の証明が発表された (Mario Salvetti と Giovanni Paolini ^[18] )。${\displaystyle {\widetilde {A}}_{n}}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle {\widetilde {B}}_{n}}$${\displaystyle {\widetilde {C}}_{n}}$${\displaystyle n\geqslant 2}$${\displaystyle {\widetilde {D}}_{n}}$${\displaystyle n\geqslant 3}$${\displaystyle {\widetilde {E}}_{6}}$${\displaystyle {\widetilde {E}}_{7}}$${\displaystyle {\widetilde {E}}_{8}}$${\displaystyle {\widetilde {F}}_{4}}$${\displaystyle {\widetilde {G}}_{2}}$${\displaystyle K(\pi ,1)}$

• 自由部分可換モノイド
• アルティニアン群（無関係な概念）
• 非可換暗号
• 初等アーベル群

• Charney、Ruth (2007)、「直角 Artin 群の紹介」、Geometriae Dedicata、125 (1): 141–158、arXiv : math/0610668、doi :10.1007/s10711-007-9148-6、MR  2322545
• ゴデル、エディ; パリ、ルイス (2012)、「アルティン-ティッツ群に関する基本的な質問」、CRM シリーズ、第 14 巻、Ed. Norm.、ピサ、pp. 299-311、arXiv : 1105.1048、doi :10.1007/978-88-7642-431-1_13、ISBN 978-88-7642-430-4、MR  3203644
• McCammond, Jon (2017)、「アルティン群の神秘的な幾何学」、Winter Braids Lecture Notes、4 (Winter Braids VII (Caen、2017)): 1–30、doi : 10.5802/wbln.17、MR  3922033
• Flores , Ramon; Kahrobaei, Delaram ; Koberda, Thomas ( 2019). 「直角アルティン群におけるアルゴリズム問題: 複雑性とその応用」。代数ジャーナル。519 : 111–129。arXiv : 1802.04870。doi : 10.1016 / j.jalgebra.2018.10.023。MR 3874519  。