フォスターのリアクタンス定理

フォスターのリアクタンス定理は、電気ネットワークの解析と合成の分野における重要な定理です。この定理は、受動的な無損失の 2 端子 ( 1 ポート) ネットワークのリアクタンスは常に厳密に周波数とともに単調に増加するというものです。インダクタとコンデンサのリアクタンスはそれぞれ周波数とともに個別に増加または減少することが容易にわかり、その基礎から受動的な無損失ネットワークの証明を一般に構築できます。この定理の証明は 1924 年にロナルド マーティン フォスターによって提示されましたが、原理はそれより前にアメリカン テレフォン & テレグラフのフォスターの同僚によって発表されていました。

この定理はアドミタンスとそれを包括するイミタンスの概念にまで拡張できる。フォスターの定理の帰結として、リアクタンスの零点と極は周波数に応じて交互に変化しなければならない。フォスターはこの特性を利用して、これらのネットワークを実現するための 2 つの標準形を開発した。フォスターの研究は、ネットワーク合成の開発にとって重要な出発点となった。

アンプなどの能動部品を使用して非フォスター ネットワークを構築することも可能です。これらは、負のインダクタンスまたは容量と同等のインピーダンスを生成できます。負のインピーダンス コンバータは、このような回路の一例です。

リアクタンスは、複素 電気インピーダンスの虚数部です。コンデンサとインダクタは両方ともリアクタンスを持ち（ただし、符号は反対）、周波数に依存します。ネットワークが受動的で損失がないという仕様は、ネットワークに抵抗器（損失なし）や増幅器またはエネルギー源（受動的）がないことを意味します。したがって、ネットワークはインダクタとコンデンサのみで構成され、インピーダンスは実部がゼロの虚数のみになります。フォスターの定理は、ネットワークのアドミタンスにも同様に当てはまります。つまり、受動的で損失のない1 ポートのサセプタンス（アドミタンスの虚数部）は、周波数とともに単調に増加します。アドミタンスはインピーダンスの逆数であるため、この結果は直感に反するように見えるかもしれませんが、簡単に証明できます。インピーダンスが

${\displaystyle Z=iX\,}$

ここではリアクタンス、は虚数単位です。アドミタンスは次のように表されます。 ${\displaystyle \scriptstyle X}$${\displaystyle \scriptstyle i}$

${\displaystyle Y={\frac {1}{iX}}=-i{\frac {1}{X}}=iB}$

サセプタンスはどこにありますか。 ${\displaystyle \scriptstyle B}$

Xが周波数とともに単調に増加する場合、1/ X は単調に減少する必要があります。したがって、-1/ X は単調に増加する必要があり、したがってB も増加していることが証明されます。

ネットワーク理論では、原理や手順がインピ​​ーダンスやアドミタンスにも同様に当てはまることがよくある。これは電気ネットワークの双対性の原理を反映している。このような状況では、インピーダンスまたはアドミタンスのいずれかを意味するイミタンスの概念を使用すると便利である。特定の例を計算する必要があるまで、単位を指定せずに計算が実行される。したがって、フォスターの定理は、より一般的な形で次のように表現できる。

フォスターの定理（イミッタンス形式）

パッシブでロスのない 1 ポートの虚数イミタンスは、周波数とともに厳密に単調に増加します。

フォスターの定理は非常に一般的です。フォスターはそれを個別のインダクタとコンデンサの観点から定式化しましたが、特に分散要素ネットワークに適用されます。したがって、低周波数と同様にマイクロ波周波数にも適用できます。^{[1] [2]}

次の例では、いくつかの簡単な回路でこの定理を説明します。

インダクタのインピーダンスは次のように表される。

${\displaystyle Z=i\omega L\,}$

${\displaystyle \scriptstyle L}$インダクタンス​

${\displaystyle \scriptstyle \omega}$角周波数は

リアクタンスは、

${\displaystyle X=\omega L\,}$

調べてみると、周波数とともに単調に（そして直線的に）増加していることがわかります。^[3]

コンデンサのインピーダンスは次のように表される。

${\displaystyle Z={\frac {1}{i\omega C}}}$

${\displaystyle \scriptstyle C}$静電容量は

リアクタンスは、

${\displaystyle X=-{\frac {1}{\omega C}}}$

これも周波数とともに単調に増加します。コンデンサのインピーダンス関数はインダクタのアドミタンス関数と同一であり、その逆も同様です。フォスターの定理に従う任意のアドミタンス関数の双対もフォスターの定理に従うというのが一般的な結果です。^[3]

直列LC回路のインピーダンスはインダクタとコンデンサのインピーダンスの合計です。

${\displaystyle Z=i\omega L+{\frac {1}{i\omega C}}=i\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)}$

低周波数では、リアクタンスはコンデンサによって支配されるため、大きく負になります。これはゼロに向かって単調に増加します（コンデンサのリアクタンスの大きさは小さくなります）。リアクタンスは、コンデンサとインダクタのリアクタンスの大きさが等しい点（共振周波数）でゼロを通過し、インダクタのリアクタンスが次第に支配的になるにつれて単調に増加し続けます。^[4]

並列LC回路は直列回路の双対であり、したがってそのアドミタンス関数は直列回路のインピーダンス関数と同じ形になります。

${\displaystyle Y=i\omega C+{\frac {1}{i\omega L}}}$

インピーダンス関数は、

${\displaystyle Z=i\left({\frac {\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}\right)}$

低周波では、リアクタンスはインダクタによって支配され、小さく正です。これは反共振周波数の極に向かって単調に増加し、そこではインダクタとコンデンサのサセプタンスは等しく反対で打ち消されます。極を過ぎるとリアクタンスは大きく負になり、ゼロに向かって増加し、そこでは静電容量によって支配されます。^[4]

フォスターの定理の帰結として、周波数が増加すると、パッシブイミタンス関数の零点と極は必ず交互に現れる。関数は極を通過した後は負の値となり、単調増加するためには、次の極に到達する前に零点を通過する必要がある。^[1]

イミタンス関数の極と零点は、フォスターネットワークの周波数特性を完全に決定します。同一の極と零点を持つ 2 つのフォスターネットワークは、イミタンス関数が同一であるという意味で等価回路となります。両者の間にはスケーリング係数の差 (イミタンスのすべての要素に同じスケーリング係数を掛けたもの) がある場合もありますが、 2 つのイミタンス関数の形状は同一になります。^[5]

フォスターの定理のもう一つの結果は、イミタンスの位相は周波数とともに単調に増加しなければならないということです。その結果、スミスチャート上のフォスターイミタンス関数のプロットは、周波数が増加するにつれて常に時計回り方向にチャートを移動しなければなりません。^[2]

離散要素（つまり分布要素ではない）で構成される1ポートパッシブイミタンスは、sの有理関数として表すことができます。

${\displaystyle Z(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}}$

どこ、

${\displaystyle \scriptstyle Z(s)}$はイミタンスである

${\displaystyle \scriptstyle P(s),\ Q(s)}$実数、正の係数を持つ多項式である

${\displaystyle \scriptstyle s}$はラプラス変換変数であり、定常AC信号を扱うときにはに置き換えることができます。${\displaystyle \scriptstyle i\omega }$

これは、 L要素とC要素のインピーダンス自体が単純な有理関数であり、有理関数の任意の代数的組み合わせが別の有理関数になるという 事実から生じます。

これは、ネットワーク内の外部回路が接続され、信号でそれを「駆動」する場所のインピーダンスであるため、駆動点インピーダンスと呼ばれることもあります。フォスターは論文で、このようなロスのない有理関数を 2 つの方法で実現する方法 (実現できる場合) について説明しています。フォスターの最初の形式は、直列に接続された並列 LC 回路で構成されます。フォスターの駆動点インピーダンスの 2 番目の形式は、直列に接続された並列 LC 回路で構成されます。駆動点インピーダンスの実現は決して唯一のものではありません。フォスターの実現には、極とゼロが特定の共振回路に直接関連付けられるという利点がありますが、他にも多くの実現方法があります。おそらく最もよく知られているのは、フィルター設計からのWilhelm Cauerのラダー実現です。 ^{[6] [7] [8]}

フォスターネットワークは受動的でなければならないため、電源を含む能動ネットワークはフォスターの定理に従わない場合があります。これらは非フォスターネットワークと呼ばれます。^[9] 特に、正帰還付きの増幅器を含む回路は、周波数とともに減少するリアクタンスを持つことができます。たとえば、負のインピーダンス変換回路を使用して、負の容量とインダクタンスを作成できます。これらの回路は、正のリアクタンスのように位相が ±π/2 のイミタンス関数を持ちますが、リアクタンス振幅は周波数に対して負の傾きを持ちます。^[6]

これらは、フォスターネットワークでは不可能なタスクを実行できるため興味深いものです。たとえば、通常のパッシブフォスターインピーダンス整合ネットワークは、アンテナのインピーダンスを伝送線路と離散周波数でのみ整合させることができ、アンテナの帯域幅が制限されます。非フォスターネットワークは、連続した周波数帯域でアンテナを整合させることができます。^{[9]これにより、}チュー・ハリントン制限 に違反する、広帯域幅のコンパクトなアンテナを作成できます。実用的な非フォスターネットワークは、活発に研究されている分野です。

この定理は、電話多重化アプリケーション用のフィルタの改良に関する継続的な調査の一環として、アメリカン・テレフォン・アンド・テレグラフ社で開発された。この研究は商業的に重要であり、1本の回線で実行できる電話会話の数を増やすことで多額の費用を節約できる可能性がある。 ^{[10]この定理は、1922年に}キャンベル によって初めて発表されたが、証明はなかった。^[11] この定理はすぐにフィルタ設計に大いに活用され、当時のフィルタ設計の最新状況をまとめた1923年のゾベルの画期的な論文では、証明とともにこの定理が大きく取り上げられている。 ^[12] フォスターは翌年、標準的な実現形式を含む論文を発表した。^[13]

ドイツのカウアーはフォスターの研究の重要性を理解し、それをネットワーク合成の基礎として利用した。カウアーの多くの革新の中には、フォスターの研究をすべての2要素型ネットワークに拡張し、それらの間の同型性を発見したことがあった。カウアーは、有理1ポートネットワークの実現可能性の必要十分条件をその多項式関数から見つけることに興味を持っていた。この条件は現在では正実関数として知られている。また、どのネットワークが同等であるか、つまり同じ多項式関数を持つかという逆の問題も興味を持っていた。これらは両方とも、ネットワーク理論とフ​​ィルタ設計における重要な問題であった。フォスターネットワークは実現可能なネットワークのサブセットにすぎない。^[14]

• フォスター、RM、「リアクタンス定理」、ベルシステム技術ジャーナル、第3巻、第2号、pp.259-267、1924年11月。
• Campbell, GA、「電波フィルタの物理理論」、Bell System Technical Journal、第 1 巻、第 2 号、1 ～ 32 ページ、1922 年 11 月。
• Zobel, OJ、「均一および複合電波フィルタの理論と設計」、Bell System Technical Journal、第2巻、第1号、pp. 1-46、1923年1月。
• Matthew M. Radmanesh、『RF & Microwave Design Essentials』、AuthorHouse、2007 ISBN  1-4259-7242-X。
• James T. Aberle、Robert Loepsinger-Romak、「Antennas with non-Foster matching networks」、Morgan & Claypool Publishers、2007 ISBN 1-59829-102-5。 
• コリン・チェリー、「通信回路におけるパルスと過渡現象」、テイラー＆フランシス、1950 年。
• KCA Smith、RE Alley、「電気回路：入門」、ケンブリッジ大学出版局、1992年ISBN 0-521-37769-2。 
• Carol Gray Montgomery、Robert Henry Dicke、Edward M. Purcell、「マイクロ波回路の原理」、IET、1987年ISBN 0-86341-100-2。 
• E. Cauer、W. Mathis、および R. Pauli、「Wilhelm Cauer (1900–1945) の生涯と業績」、ネットワークとシステムの数学理論に関する第 14 回国際シンポジウム (MTNS2000) の議事録、ペルピニャン、2000 年 6 月。2008 年 9 月 19 日に閲覧。
• Bray, J, 「イノベーションと通信革命」、電気技術者協会、2002年ISBN 0-85296-218-5。