福祉経済学の基本定理

厚生経済学には2つの基本定理がある。1つ目は、経済均衡において、完全な情報と完全な競争を伴う完全な市場の集合は、パレート最適になる（それ以上の交換によって、ある人の利益は増すが、別の人の利益は減ることはないという意味で）というものである。完全競争の要件は以下のとおりである。^[1]

1. 外部性はなく、各アクターは完全な情報を持っています。
2. 企業と消費者は価格を既定値として受け入れます（どの経済主体または主体グループも市場力を持っていません）。

この定理は、アダム・スミスの「見えざる手」の原理、すなわち競争市場が資源の効率的な配分を保証するという原理を分析的に裏付けるものとみなされることがある。しかし、パレート最適市場の結果が公平であるという保証はない。なぜなら、望ましさの異なるパレート効率的な資源配分は数多く存在するからである（例えば、一人がすべてを所有し、他の人は何も所有しないなど）。^[2]

2番目の定理は、パレート最適は、初期資産セットの競争均衡としてサポートできると述べています。これは、望ましいパレート最適結果をサポートできることを意味します。パレート効率は、初期資産の任意の再分配で達成できます。ただし、分配を修正しようとすると歪みが生じる可能性があり、再分配では完全な最適性を達成できない可能性があります。^[3]

単純な純粋交換経済の場合、定理はエッジワースボックス図によってグラフィカルに視覚化できます。

輸入関税についての議論の中で、アダム・スミスは次のように書いています。

すべての個人は、社会の年間収入をできるだけ増やすために必然的に労働する... 彼は、他の多くの方法と同様に、この方法で、彼の意図になかった目的を促進するために目に見えない手に導かれている... 彼は自分の利益を追求することによって、実際に促進するつもりであるときよりも効果的に社会の利益を促進することが多い。^[4]

スミスの考えは、当時はまだこの経済学の分野が確立されていなかったため、特に福祉経済学に向けられたものではないことに注意されたい。しかし、彼の議論は、福祉経済学の分野と基礎理論の確立に貢献したとされている。^[5]

ワルラスは「自由競争下での交換は、均一な価格での売買を条件に、すべての当事者が最大の満足を得るための行為である」と書いている。^[6]

エッジワースは、彼の著書『数学的精神論』の中で、生産のない純粋な交換経済に注目し、第一の基本定理への一歩を踏み出しました。彼は分析に不完全競争を含めました。^[7]彼の均衡の定義は、パレートの後の最適性の定義とほぼ同じです。それは、次のような点です...

どのような方向に無限小のステップを踏んでも、PとΠ[買い手と売り手の効用]は一緒に増加することはなく、一方が増加するともう一方は減少します。^[8]

エッジワースは、均衡がパレート最適であると結論付ける代わりに、均衡が当事者の効用の合計を最大化すると結論付けました。これはパレート効率の特殊なケースです。

この特殊なケースに適用される一般的な力学原理によれば、契約者の全快楽エネルギーが条件に応じて最大になるときに均衡が達成されると思われる... ^[9]

パレートは、彼の著書『マニュアル』 （1906年）で最初の基本定理を述べ、フランス語版（マヌエル、1909年）ではより厳密に述べました。^[10]彼は、独自の基準で最適性を主張し、その主張を説得力のある議論で裏付けた最初の人物でした。^[要出典]

彼はエッジワースよりも抽象的に均衡を、外部からの圧力がない場合に無期限に維持される状態と定義し^[11]、交換経済においては均衡は当事者の無差別曲線の共通接線が賦存量を通過する点であることを示している^{[12] 。}

彼の最適性の定義は第 6 章に記載されています。

集団のメンバーは、集団内の各個人が享受するオフェリミティが増加するか減少するかするように少し離れることが不可能な特定の位置で、最大のオフェリミティ（効用）を享受していると言える。[彼は以前、個人のオフェリミティの増加を、より高い無差別曲線への移動として定義した。] つまり、どんな小さなステップでも、一部の個人のオフェリミティは増加する一方で、他の個人のオフェリミティは減少することになる。^[13]

次の段落には定理が示されています。

タイプ I [つまり完全競争] の現象の場合、無差別曲線の接点で均衡が実現すると、集団のメンバーは最大のオフェリミティを享受します。

彼は「数学の助けなしに厳密な証明を与えることはできない」と付け加え、付録に言及している。^[14]

ヴィクセルは、最適性の定義について次のようにコメントした。

このような定義によれば、このいわゆる最大値が自由競争のもとで成立することはほぼ自明である。なぜなら、交換が行われた後、さらなる一連の直接的または間接的な交換によって参加者のさらなるニーズの充足を生み出すことが可能であった場合、その程度までそのような継続的な交換が間違いなく行われ、当初の状態は最終的な均衡の状態ではあり得なかったからである。^[15]

パレートはそれをそれほど簡単だとは思わなかった。彼はテキストの中で交換のみに適用される図式的な議論を示しており^[16]、付録^{[17]では32ページにわたる数学的議論を行っているが、}サミュエルソンはこれを「理解するのは簡単ではない」と感じた。^{[18]パレートは}生産可能性境界の概念を持っていなかったため、その概念は協力者のエンリコ・バローネのおかげで発展した。^[19]彼自身の「障害に対する無差別曲線」は誤った道だったようだ。

最初の基本定理を述べた直後に、パレートは分布について次のような疑問を投げかけます。

構成員のオフェリミティを最大化しようとする集団主義社会を考えてみましょう。問題は 2 つの部分に分かれます。まず、分配の問題があります。社会内の財は構成員間でどのように分配されるべきでしょうか。そして 2 番目に、財がそのように分配されたときに社会の構成員が最大のオフェリミティを獲得できるように、生産をどのように組織化すべきでしょうか。

彼の答えは、第二の定理の非公式な前身です。

国家は、最初の問題に対する答えに従って商品を分配した後、集団の構成員が第二の分配を行うか、あるいは自ら分配を行うことを認めるべきであり、いずれの場合も、それが自由競争の仕組みに従って行われるようにしなければならない。^[20]

パレートの仲間であるバローネは、完全競争の最適性^[21]を証明した。つまり、外生的価格を前提とすると、生産活動からの収益の金銭的価値が最大化されるということである。これは、余暇、貯蓄、消費財の価値をすべて望ましい割合で合計したものである。^[22]彼は、市場によって選択される価格自体が最適であると主張していない。

彼の論文は1935年まで英語に翻訳されなかった。サミュエルソン^[23]から承認された要約を受けたが、現在の福祉定理の発展には影響を与えなかったようだ。

1934年にラーナーは、無差別曲線が接線として交わるというエッジワースの交換条件を再度述べ、それを最適性の性質として提示した。彼は生産についても同様の条件を述べ、生産可能性境界（PPF、彼はこれを「生産的無差別曲線」という別名も付けた）がコミュニティの無差別曲線と接線をなすべきであると述べた。彼はPPFの考案者の一人で、1932年に国際貿易に関する論文でそれを使用した。 ^[24]彼は、PPFがエッジワースボックス内で鏡像無差別曲線と同じ役割を果たすため、2つの議論を同じ言葉で表現できることを示している。彼はまた、曲線が尖った角で接していれば同じ結果が得られるため、曲線が微分可能である必要はないとも述べている。

彼の最適性の定義はパレートの定義と同等でした。

ある個人を好ましい位置に移動させても、別の個人をより悪い位置に移動させることができない場合は、相対的最適には達していないと言えるでしょう...

生産の最適条件は、(i)価格が限界費用に等しく、(ii)(i)を条件として産出量が最大化されるという2つの要件に等しい。ラーナーはこのように、生産と交換の両方において最適性を接線に還元しているが、なぜPPF上の暗黙の点が自由市場の均衡条件となるのかについては述べていない。おそらく、彼はそれがすでに十分に確立されていると考えていたのだろう。^[25]

ラーナーは、無差別曲線の使用を提案したのはロンドン・スクール・オブ・エコノミクスの同僚であるビクター・エーデルバーグだと主張している。サミュエルソンは、ラーナーがパレートの研究とは独立して結果を得たのではないかと推測した。^[26]

ホテリングは「限界費用での販売は一般の福祉を最大化するための条件である」（パレートの定義による）という新しい議論を提起した。彼はこの条件が完全競争によって満たされることを認めたが、結果として、一部の有益なプロジェクトは、この料金で請求することで固定費を回収できないため、完全競争は最適ではないと主張した（例えば、自然独占の場合）。^[27]

ランゲの論文「福祉経済学の基礎」は、現在では伝統的となっている、市場を規定する定理と分配を規定する定理のペアリングの源泉である。彼は、ライオネル・ロビンズが個人間の効用比較を否定したことを参考にして、最初の定理に対するパレート最適性の定義を正当化し、^[28]民主的に選出された議会の裁定など、2番目の定理に対して個人間の比較を再導入するさまざまな方法を提案した。ランゲは、そのような議会が資本家と同じような行動をとることができると信じていた。つまり、価格ベクトルを設定することで、効率と社会的平等を達成するための最適な生産計画を実現できるのだ。^[29]

彼の推論は、ラーナーのグラフによる議論を数学的に翻訳したもの（ラグランジュ乗数へ）である。2 番目の定理は、彼の手ではよく知られた形にはならず、むしろ、真の社会的効用関数の最適化条件はパレート最適性の条件と似ていることを単に示している。

サミュエルソンは（そのアイデアの実質的な部分をアブラム・ベルクソンに帰し）ランゲの第二の福祉定理をほぼ現代的な形にまで引き上げた。 ^[30]彼はランゲに従ってパレート最適に必要な一連の方程式を導き出し、次に経済が真の社会福祉機能を満たすことを要求された場合にどのような追加の制約が生じるかを検討し、さらに一連の方程式を見つけて「与えられた倫理的要件を達成するために必要なすべての行動は、一括税または報奨金の形をとることができる」と結論付けた。^[31]

アローとデブリューの2つの論文^[32]（独立して執筆され、ほぼ同時に出版された）は、ランゲの第一定理の厳密さを改善しようとした。彼らの説明は、（短期の）生産と交換に言及しており、両方の条件を線形関数で表現している。

生産の均衡は、製造業者の純生産量、つまり生産ベクトルと価格ベクトルのドット積の値が製造業者の生産セット全体で最大化されるという制約によって表現されます。これは利益最大化として解釈されます。

交換の均衡は、個人の効用が、交換を通じて賦与から得られる地位、すなわち、その賦与の価値以下の地位にわたって最大化されるべきであることを意味すると解釈され、ここで、配分の価値は価格ベクトルとの ドット積である。

アローは、空間の端にある均衡をカバーするために証明を拡張する必要性に言及して論文を執筆した。一方、デブリューは、無差別曲線が微分不可能である可能性に言及して論文を執筆した。現代のテキストは、彼らの証明スタイルに従っている。

ブルース・グリーンウォルドとジョセフ・スティグリッツは1986年の論文「不完全情報と不完全市場を伴う経済の外部性」で、不完全市場や不完全情報がある場合には基本的な福祉定理は成り立たないことを示した。^[33]この論文は、非対称情報を伴う経済の競争均衡は、一般的に制約されたパレート効率的でさえないことを明らかにしている。経済における民間個人と同じ情報制約に直面している政府は、それでもパレート改善政策介入を見つけることができる。^[34]

グリーンウォルドとスティグリッツは、モラルハザードが状況を非効率にする可能性がある（例えば、アルコール税は自動車事故を減らすのでパレート改善になる可能性がある）など、いくつかの関連する状況を指摘した。^[35]

原則として、基本定理には2つのバージョンが一般的に存在し、1つは賦存が外生的に与えられる交換経済に関するもので、もう1つは生産が行われる経済に関するものである。生産経済はより一般的であり、追加の仮定を伴う。仮定はすべて標準的な大学院のミクロ経済学の教科書に基づいている。^[36]

基本定理は一般に、均衡の存在や一意性を保証するものではありません。

• 各消費者 i について、選好関係は局所的に不飽和です。${\displaystyle \geq _{i}}$
• エージェント（消費者、および生産経済においては企業）は価格を与えられたものとして受け止めます。
• 市場は完成しました。
• 完璧な情報です。
• エージェントは合理的に行動します。
• 外部性はありません。

2 番目の基本定理には、より厳しい条件があります。

• 最初の定理のすべての仮定に加えて、
• 選好関係は各消費者iに対して局所的に不飽和かつ凸である。${\displaystyle \geq _{i}}$
• 生産集合は各企業 j に対して凸です。${\displaystyle Y_{j}}$
• 価格準均衡から移転を伴う価格均衡へのステップの場合: 各エージェントの初期の賦存量は厳密に正です。

以下は、基本定理の基礎となる仮定の一般的な誤りの非網羅的なリストです。

• 価格受容行動：ゲーム理論的な相互作用では、例えば企業が独占力を持っている場合、結果として生じる均衡はパレート効率的ではない。
• 外部性: 多くの場合、特に汚染と気候変動対策では、この仮定は破られます。特定の場合には、ピグー税によってパレート効率的な配分を回復できます。
• 非飽和: 非飽和は非常に弱い仮定ですが、それが成り立たない主なケースが 2 つあります。まず、嗜好に飽和点がある場合 (たとえば、インフレを目標とする中央銀行は、目標とするインフレ率に飽和点があります)。次に、商品を個別の塊でしか購入できない場合、この仮定は違反される可能性があります。
• 合理性:行動経済学の分野では、経済的合理性の違反が数多く記録されています。
• 凸性:規模の経済性に対する収穫逓増が存在する場合、凸性は成立しません。この仮定は最初の基本定理には必要ではないことに注意してください。

福祉定理が成り立たないもう一つの例は、標準的な重複世代モデル（OLG）である。定理の記述に暗黙的に含まれているさらなる仮定は、経済における総賦存量（その一部は生産によって他の財に変換される可能性がある）の価値は有限であるということである。^{[37] OLGモデルでは賦存量の有限性が満たされず、}ヒルベルトのグランドホテルのパラドックスで説明されているのと同様の問題が生じる。

基本定理の根底にある仮定が市場を適切に説明しているかどうかは、少なくとも部分的には経験的な問題であり、ケースごとに異なる場合があります。

第一の基本定理は、一般的な条件下では成り立つ。^[38]正式な記述は以下の通りである。選好が局所的に不飽和で、移転を伴う価格均衡である場合、配分はパレート最適である。${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} ,\mathbf {p} )}$${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$ この意味での均衡は、交換経済のみに関係するか、企業が配分的かつ生産的に効率的であることを前提としており、これは完全競争的な要素市場と生産市場から導かれることが示される。^[38]

一連の商品の種類が与えられた場合、 上の実ベクトル空間で作業し、ベクトル値の変数には太字を使用します。たとえば、 の場合、は3 次元ベクトル空間になり、ベクトルはバター 1 単位、クッキー 2 単位、ミルク 3 単位を含む商品の束を表します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle G=\lbrace {\text{butter}},{\text{cookies}},{\text{milk}}\rbrace }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \langle 1,2,3\rangle }$

消費者i が次のような富を持っているとします。ここで は財の総賦与（つまり、すべての消費者賦与と生産者賦与の合計）、 は企業jの生産量です。 ${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} +\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {y_{j}^{*}} }$

選好最大化（移転を伴う価格均衡の定義より）は次を意味します（消費者iの選好関係を表すために を使用します）。 ${\displaystyle >_{i}}$

もしそうなら${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\mathbf {w_{i}} }$

言い換えれば、ある商品の束が に厳密に好まれる場合、その商品は価格では購入不可能でなければなりません。 局所的不飽和はさらに以下を意味します。 ${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

もしそうなら${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq \mathbf {w_{i}} }$

理由を理解するには、が であると想像してください。すると、局所的不飽和により、 に任意に近い（したがって依然として手頃な価格） が、 よりも厳密に好まれる を見つけることができます。しかし、は選好最大化の結果であるため、これは矛盾です。 ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} <w_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x'_{i}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$

割り当てとは、と のペア、すなわち は「行列」（潜在的に無限の行/列を許容する）であり、そのi番目の列は消費者iに割り当てられた商品の束であり、はj番目の列は企業jの生産である「行列」です。ここでは、消費者が不足している商品を販売したり、生産者が不足している商品を消費したりしない割り当て、すなわち、あらゆる商品とあらゆる消費者について、消費者の初期賦存量とその純需要を加えたものが、生産者についても同様に正でなければならない、という割り当てにのみ注目します。 ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$${\displaystyle \mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \mathbf {Y} \in \Pi _{j\in J}\mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

ここで、パレート優位となる割り当てについて考えてみましょう。これは、すべてのiに対して、また一部のiに対してであることを意味します。上記により、すべてのiに対して、また一部のiに対してであることがわかります。合計すると、次のようになります。 ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,Y^{*})}$${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}}$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$

${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$。

は利益を最大化するため、であることが分かっています。しかし、財は のように保存されなければなりません。したがって、は実現可能ではありません。パレート優位な割り当てはすべて実現可能ではないため、自体はパレート最適でなければなりません。^[38]${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$${\displaystyle \Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}}$${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}} }$${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}} }$${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$

定理の記述では、利益を最大化するという事実が単純に想定されているが、結果は、そのような利益を最大化する生産配分が可能な範囲でのみ有用/興味深いものであることに留意されたい。幸いにも、生産配分と価格を、限界価格が 0 から離れた閉じた部分集合に制限した場合 (たとえば、可能な生産をパラメータ化する連続関数の合理的な選択など)、そのような最大値が存在する。これは、最小の限界価格と有限の富が最大実行可能生産を制限し (0 は最小値を制限)、チコノフの定理によって、これらのコンパクトな空間の積がコンパクトになり、必要な連続関数の最大値が存在することが保証されるという事実から導かれる。 ${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$

第二の定理は、すべての生産集合が凸であり、すべての選好関係が凸で局所的に不飽和であるという仮定の下で、任意の望ましいパレート効率的な配分が移転を伴う価格準均衡としてサポートできることを正式に述べています。^[38]移転を伴う価格均衡についてこの主張を証明するには、さらなる仮定が必要です。 ${\displaystyle Y_{j}}$${\displaystyle \geq _{i}}$

証明は 2 つのステップで進みます。まず、パレート効率的な配分はどれも移転を伴う価格準均衡としてサポートできることを証明します。次に、価格準均衡が価格均衡でもある条件を示します。

配分、価格ベクトルp 、 （一括移転によって達成される）富の水準のベクトルwを伴う価格準均衡を、 （ は財の総賦存量、は企業jの生産量）として定義すると、次のようになります。 ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle y_{j}^{*}}$

i.すべてにおいて（企業は生産することで利益を最大化する）${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$${\displaystyle y_{j}\in Y_{j}}$${\displaystyle y_{j}^{*}}$

ii. すべてのiに対して、であれば(が より厳密に優先される場合、 のコストは より小さくなることはない)${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$

iii. （予算制約を満たす）${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$

この定義と移転を伴う価格均衡の標準的な定義との唯一の違いは、ステートメント ( ii ) にあります。ここでは不等式が弱く ( )、価格の準均衡になります。後でこれを強化して価格均衡にします。^{[38] を}消費者iが厳密に選好するすべての消費バンドルの集合と 定義し、すべての の合計をVとします。 は、選好関係 の凸性により凸です。 Vが凸なのは、すべてが凸だからです。同様に、すべての生産セットと総賦存量の和は、すべてが凸なので凸です。また、 Vと の交差は空でなければならないこともわかっています。そうでない場合、すべての人が厳密に選好し、かつ購入可能なバンドルが存在することを意味するためです。これは のパレート最適性によって排除されます。 ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \geq _{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle Y+\{\omega \}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y+\{\omega \}}$${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$

これら 2 つの交差しない凸集合により、分離超平面定理を適用できます。この定理は、すべての に対して、すべての に対してとなる価格ベクトルと数rが存在することを述べています。言い換えると、2 つの凸集合を完全に分離する超平面を定義する価格ベクトルが存在します。 ${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle p\cdot z\geq r}$${\displaystyle z\in V}$${\displaystyle p\cdot z\leq r}$${\displaystyle z\in Y+\{\omega \}}$

次に、すべてのiについてであれば であることを論じます。これは局所的不飽和によるものです。つまり、に任意に近いバンドルが存在し、それが より厳密に優先され、したがっての一部となるためとなります。 を として極限を取っても弱不等式は変わらないため、同様に変化しません。言い換えると、はVの閉包内にあります。 ${\displaystyle x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$${\displaystyle x'_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r}$${\displaystyle x'_{i}\rightarrow x_{i}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$${\displaystyle x_{i}}$

この関係式を使用すると、自体がであることがわかります。 であることもわかっているので、も同様です。 これらを組み合わせると、 であることがわかります。 この式を使用して、が移転を伴う価格準均衡の定義に適合すること を示すことができます。${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r}$${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$${\displaystyle (x^{*},y^{*},p)}$

なぜなら、任意の企業 j について次のことが分かるからです。 ${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$

${\displaystyle p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})}$のために${\displaystyle h\neq j}$

これは を意味します。同様に、次のことが分かります。 ${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$

${\displaystyle p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})}$のために${\displaystyle k\neq i}$

これは、 を意味します。これら 2 つのステートメントは、パレート最適での配分の実現可能性とともに、すべてのiについて、富の水準によってサポートされる移転を伴う価格準均衡の 3 つの条件を満たします。 ${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}}$${\displaystyle w_{i}=p\cdot x_{i}^{*}}$

ここで、価格準均衡が価格均衡でもある条件、つまり、「 ならば」という文が「 ならば 」を実現する条件について考えます。これが真であるためには、消費集合が凸で、選好関係が連続していると仮定する必要があります。すると、かつ となるような消費ベクトルが存在する場合、価格準均衡は価格均衡になります。 ${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}>w_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \geq _{i}}$${\displaystyle x'_{i}}$${\displaystyle x'_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle p\cdot x'_{i}<w_{i}}$

理由を確認するには、逆に および が存在し、 が存在すると仮定します。の凸性により、を伴うバンドルが得られます。 が1 に近い場合のの連続性により、 が得られます。 これは矛盾です。なぜなら、このバンドルは よりも優先され、 よりもコストが小さいからです。 ${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}=w_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x''_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle p\cdot x''_{i}<w_{i}}$${\displaystyle \geq _{i}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle w_{i}}$

したがって、価格準均衡が価格均衡であるためには、消費集合が凸で、選好関係が連続的で、常に「より安い」消費バンドルが存在していれば十分である。そのようなバンドルの存在を保証する1つの方法は、すべての消費者にとって富のレベルが厳密に正であることを要求することである。[ ^38]${\displaystyle x'_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$

• 凸面の好み
• バリアンの定理– 競争均衡はパレート効率的であり、かつ嫉妬がない。
• 一般均衡理論