パーティショントポロジー

数学において、分割位相とは、任意の集合上に誘導できる位相のことである。${\displaystyle X}$分割によって${\displaystyle X}$互いに素な部分集合に分割する${\displaystyle P;}$これらの部分集合はトポロジーの基礎を形成する。重要な例として、それぞれ固有の名前を持つものが2つある。

• の奇偶位相とは、${\displaystyle X=\mathbb {N} }$そして${\displaystyle P={\left\{~\{2k-1,2k\}:k\in \mathbb {N} \right\}}.}$同様に、${\displaystyle P=\{~\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\ldots \}.}$
• の削除された整数トポロジーは、${\displaystyle X={\begin{matrix}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(n-1,n)\subseteq \mathbb {R} \end{matrix}}}$そして${\displaystyle P={\left\{(0,1),(1,2),(2,3),\ldots \right\}}.}$

自明な分割により離散トポロジーが得られます（各ポイント${\displaystyle X}$はセットです${\displaystyle P,}$それで${\displaystyle P=\{~\{x\}~:~x\in X~\}}$）または非離散トポロジー（全体のセット）${\displaystyle X}$は${\displaystyle P,}$それで${\displaystyle P=\{X\}}$)

どのセットでも${\displaystyle X}$パーティションによって生成されたパーティショントポロジー${\displaystyle P}$これは、以下の擬距離で与えられる 擬距離空間と見なすことができる。$${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{x{\text{と}}y{\text{が同じ分割要素にある場合}}\\1&{\text{それ以外の場合}}.\end{cases}}}$$

これは指標ではありません${\displaystyle P}$離散トポロジーが得られる。

分割トポロジーは、さまざまな分離公理の独立性の重要な例を提供する。${\displaystyle P}$少なくとも1つのセットは自明である${\displaystyle P}$複数の点を含み、この集合の要素は位相的に区別できない。つまり、位相は点を分離しない。したがって${\displaystyle X}$はコルモゴロフ空間でも、T ₁空間でも、ハウスドルフ空間でも、ウリゾーン空間でもありません。分割位相では、すべての開集合の補集合も開集合であり、したがって集合が開集合であるのは、それが閉集合である場合のみです。したがって、${\displaystyle X}$は、規則的、完全に規則的、正常、完全に正常です。${\displaystyle X/P}$これは離散トポロジーです。

• トポロジー一覧– 具体的なトポロジーと位相空間の一覧 

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( 1978年版のドーバー 復刻版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3MR 0507446​