ファウルハーバーの公式

数学において、17 世紀初頭の数学者ヨハン・ファウルハーバーにちなんで名付けられたファウルハーバーの公式は、最初のn 個の正の整数 のp乗の合計をn の多項式として 表します。現代の表記法では、ファウルハーバーの公式は次のように表されます。 ここで、は二項係数「p  + 1 r を選択」であり、B _{j は}という規則に従うベルヌーイ数です。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\sum _{r=0}^{p}{\binom {p+1}{r}}B_{r}n^{p-r+1}.}$$${\textstyle {\binom {p+1}{r}}}$${\textstyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$

ファウルハーバーの公式は、最初のn 個の正の整数 のp乗の合計をnの ( p  + 1) 次多項式関数 として表すことに関するものです。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}$$

最初のいくつかの例はよく知られています。p = 0の場合、次のよう になります。p  = 1の場合、三角数、 p = 2 の 場合、四角錐数です。$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{0}=\sum _{k=1}^{n}1=n.}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{1}=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {1}{2}}(n^{2}+n).}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {1}{3 }}(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n).}$$

ファウルハーバーの公式の一般形の係数には、ベルヌーイ数 B _{j が}含まれる。ベルヌーイ数は 、ここでは という慣例を使用する から始まる。ベルヌーイ数には様々な定義がある（ベルヌーイ数#定義 を参照）。例えば、ベルヌーイ数は指数関数生成関数の係数である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1&B_{1}&={\tfrac {1}{2}}&B_{2}&={\tfrac {1}{6}}&B_{3}&=0\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{30}}&B_{5}&=0&B_{6}&={\tfrac {1}{42}}&B_{7}&=0,\end{aligned}}}$$${\textstyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$$${\displaystyle {\frac {t}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

すると、ファウルハーバーの公式は、 ここで、B _{j は}上記のベルヌーイ数であり、は 二項係数「p  + 1 からk を選択」 です。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}B_{k}n^{p-k+1}.}$$$${\displaystyle {\binom {p+1}{k}}={\frac {(p+1)!}{(p+1-k)!\,k!}}={\frac {(p+1)p(p-1)\cdots (p-k+3)(p-k+2)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}}$$

例えば、p = 4の場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={\frac {1}{5}}\sum _{j=0}^{4}{5 \choose j}B_{j}n^{5-j}\\&={\frac {1}{5}}\left(B_{0}n^{5}+5B_{1}n^{4}+10B_{2}n^{3}+10B_{3}n^{2}+5B_{4}n\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(n^{5}+{\tfrac {5}{2}}n^{4}+{\tfrac {5}{3}}n^{3}-{\tfrac {1}{6}}n\right).\end{aligned}}}$$

ファウルハーバーの公式の最初の7つの例は $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{0}&={\frac {1}{1}}\,{\big (}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{1}&={\frac {1}{2}}\,{\big (}n^{2}+{\tfrac {2}{2}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{2}&={\frac {1}{3}}\,{\big (}n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {3}{6}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{3}&={\frac {1}{4}}\,{\big (}n^{4}+{\tfrac {4}{2}}n^{3}+{\tfrac {6}{6}}n^{2}+0n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{4}&={\frac {1}{5}}\,{\big (}n^{5}+{\tfrac {5}{2}}n^{4}+{\tfrac {10}{6}}n^{3}+0n^{2}-{\tfrac {5}{30}}n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\frac {1}{6}}\,{\big (}n^{6}+{\tfrac {6}{2}}n^{5}+{\tfrac {15}{6}}n^{4}+0n^{3}-{\tfrac {15}{30}}n^{2}+0n{\big )}\\\sum _{k=1}^{n}k^{6}&={\frac {1}{7}}\,{\big (}n^{7}+{\tfrac {7}{2}}n^{6}+{\tfrac {21}{6}}n^{5}+0n^{4}-{\tfrac {35}{30}}n^{3}+0n^{2}+{\tfrac {7}{42}}n{\big )}.\end{aligned}}}$$

この問題の歴史は古代に始まり、その特殊なケースの歴史と一致しています。そのケースは、等差数列の最初の値の合計である等差数列の計算と一致しています。この問題は非常に単純ですが、ピタゴラス学派によって三角数との関連ですでに知られていたケースは歴史的に興味深いものです。 ${\displaystyle p=1}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 1+2+\dots +n={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n,}$  最初の自然数の合計を計算する多項式。${\displaystyle S_{1,1}^{1}(n)}$${\displaystyle n}$

数学の歴史で最初に遭遇した事例 は次のとおりです。${\displaystyle m>1,}$

${\displaystyle 1+3+\dots +2n-1=n^{2},}$  平方を形成する最初の連続する奇数の合計を計算する多項式。この特性はピタゴラス学派自身によってよく知られており、彼らは数字を構成する際に、次の完全な平方を得るために奇数の点からなるグノモンを毎回追加する必要がありました。${\displaystyle S_{1,2}^{1}(n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n,}$  連続する整数の二乗の合計を計算する多項式。この性質はアルキメデスの著書『らせん』で実証されている。^[1]${\displaystyle S_{1,1}^{2}(n)}$

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2},}$  連続する整数の3乗の合計を計算する多項式。ニコマコス・ゲラサの定理の系 。^[1]${\displaystyle S_{1,1}^{3}(n)}$

前述の 2 つの多項式が属するケースの L'insiemeは、連続する整数の累乗に関する古典的な問題を構成します。${\displaystyle S_{1,1}^{m}(n)}$

時が経つにつれ、他の多くの数学者がこの問題に興味を持ち、その解決に様々な貢献をした。その中には、アリヤバータ、アル・カラジ、イブン・アル・ハイサム、トーマス・ハリオット、ヨハン・ファウルハーバー、ピエール・ド・フェルマー、ブレーズ・パスカルなどがあり、パスカルは、連続する整数の累乗の和の問題を、前の累乗が分かっている次数の多項式を求めることができる恒等式を考えることで再帰的に解いた。^[1]${\displaystyle m+1}$

ファウルハーバーの公式はベルヌーイの公式とも呼ばれる。ファウルハーバーはベルヌーイが後に発見した係数の特性を知らなかった。むしろ、彼は少なくとも最初の17のケースと、以下で説明する奇数乗のファウルハーバー多項式の存在を知っていた。^[2]

1713 年、ヤコブ・ベルヌーイは、n 個の最初の整数のp乗の合計を、現在ベルヌーイ数と呼ばれる数B _jを含む係数を持つnの ( p + 1 ) 次多項式関数として表す「Summae Potestatum 」というタイトルで出版しました。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+{1 \over p+1}\sum _{j=2}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}.}$

最初の2つのベルヌーイ数（ベルヌーイはこれを導入しなかった）も導入すると、前の式は、 となる第二種ベルヌーイ数、または となる第一種ベルヌーイ数を使用すると、$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j},}$$${\textstyle B_{1}={\frac {1}{2}}}$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}(-1)^{j}{p+1 \choose j}B_{j}^{-}n^{p+1-j},}$$${\textstyle B_{1}^{-}=-{\frac {1}{2}}.}$

これらの公式の厳密な証明と、そのような公式がすべての奇数乗に対して存在するというファウルハーバーの主張は、2 世紀後のカール ヤコビ(1834 年) まで待たされました。ヤコビは、ベルヌーイ数を 生成する指数関数の無限級数展開を用いた数学的解析の進歩の恩恵を受けました。

1982年にAWFエドワーズは論文^{[3]を発表し、パスカルの等式は}パスカルの三角形から各行の最後の要素を除いた 三角行列で表現できることを示した。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&2&0&0&0\\1&3&3&0&0\\1&4&6&4&0\\1&5&10&10&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{1}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{3}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{4}\\\end{pmatrix}}}$^{[4] [5]}

この例は 5 次行列の選択によって制限されますが、高次の行列に簡単に拡張できます。方程式は次のように記述できます。方程式の左辺に行列 A の逆行列である を掛けると、ベルヌーイ数を直接使用せずに多項式の係数に直接到達できる次の式が得られます。エドワーズに続いてべき乗和問題のさまざまな側面を扱った他の著者は、行列パス^{[6]を採用し、記事で問題の側面を研究する際に、ヴァンデルモンド ベクトル[7]}などの便利なツールを使用しています。他の研究者は、従来の解析ルート^[8]を通じて調査を続け、連続する整数の和の問題を任意の等比数列に一般化しています^{[9] [10]}${\displaystyle {\vec {N}}=A{\vec {S}}}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A^{-1}{\vec {N}}={\vec {S}}}$

整数に対する考慮中の和を表すものとする 。$${\displaystyle S_{p}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{p},}$$${\displaystyle p\geq 0.}$

（最初は）不定である次の指数生成関数を定義します 。 これは の完全関数なので、 は任意の複素数として取ることができます。 ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle G(z,n)=\sum _{p=0}^{\infty }S_{p}(n){\frac {1}{p!}}z^{p}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}G(z,n)=&\sum _{p=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p!}}(kz)^{p}=\sum _{k=1}^{n}e^{kz}=e^{z}\cdot {\frac {1-e^{nz}}{1-e^{z}}},\\=&{\frac {1-e^{nz}}{e^{-z}-1}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

次に、ベルヌーイ多項式 の指数生成関数を思い出します。 ここで、はベルヌーイ数を表し、 という規則が適用されます。これは、各 の の係数に を追加することで、 という規則が適用された生成関数に変換できます。たとえば、Bernoulli_polynomials#Explicit_formula を参照してください。を変更する必要はありません。 したがって、 ${\displaystyle B_{j}(x)}$ $${\displaystyle {\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}(x){\frac {z^{j}}{j!}},}$$${\displaystyle B_{j}=B_{j}(0)}$${\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle B_{1}^{+}={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle x^{j-1}}$${\displaystyle B_{j}(x)}$${\displaystyle B_{0}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}^{+}(x){\frac {z^{j}}{j!}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+\sum _{j=1}^{\infty }jx^{j-1}{\frac {z^{j}}{j!}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+\sum _{j=1}^{\infty }x^{j-1}{\frac {z^{j}}{(j-1)!}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}+ze^{zx}\\=&{\frac {ze^{zx}+ze^{z}e^{zx}-ze^{zx}}{e^{z}-1}}\\=&{\frac {ze^{zx}}{1-e^{-z}}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }B_{j}^{+}(x){\frac {z^{j}}{j!}}-\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}^{+}(0){\frac {z^{j}}{j!}}={\frac {ze^{zx}}{1-e^{-z}}}-{\frac {z}{1-e^{-z}}}=zG(z,n)}$$ すべての に対して となる 。 $${\displaystyle S_{p}(n)={\frac {B_{p+1}^{+}(n)-B_{p+1}^{+}(0)}{p+1}}}$$${\displaystyle p}$

ファウルハーバー多項式という用語は、一部の著者によって、上記の多項式列に関連する別の多項式列を指すために使用されます。

ファウルハーバーは 、 pが奇数の場合、 はaの多項式関数であること を観察しました。 $${\displaystyle a=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.}$$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}}$

p = 1の場合、 p = 3 の場合、ニコマコスの定理 として知られる 結果  が明らかになります 。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{1}=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}=a.}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=a^{2}}$$

さらに、 （OEIS :A000537、OEIS :A000539、OEIS :A000541、OEIS :A007487、OEIS :A123095を参照） があります 。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\frac {4a^{3}-a^{2}}{3}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{7}&={\frac {6a^{4}-4a^{3}+a^{2}}{3}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{9}&={\frac {16a^{5}-20a^{4}+12a^{3}-3a^{2}}{5}}\\\sum _{k=1}^{n}k^{11}&={\frac {16a^{6}-32a^{5}+34a^{4}-20a^{3}+5a^{2}}{3}}\end{aligned}}}$$

より一般的には、^{[引用が必要]} $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m+1}={\frac {1}{2^{2m+2}(2m+2)}}\sum _{q=0}^{m}{\binom {2m+2}{2q}}(2-2^{2q})~B_{2q}~\left[(8a+1)^{m+1-q}-1\right].}$$

一部の著者は、これらの恒等式の右辺にある多項式をファウルハーバー多項式と呼んでいます。 j > 1 の奇数に対してベルヌーイ数B _j^は0となるため、これらの多項式は2で割り切れます。

逆に、簡単に書くと、 一般的には ${\displaystyle s_{j}:=\sum _{k=1}^{n}k^{j}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}4a^{3}&=3s_{5}+s_{3}\\8a^{4}&=4s_{7}+4s_{5}\\16a^{5}&=5s_{9}+10s_{7}+s_{5}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle 2^{m-1}a^{m}=\sum _{j>0}{\binom {m}{2j-1}}s_{2m-2j+1}.}$$

ファウルハーバーはまた、奇数乗の和が で与えられる場合 、そのすぐ下の偶数乗の和は で与えられることも 知っていました。括弧内の多項式は、上記の多項式 の に関する導関数であることに注意してください。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m+1}=c_{1}a^{2}+c_{2}a^{3}+\cdots +c_{m}a^{m+1}}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m}={\frac {n+{\frac {1}{2}}}{2m+1}}(2c_{1}a+3c_{2}a^{2}+\cdots +(m+1)c_{m}a^{m}).}$$

a  =  n ( n + 1)/2なので 、これらの式は、奇数乗 (1 より大きい) の場合、その和はn の多項式で、因数はn ²と ( n  + 1) ²であるのに対し、偶数乗の場合、その多項式は因数n、n  + 1/2 、n  + 1 であることを示しています。

2 つの（したがって、反復により複数）べき和の積は、の多項式としての積の合計次数に応じて、すべての次数が偶数かすべての次数が奇数のどちらかであるべき和の線形結合として表すことができます（例： ）。 を置けばわかるように、係数の合計は両辺で等しくなければなりません。これにより、すべての が1 に等しくなります。一般的な公式には以下が含まれます。2 番目の公式 では、 が偶数の場合、に対応する項は和の他の項と異なりますが、 が奇数の場合は、 のためにこの追加の項が消えること に注意してください。 ${\displaystyle s_{j_{r}}:=\sum _{k=1}^{n}k^{j_{r}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 30s_{2}s_{4}=-s_{3}+15s_{5}+16s_{7}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle s_{j}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(m+1)s_{m}^{2}&=2\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m+1}{2j}}(2m+1-2j)B_{2j}s_{2m+1-2j}.\\m(m+1)s_{m}s_{m-1}&=m(m+1)B_{m}s_{m}+\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {m-1}{2}}\rfloor }{\binom {m+1}{2j}}(2m+1-2j)B_{2j}s_{2m-2j}.\\2^{m-1}s_{1}^{m}&=\sum _{j=1}^{\lfloor {\frac {m+1}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2j-1}}s_{2m+1-2j}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle j={\dfrac {m}{2}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle B_{m}=0}$

ファウルハーバーの公式は行列の乗算を使った形で表すこともできます。

最初の7つの例を見てみましょう。 これらの多項式を行列の積として書き表すと、 次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{0}&={\phantom {-}}1n\\\sum _{k=1}^{n}k^{1}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}\\\sum _{k=1}^{n}k^{2}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{6}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{3}}n^{3}\\\sum _{k=1}^{n}k^{3}&={\phantom {-}}0n+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n^{3}+{\tfrac {1}{4}}n^{4}\\\sum _{k=1}^{n}k^{4}&=-{\tfrac {1}{30}}n+0n^{2}+{\tfrac {1}{3}}n^{3}+{\tfrac {1}{2}}n^{4}+{\tfrac {1}{5}}n^{5}\\\sum _{k=1}^{n}k^{5}&={\phantom {-}}0n-{\tfrac {1}{12}}n^{2}+0n^{3}+{\tfrac {5}{12}}n^{4}+{\tfrac {1}{2}}n^{5}+{\tfrac {1}{6}}n^{6}\\\sum _{k=1}^{n}k^{6}&={\phantom {-}}{\tfrac {1}{42}}n+0n^{2}-{\tfrac {1}{6}}n^{3}+0n^{4}+{\tfrac {1}{2}}n^{5}+{\tfrac {1}{2}}n^{6}+{\tfrac {1}{7}}n^{7}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sum k^{0}\\\sum k^{1}\\\sum k^{2}\\\sum k^{3}\\\sum k^{4}\\\sum k^{5}\\\sum k^{6}\end{pmatrix}}=G_{7}{\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\n^{6}\\n^{7}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle G_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\-{1 \over 30}&0&{1 \over 3}&{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&-{1 \over 12}&0&{5 \over 12}&{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&-{1 \over 6}&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}}.}$$

驚くべきことに、多項式係数の行列を反転すると、より馴染みのある結果が得られます。 $${\displaystyle G_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&0&0&0&0&0\\1&-3&3&0&0&0&0\\-1&4&-6&4&0&0&0\\1&-5&10&-10&5&0&0\\-1&6&-15&20&-15&6&0\\1&-7&21&-35&35&-21&7\\\end{pmatrix}}={\overline {A}}_{7}}$$

逆行列では、各行の最後の要素がなく、符号が交互になっている パスカルの三角形を認識できます。

を、奇数対角要素の符号を変更して、つまりを で置き換えることによってから得られる行列とします。を同様の変換で から得られる行列とすると、および となります 。 また、 これは、 であり、したがって の形式の次数の多項式から単項式差を減算するととなること が明らかであるためです 。 ${\displaystyle A_{7}}$${\displaystyle {\overline {A}}_{7}}$${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle (-1)^{i+j}a_{i,j}}$${\displaystyle {\overline {G}}_{7}}$${\displaystyle G_{7}}$$${\displaystyle A_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\1&2&0&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0&0\\1&4&6&4&0&0&0\\1&5&10&10&5&0&0\\1&6&15&20&15&6&0\\1&7&21&35&35&21&7\\\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle A_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&-{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&-{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\-{1 \over 30}&0&{1 \over 3}&-{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&-{1 \over 12}&0&{5 \over 12}&-{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&-{1 \over 6}&0&{1 \over 2}&-{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}}={\overline {G}}_{7}.}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sum _{k=0}^{n-1}k^{0}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{1}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{3}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{4}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{5}\\\sum _{k=0}^{n-1}k^{6}\\\end{pmatrix}}={\overline {G}}_{7}{\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\n^{6}\\n^{7}\\\end{pmatrix}}}$$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}-\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=n^{m}}$${\displaystyle m+1}$${\textstyle {\frac {1}{m+1}}n^{m+1}+{\frac {1}{2}}n^{m}+\cdots }$${\displaystyle n^{m}}$${\textstyle {\frac {1}{m+1}}n^{m+1}-{\frac {1}{2}}n^{m}+\cdots }$

これはすべての順序に対して真である。つまり、各正の整数mに対して、そしてが成り立つ。 したがって、ベルヌーイ数に頼ることなく、パスカルの三角形から簡単に得られる行列を反転することによって、連続する整数の累乗の和の多項式の係数を得ることができる。^{[12] [13]}${\displaystyle G_{m}^{-1}={\overline {A}}_{m}}$${\displaystyle {\overline {G}}_{m}^{-1}=A_{m}.}$

• を に置き換えると、次の代替表現が見つかります。${\displaystyle k}$${\displaystyle p-k}$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}{p \choose k}B_{p-k}n^{k+1}.}$$
• 元の式の両辺から を減算し、 を加算すると、${\displaystyle n^{p}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{p}&={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}(-1)^{k}B_{k}(n+1)^{p-k+1}\\&=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}{\binom {p}{k}}(-1)^{p-k}B_{p-k}(n+1)^{k+1},\end{aligned}}}$$

ここで、 は「負の」ベルヌーイ数として解釈できます。${\displaystyle (-1)^{k}B_{k}=B_{k}^{-}}$${\displaystyle B_{1}^{-}=-{\tfrac {1}{2}}}$

• をベルヌーイ多項式で展開して、次式が得られることも考えられます。 が奇数の場合は常に となるため、 のときは因数を削除できます。${\displaystyle G(z,n)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}G(z,n)&={\frac {e^{(n+1)z}}{e^{z}-1}}-{\frac {e^{z}}{e^{z}-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\infty }\left(B_{j}(n+1)-(-1)^{j}B_{j}\right){\frac {z^{j-1}}{j!}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}(n+1)-(-1)^{p+1}B_{p+1}\right)={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(1)\right).}$$${\displaystyle B_{n}=0}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle (-1)^{p+1}}$${\displaystyle p>0}$
• これは第二種スターリング数と下降階乗を用いて次のように表すこともできる^[14]。 これは第二種スターリング数が下降階乗の単項式として定義されていることと、下降階乗が不定和の下でどのように振舞うかによる。$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}\left\{{p \atop k}\right\}{\frac {(n+1)_{k+1}}{k+1}},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=1}^{p+1}\left\{{p+1 \atop k}\right\}{\frac {(n)_{k}}{k}}.}$$

第二種スターリング数 を の集合の分割数として解釈すると、両辺とも最大値を持つ関数の数を数えるので、この恒等式は直接的な組み合わせ論的証明を持ちます。左辺の和のインデックスは を表し、右辺のインデックスは f の像の要素の数を表します。 ${\displaystyle \left\{{p+1 \atop k}\right\}}$${\displaystyle \lbrack p+1\rbrack }$${\displaystyle k}$${\displaystyle f:\lbrack p+1\rbrack \to \lbrack n\rbrack }$${\displaystyle f(1)}$${\displaystyle k=f(1)}$