ジョーダンとアインシュタインのフレーム

スカラーテンソル理論のラグランジアンは、ジョルダン フレームまたはアインシュタイン フレームで表現できます。これらは、重力場方程式と物質場の発展方程式のさまざまな側面を強調する場の変数です。ジョルダン フレームでは、スカラー場またはその関数がラグランジアン内のリッチ スカラーを乗算し、物質は通常、計量に最小限に結合されますが、アインシュタイン フレームでは、リッチスカラーはスカラー場によって乗算されず、物質は最小限に結合されません。結果として、アインシュタイン フレームでは、時空計量の場の方程式はアインシュタイン方程式に似ていますが、テスト粒子は計量の測地線上を動きません。一方、ジョルダン フレームでは、テスト粒子は測地線上を動きますが、場の方程式はアインシュタイン方程式とは非常に異なります。両方のフレームの因果構造は常に同等であり、フレームは特定のアプリケーションに都合の良いように相互に変換できます。

クリストファー・ヒルとグラハム・ロスは、ジョーダン系に「重力接触項」が存在し、それによって作用が重力子の交換によって修正されることを示した。この修正により、有効理論としてアインシュタイン系が導かれる。^[1]ファインマン図では、頂点に交換された運動量のべき乗 が含まれる場合に 接触相互作用が発生し、これがファインマン伝播関数に対して打ち消されて、点状の相互作用が生じる。これは、理論の有効作用の一部として含める必要がある。接触項が含まれる場合、ジョーダン系での振幅の結果はアインシュタイン系での振幅の結果と等しくなり、接触項を省略したジョーダン系での物理計算の結果は通常不正確になる。これは、ジョーダン系での作用が誤解を招きやすく、アインシュタイン系だけが物理を完全に表すのに正しいことを意味している。 ${\displaystyle q^{2}}$${\displaystyle 1/q^{2}}$

ワイル再スケーリングを 実行すると、リーマンテンソルとリッチテンソルは次のように変更されます。 ${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi ^{-2/(d-2)}g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\sqrt {-{\チルダ {g}}}}=\ファイ ^{-d/(d-2)}{\sqrt {-g}}}$

${\displaystyle {\チルダ {R}}=\Phi ^{2/(d-2)}\left[R+{\frac {2(d-1)}{d-2}}{\frac {\Box \Phi }{\Phi }}-{\frac {3(d-1)}{(d-2)}}\left({\frac {\nabla \Phi }{\Phi }}\右)^{2}\右]}$

例として、曲がった背景に最小限に結合した 任意の物質場の集合による単純なスカラーテンソル作用の変換を考える。${\displaystyle \psi _{\mathrm {m} }}$

${\displaystyle S=\int d^{d}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}\Phi {\tilde {R}}+S_{\mathrm {m} }[{\tilde {g}}_{\mu \nu },\psi _{\mathrm {m} }]=\int d^{d}x{\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {2(d-1)}{d-2}}{\frac {\Box \Phi }{\Phi }}-{\frac {3(d-1)}{(d-2)}}\left(\nabla \left(\ln \Phi \right)\right)^{2}\right]+S_{\mathrm {m} }[\Phi ^{-2/(d-2)}g_{\mu \nu },\psi _{\mathrm {m} }]}$

チルダ フィールドは、ジョルダン フレーム内の量に対応し、チルダのないフィールドは、アインシュタイン フレーム内のフィールドに対応します。物質の作用は、メトリックの再スケーリングでのみ変化することに注意してください。 ${\displaystyle S_{\mathrm {m} }}$

ジョーダンとアインシュタインのフレームは、物理方程式の特定の部分を単純化するために構築されており、フレームとそこに現れる場に特定の物理的解釈を与える。例えば、アインシュタインのフレームでは、重力場の方程式は次の形式になる。

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\mathrm {other\;fields} \,.}$

つまり、これらは、右側に特定のソースを持つ通常のアインシュタイン方程式として解釈できます。同様に、ニュートンの限界では、個別のソース項を持つニュートンポテンシャルのポアソン方程式が回復されます。

しかし、アインシュタインのフレームに変換することで、物質場は背景だけでなく、有効ポテンシャルとして機能する場とも結合する。具体的には、孤立したテスト粒子は普遍的な4つの加速を受ける。 ${\displaystyle \Phi}$

${\displaystyle a^{\mu }={\frac {-1}{d-2}}{\frac {\Phi _{,\nu }}{\Phi }}(g^{\mu \nu } +u^{\mu }u^{\nu }),}$

ここで、 は粒子の 4 元速度です。つまり、アインシュタインのフレームでは自由落下する粒子はありません。 ${\displaystyle u^{\mu}}$

一方、ジョルダン フレームでは、すべての物質場はに最小限に結合しており、孤立したテスト粒子は計量 に関して測地線上を動きます。これは、測地線偏差の測定によってリーマン曲率テンソルを再構築すると、実際にジョルダン フレームの曲率テンソルが得られることを意味します。一方、通常の相対論的理論から重力レンズ効果による物質源の存在を推測すると、アインシュタイン フレームの意味での物質源の分布が得られます。 ${\displaystyle \psi _{\mathrm {m} }}$${\displaystyle {\チルダ {g}}_{\mu \nu }}$${\displaystyle {\チルダ {g}}_{\mu \nu }}$

ジョーダンフレーム重力は、タイプIV特異点を導くために、タイプIV特異点バウンス宇宙進化を計算するために使用することができます。^[2]

• アルバート・アインシュタイン
• パスクアル・ジョーダン

• Valerio Faraoni、Edgard Gunzig、Pasquale Nardone、「古典重力理論と宇宙論における共形変換」、Fundam. Cosm. Phys. 20 (1999):121、arXiv :gr-qc/9811047。
• Eanna E. Flanagan、「重力理論における共形フレームの自由」、Class. Q. Grav. 21 (2004):3817、arXiv :gr-qc/0403063。