パラティーニ変奏曲

一般相対性理論と重力において、パラティーニ変分は現在、接続に関する ラグランジアン変分として考えられています。

実際、よく知られているように、一般相対論に対するアインシュタイン-ヒルベルト作用は、最初、純粋に時空計量 に関して定式化されました。パラティーニ変分法では、がおよびその導関数に依存しないと仮定して、アフィン接続の 10 個の成分だけでなく 40 個の成分も独立した場の変数として取ります。 ${\displaystyle {g_{\mu \nu }}}$${\displaystyle {g_{\mu \nu }}}$ ${\displaystyle {\Gamma _{\,\beta \mu }^{\alpha }}}$${\displaystyle {\Gamma _{\,\beta \mu }^{\alpha }}}$${\displaystyle {g_{\mu \nu }}}$

パラティーニ変分が重要だと考えられる理由は、一般相対論におけるクリストッフェル接続の使用を別の仮定として追加する必要がないことを意味するからです。その情報はラグランジアンの中にすでに含まれています。一般相対論のアインシュタイン-ヒルベルト ラグランジアンよりも複雑なラグランジアンを持つ重力理論の場合、パラティーニ変分はより複雑な接続を与えることがあり、テンソル方程式を与えることもあります。

アッティリオ・パラティーニ（1889年 - 1949年）はイタリアの数学者であり、パドヴァ大学でレヴィ＝チヴィタとリッチ＝クルバストロに師事し、博士号を取得した。

この主題の歴史とパラティーニとパラティーニの関係は、単純なものではありません (参考文献を参照)。実際、現在教科書で「パラティーニ形式論」と呼ばれているものは、実際には 1925 年にアインシュタインによって発明されたもので、年月が経つにつれて、人々はパラティーニの同一性とパラティーニ形式論を混同する傾向がありました。

• パラティーニのアイデンティティ
• 自己双対パラティーニ作用
• パラティーニ四則作用

• Palatini、Attilio (1919)、「Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton」[ハミルトンの原理からの重力方程式の不変演繹]、Rendicconti del Circolo Matematico di Palermo、1 (イタリア語)、43 : 203–212 、土肥:10.1007/BF03014670、S2CID  121043319[ PG Bergmannおよび V. De Sabbashi (編) Cosmology and Gravitationの R. Hojman および C. Mukku による英語翻訳、Plenum Press、ニューヨーク (1980)]
• ツァンパリス、マイケル (1978)、「パラティーニ変分法について」、Journal of Mathematical Physics、19 (3​​): 555–557、Bibcode :1978JMP....19..555T、doi :10.1063/1.523699
• Ferraris, M.; Francaviglia, M.; Reina, C. (1982). 「1915年から1925年までの一般相対性理論の変分定式化 'パラティーニの方法' は1925年にアインシュタインによって発見された」. Gen. Rel. Grav . 14 (3): 243–254. Bibcode :1982GReGr..14..243F. doi :10.1007/BF00756060. S2CID  55773967.