急速に変化する複素指数関数を積分するときに使用される漸近解析
数学 において 、 定常位相近似は 漸近解析 の基本原理であり 、急速に変化する複素指数に対する積分によって与えられる関数に適用されます。
この方法は19世紀に ジョージ・ガブリエル・ストークス と ケルビン卿 によって考案されました。 [1]
これは ラプラス法 や 最急降下法 と密接に関連していますが、ラプラスの貢献は他のものよりも先行しています。
基礎 定常位相法の主な考え方は、急速に変化する位相を持つ正弦波 の打ち消しに依存しています 。多くの正弦波が同じ位相を持ち、それらを加算すると、建設的に加算されます。ただし、これらの同じ正弦波の位相が周波数の変化に応じて急速に変化する場合は、非コヒーレントに加算され、異なる時間に建設的加算と破壊的加算の間で変化します [ 説明が必要 ] 。
関数の 臨界点 （すなわち、 となる点） の集合を とすると 、 が コンパクトにサポートされているか指数関数的に減少し、すべての臨界点は非退化（すなわち、 に対して ）であるという仮定の下で、 として次の漸近式が得られます 。
Σ
{\displaystyle \Sigma }
ふ
{\displaystyle f}
∇ ふ = 0
{\displaystyle \nabla f=0}
グ
{\displaystyle g}
詳細 （
H e s s
（ ふ （
x
0
） ） ） ≠ 0
{\displaystyle \det(\mathrm {ヘス} (f(x_{0})))\neq 0}
x
0
∈ Σ
{\displaystyle x_{0}\in \Sigma }
け → ∞
{\displaystyle k\to \infty }
∫
R
ん
グ （ x ）
e
私 け ふ （ x ）
d x =
∑
x
0
∈ Σ
e
私 け ふ （
x
0
）
|
詳細 （
H e s s
（ ふ （
x
0
） ） ）
|
− 1
/
2
e
私 π
4
s グ ん
（
H e s s
（ ふ （
x
0
） ） ）
（ 2 π
/
け
）
ん
/
2
グ （
x
0
） + o （
け
− ん
/
2
）
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }e^{ikf(x_ {0})}|\det({\mathrm {Hess} }(f(x_{0})))|^{-1/2}e^{{\frac {i\pi }{4}}\mathrm {sgn} (\mathrm {ヘス} (f(x_{0})))}(2\pi /k)^{n/2}g(x_{0})+o( k^{-n/2})}
ここで は の ヘッセ行列 を表し 、 はヘッセ行列の 符号 、つまり正の固有値の数から負の固有値の数を引いた
値を表します。
H e s s
（ ふ ）
{\displaystyle \mathrm {ヘス} (f)}
ふ
{\displaystyle f}
s グ ん
（
H e s s
（ ふ ） ）
{\displaystyle \mathrm {sgn} (\mathrm {ヘス} (f))}
の場合 、これは次のようになります。
ん = 1
{\displaystyle n=1}
∫
R
グ （ x ）
e
私 け ふ （ x ）
d x =
∑
x
0
∈ Σ
グ （
x
0
）
e
私 け ふ （
x
0
） +
s 私 グ ん
（
ふ ″
（
x
0
） ） 私 π
/
4
（
2 π
け
|
ふ ″
（
x
0
）
|
）
1
/
2
+ o （
け
− 1
/
2
）
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }g(x_{0})e^{ikf(x_{0})+\mathrm {sign} (f''(x_{0}))i\pi /4}\left({\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}\right)^{1/2}+o(k^{-1/2})}
この場合、 に関する仮定は、 すべての臨界点が非退化であるということに帰着します。
ふ
{\displaystyle f}
これは、最急降下法の 公式の ウィック回転 バージョンにすぎません 。
例 関数を考える
ふ （ x 、 t ） =
1
2 π
∫
R
ふ （ ω ）
e
私 [ け （ ω ） x − ω t ]
d ω
{\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi}}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i[k(\omega )x-\omega t]}\,d\omega }
。 この関数の位相項は、 次の場合に定常となる。
ϕ = け （ ω ） x − ω t
{\displaystyle \phi =k(\omega )x-\omega t}
d
d ω
（
け （ ω ） x − ω t
）
= 0
{\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}{\mathopen {}}\left(k(\omega )x-\omega t\right){\mathclose {}}=0}
または同等に、
d
k
(
ω
)
d
ω
|
ω
=
ω
0
=
t
x
{\displaystyle {\frac {dk(\omega )}{d\omega }}{\Big |}_{\omega =\omega _{0}}={\frac {t}{x}}}
。 この方程式の解は、いくつかの および の 優位振動数を与える 。 を テイラー級数 として展開し 、 より高い次数の項を無視すると 、
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
ϕ
{\displaystyle \phi }
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
(
ω
−
ω
0
)
2
{\displaystyle (\omega -\omega _{0})^{2}}
ϕ
=
[
k
(
ω
0
)
x
−
ω
0
t
]
+
1
2
x
k
″
(
ω
0
)
(
ω
−
ω
0
)
2
+
⋯
{\displaystyle \phi =\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]+{\frac {1}{2}}xk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}+\cdots }
ここで は の2次導関数を表します 。 が比較的大きい場合、小さな差でも 積分内で急激な振動が発生し、相殺につながります。したがって、テイラー展開の限界を超えて積分の限界を拡張できます。次の式を使用すると、
k
″
{\displaystyle k''}
k
{\displaystyle k}
x
{\displaystyle x}
(
ω
−
ω
0
)
{\displaystyle (\omega -\omega _{0})}
∫
R
e
1
2
i
c
x
2
d
x
=
2
i
π
c
=
2
π
|
c
|
e
±
i
π
4
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}icx^{2}}dx={\sqrt {\frac {2i\pi }{c}}}={\sqrt {\frac {2\pi }{|c|}}}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}}
。
f
(
x
,
t
)
≈
1
2
π
e
i
[
k
(
ω
0
)
x
−
ω
0
t
]
|
F
(
ω
0
)
|
∫
R
e
1
2
i
x
k
″
(
ω
0
)
(
ω
−
ω
0
)
2
d
ω
{\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {1}{2\pi }}e^{i\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]}\left|F(\omega _{0})\right|\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}ixk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}}\,d\omega }
。 これは統合すると
f
(
x
,
t
)
≈
|
F
(
ω
0
)
|
2
π
2
π
x
|
k
″
(
ω
0
)
|
cos
[
k
(
ω
0
)
x
−
ω
0
t
±
π
4
]
{\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {\left|F(\omega _{0})\right|}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left|k''(\omega _{0})\right|}}}\cos \left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]}
。
削減手順 関係する原理の最初の主要な一般的な記述は、 I ( k )の漸近的挙動は f の 臨界点のみに依存するというものである。 g の選択によって積分が f に 臨界点がない空間領域に局所化される場合 、結果として得られる積分は振動の周波数が無限大にとられるにつれて 0 に近づく。例えば、 リーマン・ルベーグの補題 を参照。
2番目の主張は、 fが モース関数 で、 f の特異点 が 非退化かつ孤立しているとき、問題は n = 1の場合に帰着できるということである。 実際、その場合、 gの選択によって、積分を、それぞれ1つの臨界点 P だけを持つケースに分割することができる 。その時点で、 P における ヘッセ行列式は 仮定により0ではないため、 モースの補題 が適用される。座標を変更することで、 fは 次のように置き換えられる
。
(
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
j
2
)
−
(
x
j
+
1
2
+
x
j
+
2
2
+
⋯
+
x
n
2
)
{\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{j}^{2})-(x_{j+1}^{2}+x_{j+2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})}
。 j の値は、 P における f の ヘッセ行列 の 符号 によって与えられる。 g に関しては、 g が x i の バンプ関数 の積である ことが本質的なケースである 。ここで、一般性を失うことなく P が 原点であると仮定し、 区間 [−1, 1]上で値が 1 で、その外側では急速に 0 に近づく滑らかなバンプ関数 h を取る。
g
(
x
)
=
∏
i
h
(
x
i
)
{\displaystyle g(x)=\prod _{i}h(x_{i})}
、 すると、 フビニの定理は、 I ( k ) を次のように実数直線上の積分に
簡約する。
J
(
k
)
=
∫
h
(
x
)
e
i
k
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle J(k)=\int h(x)e^{ikf(x)}\,dx}
ここで、 f ( x ) = ± x 2 です。マイナス符号の場合は プラス符号の場合の
複素共役なので、必要な漸近推定値は基本的に 1 つです。
このようにして、モース関数の振動積分の漸近挙動を見つけることができます。退化したケースでは、さらに技術が必要です (たとえば、 エアリー関数 を参照)。
1次元の場合 重要な声明は次の通りです。
∫
−
1
1
e
i
k
x
2
d
x
=
π
k
e
i
π
/
4
+
O
(
1
k
)
{\displaystyle \int _{-1}^{1}e^{ikx^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{k}}}e^{i\pi /4}+{\mathcal {O}}{\mathopen {}}\left({\frac {1}{k}}\right){\mathclose {}}}
。 実際、 等高線積分 により、方程式の右側の主項は左側の積分を範囲 に拡張した値であることが示されます (証明については フレネル積分 を参照)。したがって、問題は、たとえば 上の積分を推定することです 。 [2]
[
−
∞
,
∞
]
{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}
[
1
,
∞
]
{\displaystyle [1,\infty ]}
これは、の 2次導関数 を持つ単一の非退化臨界点を持つ、 の すべての1 次元積分のモデルです 。実際、このモデルケースでは、0 で2次導関数 2 を持ちます。 を使用してスケーリングするには 、が定数で
ある を で置き換えることは、 で スケーリングすることと同じであることに注意してください 。したがって、 の一般的な値に対して 、係数は次のように なります
。
I
(
k
)
{\displaystyle I(k)}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
>
0
{\displaystyle >0}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
c
k
{\displaystyle ck}
c
{\displaystyle c}
x
{\displaystyle x}
c
{\displaystyle {\sqrt {c}}}
f
″
(
0
)
>
0
{\displaystyle f''(0)>0}
π
/
k
{\displaystyle {\sqrt {\pi /k}}}
2
π
k
f
″
(
0
)
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2\pi }{kf''(0)}}}}
。 1つは 、前述のように複素共役式を使用するものです。
f
″
(
0
)
<
0
{\displaystyle f''(0)<0}
低次の項 式からわかるように、定常位相近似は積分の漸近挙動の一次近似です。 低次の項は、 適切に動作する に対して、さまざまな重み係数を持つ ファインマン図上 の の合計として理解できます。
f
{\displaystyle f}
参照
注記
参考文献 Bleistein, N. および Handelsman, R. (1975)、 「積分の漸近展開」 、ドーバー、ニューヨーク。 Victor Guillemin と Shlomo Sternberg (1990)、「幾何学的漸近論」(第 1 章を参照)。 Hörmander, L. (1976)、 Linear Partial Differential Operators、第 1 巻 、Springer-Verlag、 ISBN 978-3-540-00662-6 。 アキ、ケイイチ。 & リチャーズ、ポール G. (2002)。 『定量地震学』（第2版）、255-256ページ。大学科学書、 ISBN 0-935702-96-2 Wong, R. (2001)、 「積分の漸近近似」 、Classics in Applied Mathematics、第34巻。1989年のオリジナルの訂正版。Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)、フィラデルフィア、ペンシルバニア州。543ページ、 ISBN 0-89871-497-4 。 J. デュドネ (1980)、 Calcul Infinitésimal 、ヘルマン、パリ
外部リンク 
![{\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi}}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i[k(\omega )x-\omega t]}\,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159b68a9a78bb53f4a2b319f3b946f9ca21e7bfd)
![{\displaystyle \phi =\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]+{\frac {1}{2}}xk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e94533b8b3bdc49c51e383b4dfd70cd77793ca3)
![{\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {1}{2\pi }}e^{i\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]}\left|F(\omega _{0})\right|\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}ixk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}}\,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06fee520cacdc338caae1747198ec0da36ca8292)
![{\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {\left|F(\omega _{0})\right|}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left|k''(\omega _{0})\right|}}}\cos \left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3318bb6acc069295f43411565cd248405a9374b)
![{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13233867b861889693a36843d98e51d90d38f9f)
![{\displaystyle [1,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4470d735d311a79593637581b651c6611af107d3)
