大きなふるい

大ふるいは解析的整数論における方法（または方法群と関連するアイデア）である。これは、数のすべての剰余類の最大半分が除去されるタイプのふるいであり、少数の剰余類のみが除去されるセルバーグふるいなどの小ふるいとは対照的である。この方法は、任意の数の剰余類を除去する大ふるいによってさらに高度化されている。^[1]

その名前は、元々の用途に由来しています。つまり、 Sの要素が、すべての素数pを法として集合A _p ⊂ Z / p Zに存在することが禁じられているような集合が与えられた場合、 S はどのくらいの大きさになるでしょうか。ここで、A _{p は}大きい、つまり少なくとも定数倍のpと同じ大きさであると考えられます。そうでない場合は、小さいふるいであると言えます。 ${\displaystyle S\subset \{1,\ldots ,N\}}$

大型ふるいの初期の歴史は、1941 年にYu. B. Linnik が最小の二次非留数の問題に取り組んだことに遡ります。その後、Alfréd Rényi が確率的手法を用いてこれに取り組みました。その後 20 年経って、他の研究者による多数の貢献を経て、ようやく大型ふるいがより決定的な形で定式化されました。これは 1960 年代初頭、Klaus RothとEnrico Bombieriの独立した研究で起こりました。また、その頃には双対性原理との関連がよりよく理解されるようになりました。1960 年代半ばには、ディリクレ指標の平均値の推定値を使用して、大型ふるいの主要な応用としてBombieri-Vinogradov の定理が証明されました。1960 年代後半から 1970 年代初頭にかけて、 Patrick X. Gallagherによって主要な要素と推定値の多くが簡略化されました。^[2]

大型ふるい法は、小型ふるい法にも適用できるほど十分に開発されています。大型ふるい法に関連すると一般的にみなされるものは、必ずしも上記のような状況に関連しているかどうかではなく、大型ふるい法の結果を得るために伝統的に使用されている 2 つの証明方法のいずれかに関係しているかどうかです。

集合S がp を法として不均等分布である場合(たとえば、合同クラスA _pから除外されているため)、集合S  mod  pの特性関数f _pのフーリエ係数は平均して大きくなります。これらの係数は、集合Sの特性関数fのフーリエ変換の値に持ち上げることができます(つまり、 ${\displaystyle {\widehat {f_{p}}}(a)}$${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)}$${\displaystyle {\ワイドハット {f}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a)}$）。

導関数を限定すると、 a / pの形式の有理数に近いすべてのxに対して、平均して が大きくなければならないことがわかります。ここで大きいとは、「比較的大きな定数倍 | S |」を意味します。 ${\displaystyle {\widehat {f}}(x)}$

${\displaystyle |f|_{2}={\sqrt {|S|}},}$

プランシュレル恒等式と矛盾が生じる

${\displaystyle |{\widehat {f}}|_{2}=|f|_{2}}$

ただし、| S | が小さい場合は除きます。(実際には、境界を最適化するために、最近ではプランシュレル恒等式を、上記のような境界導関数ではなく等式に変更する人がいます。)

関数解析から次の基本事実に注目すれば、強い大ふるい結果を簡単に証明できる。線形演算子のノルム（すなわち、

${\displaystyle \sup _{v}|Av|_{W}/|v|_{V},\,}$

ここで、Aは線型空間Vから線型空間Wへの作用素である)は、その随伴関数のノルムに等しい。すなわち、

${\displaystyle \sup _{w}|A^{*}w|_{V}^{*}/|w|_{W}^{*}}$。

この原理自体は、数学文献の一部では「大きなふるい」という名前で呼ばれるようになりました。

大型のふるいを、セルバーグのスタイルの大ふるいから派生させることも可能です (セルバーグ著作集、第 2 巻、ふるいに関する講義を参照)。

• ボンビエリ・ヴィノグラドフの定理
• 大きいふるい

• 「大きなふるい」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Cojocaru, Alina Carmen ; Murty , M. Ram .ふるい法とその応用の紹介。ロンドン数学協会学生テキスト。第 66 巻。ケンブリッジ大学出版局。pp. 135–155。ISBN 0-521-61275-6.ZBL1121.11063  。​
• ダベンポート、ハロルド(2000)。乗法数論。Graduate Texts in Mathematics 。第 74 巻。ヒュー・L・モンゴメリーによる改訂版および序文 (第 3 版)。Springer - Verlag。ISBN 0-387-95097-4.ZBL1002.11001  。​
• ジョン・フリードランダー;イワニエツ、ヘンリク(2010)。クリブロオペラ。 AMS コロキウム出版物。ISBN 978-0-8218-4970-5.ZBL1226.11099  。​
• フーリー、クリストファー（1976年）。ふるい法の数論への応用。ケンブリッジ大学出版局。pp.17-20。ISBN 0-521-20915-3。
• コワルスキー、エマニュエル (2008)。『大型ふるいとその応用』。ケンブリッジ数学論文集。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-88851-6。
• テネンバウム、ジェラルド (1995)。解析的および確率的数論入門。ケンブリッジ高等数学研究。第46巻。ケンブリッジ大学出版局。62～73ページ。ISBN 0-521-41261-7。