ファンデルコルプット法

数学において、ファンデルコルプット法は指数和の推定値を生成します。この方法では、ファンデルコルプット過程 AとBという 2 つの過程を適用し、和をより推定しやすい単純な和に関連付けます。

このプロセスは、次の形式の指数和に適用される。

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}e(f(n))\ }$

ここでfは十分に滑らかな関数であり、e ( x )はexp(2πix )を表す。

プロセスAを適用するには、 f ( x + h )−f ( x )の最初の差f _h ( x )を書きます。

H ≤ b − aが存在し、

${\displaystyle \sum _{h=1}^{H}\left\vert {\sum _{n=a}^{bh}e(f_{h}(n))}\right\vert \leq ba\ .}$

それから

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {ba}{\sqrt {H}}}\ .}$

プロセスBは、 fを含む和を、fの導関数で定義された関数gを含む和に変換する。f 'がf '( a ) = α、f '( b ) = βで単調増加すると仮定する。すると、f 'は[α,β]上で逆関数uで可逆である。さらに、 f''≥λ >0と 仮定する。

${\displaystyle g(y)=f(u(y))-yu(y)\ .}$

我々は持っています

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\max _{\alpha \leq \gamma \leq \beta }\left\vert {\sum _{\nu =\alpha }^{\gamma }e(g(\nu ))}\right\vert \ .}$

gを含む合計にプロセス B を再度適用すると、f を含む合計に戻り、それ以上の情報は得られません。

指数対法は、特定の滑らかさの特性を持つ関数の推定値クラスを与える。パラメータN、R、T、s 、δを固定する。区間[ N、2N ]で定義され、R回連続微分可能で、次を満たす 関数fを考える。

${\displaystyle \left\vert {f^{(r+1)}(x)-(-1)^{r}s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-sr}}\right\vert \leq \delta s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-sr}\ }$

0 ≤ r < Rに対して[ a , b ] 上で一様。

0 ≤ k ≤ 1/2 ≤ l ≤ 1である実数ペア（k、l）が指数ペアであるとは、各σ > 0に対して、 k、l、σ に依存してδとRが存在し、

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll \left({\frac {T}{N^{\sigma }}}\right)^{k}N^{l}\ }$

fにおいて一様。

プロセス A により、( k , l ) が指数ペアであれば も指数ペアであることがわかります。プロセス B により、 も指数ペアであることがわかります。 ${\displaystyle \left({{\frac {k}{2k+2}},{\frac {k+l+1}{2k+2}}}\right)}$${\displaystyle \left({l-1/2,k+1/2}\right)}$

自明な境界は、(0,1) が指数ペアであることを示します。

指数ペアの集合は凸です。

( k , l )が指数対である場合、臨界線上のリーマンゼータ関数は次式を満たすこと が知られている。

${\displaystyle \zeta (1/2+it)\ll t^{\theta }\log t}$

どこ。 ${\displaystyle \theta =(k+l-1/2)/2}$

指数ペア予想は、すべての ε > 0 に対して、ペア (ε,1/2+ε) は指数ペアであると述べています。この予想は、リンデレフの仮説を意味します。

• イヴィッチ、アレクサンダル (1985)。リーマンゼータ関数。リーマンゼータ関数の理論とその応用。ニューヨークなど: John Wiley & Sons。ISBN 0-471-80634-X.ZBL0556.10026  。​
• Montgomery, Hugh L. (1994)。解析的数論と調和解析のインターフェイスに関する 10 回の講義。数学地域会議シリーズ。第 84 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0737-4.ZBL0814.11001  。​
• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 (2006)。整数論ハンドブック I。ドルドレヒト: Springer-Verlag。ISBN 1-4020-4215-9.ZBL1151.11300  。​