列挙幾何学

数学において、数え上げ幾何学は、主に交差理論を用いて幾何学的な問題に対する解の数を数えることを扱う代数幾何学の一分野です。

アポロニウスの問題は、数え上げ幾何学の最も初期の例の 1 つです。この問題は、3 つの与えられた円、点、または直線に接する円の数と作図を求めています。一般に、3 つの与えられた円の問題には 2 ³とみなせる 8 つの解があり、それぞれの接線条件は円の空間に二次条件を課します。ただし、与えられた円の特別な配置では、解の数は 0 (解なし) から 6 までの任意の整数になることもあります。アポロニウスの問題に 7 つの解がある配置は存在しません。

初歩的なものから高度なものまで、さまざまなツールが含まれます。

• 次元カウント
• ベズーの定理
• シューベルト計算、およびより一般的にはコホモロジーの特性類
• 交差の数え上げとコホモロジーの関係はポアンカレ双対性である。
• 曲線、地図、その他の幾何学的オブジェクトのモジュライ空間の研究。量子コホモロジー理論を介することもある。量子コホモロジー、グロモフ・ウィッテン不変量、ミラー対称性の研究は、クレメンス予想に大きな進歩をもたらした。

数え上げ幾何学は交差理論と非常に密接に結びついています。^[1]

数え上げ幾何学は、19世紀末にヘルマン・シューベルトの手によって目覚ましい発展を遂げた。^[2]彼はシューベルト計算のためにそれを導入したが、シューベルト計算はより広い分野で基本的な幾何学的および位相的価値を持つことが証明されている。数え上げ幾何学の特定の必要性は、1960年代と1970年代にさらなる注意が払われるまで対処されなかった（例えばスティーブン・クライマンが指摘したように）。交差数は厳密に定義されていたが（アンドレ・ヴェイユによって1942-46年の基礎プログラムの一部として、^[3]その後も再び）、これによって数え上げ問題の適切な領域が網羅されたわけではなかった。

次元カウントとベズーの定理を単純に適用すると、次の例に示すように、誤った結果が生じます。これらの問題に対応するために、代数幾何学者は曖昧な「ファッジ係数」を導入しましたが、これは数十年後にようやく厳密に正当化されました。

例として、射影平面にある 5 本の与えられた直線に接する円錐曲線を数えてみましょう。^[4]円錐曲線は、6 つの係数を同次座標として次元 5 の射影空間を構成し、5 つの点が一般に線形位置にある場合、与えられた点を通過すると線形条件が課されるため、円錐曲線 が決定されます。同様に、与えられた直線Lへの接線(接線は重複度 2 の交差) は 1 つの二次条件であるため、P ⁵内の二次曲線が決定されます。ただし、このようなすべての二次曲線からなる線形因子システムには、基本軌跡がないわけではありません。実際、このような各二次曲線には、円錐曲線をパラメータ化する ヴェロネーゼ面が含まれます。

（aX + bY + cZ）² = 0

これを「二重線」と呼びます。これは、射影平面上の線が交差するため、二重線は平面上のすべての線と交差し、二重線は 2 倍になっているため重複度が 2 となり、したがって、その線に接する非退化円錐と同じ交差条件 (重複度 2 の交差) を満たすためです。

一般的なベズーの定理によれば、5 次元空間の 5 つの一般的な二次曲線は 32 = 2 ⁵点で交差します。しかし、ここで関連する二次曲線は一般的な位置にはありません。正しい答え (幾何学の観点から)、つまり 1 を残すには、32 から 31 を減算してヴェロネーゼに帰属させる必要があります。交差点を「退化した」ケースに帰属させるこのプロセスは、「ファッジ係数」の典型的な幾何学的導入です。

ヒルベルトの第 15 の問題は、これらの介入の明らかに恣意的な性質を克服することであり、この側面はシューベルト計算自体の基本的な問題を超えています。

1984 年にH. クレメンスは五次三次多様体上の有理曲線の数を数えることを研究し、次のような予想に達しました。 ${\displaystyle X\subset P^{4}}$

を一般の五次三次多様体、つまり正の整数とすると、上の次数を持つ有理曲線は有限個しか存在しません。${\displaystyle X\subset P^{4}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$

この推測は今回の件で解決されましたが、さらに高いレベルの解明がまだ待たれています。 ${\displaystyle d\leq 9}$${\displaystyle d}$

1991年に、弦理論の観点からのの五次三次多様体上のミラー対称性に関する論文^[5]では、すべての に対して上の次数dの有理曲線の数が与えられています。これ以前は、代数幾何学者は に対してのみこれらの数を計算できました。 ${\displaystyle P^{4}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle d\leq 5}$

代数幾何学における列挙の歴史的に重要な例には以下のものがあります。

• 2 空間内で4本の一般直線と交わる直線の数
• 8 3つの一般的な円に接する円の数（アポロニウスの問題）。
• 27 滑らかな立方体表面上の直線の数( SalmonとCayley )
• 2875 一般的な五次三次多様体の直線の数
• 3264 一般的な位置にある5 平面円錐曲線に接する円錐曲線の数(シャレス)
• 609250 一般的な五次三次多様体上の円錐曲線の数
• 4407296 8 つの一般的な二次曲面に接する円錐曲線の数 Fulton (1984, p. 193)
• 666841088 3次元空間の一般位置にある9つの二次曲面に接する二次曲面の数 (Schubert 1879, p.106) (Fulton 1984, p. 193)
• 5819539783680 3次元空間の一般位置にある12個の二次曲面に接するねじれた三次曲線の数 (Schubert 1879, p.184) (S. Kleiman, SA Strømme & S. Xambó 1987)

• Kleiman, S.; Strømme, SA; Xambó, S. (1987)、「ツイスト立方体のシューベルト数 5819539783680 の検証のスケッチ」、空間曲線 (Rocca di Papa、1985)、数学の講義ノート、第 1266 巻、ベルリン: Springer、pp. 156–180、doi :10.1007/BFb0078183、ISBN 978-3-540-18020-3、MR  0908713
• Schubert, Hermann (1979) [1879]、Kleiman、Steven L. (編)、Kalkül der abzählenden Geometrie、1879 年のオリジナルの再版 (ドイツ語)、ベルリン-ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-09233-1、MR  0555576

• Bashelor, Andrew; Ksir, Amy; Traves, Will (2008). 「円錐曲線の列挙的代数幾何学」. Amer. Math. Monthly . 115 (8): 701–7. doi :10.1080/00029890.2008.11920584. JSTOR  27642583.