カテゴリ代数

数学の一分野である圏論において、圏代数は結合代数であり、任意の局所有限圏と単位元を持つ可換環に対して定義されます。圏代数は群代数と接続代数の概念を一般化し、同様に圏は群と半順序集合の概念を一般化します。

与えられたカテゴリが有限である場合（有限個のオブジェクトと射を持つ場合）、カテゴリ代数の次の 2 つの定義は一致します。

群 Gと可換環 Rが与えられれば、群代数として知られるRG を構築できます。これは、乗法を備えたR加群です。群は、すべての射が同型である単一のオブジェクトを持つカテゴリと同じであり(群の要素はカテゴリの射に対応します)、次の構築により、群代数の定義が群から任意のカテゴリに一般化されます。

C をカテゴリ、R を単位元を持つ可換環とします。 RC (または R [ C ]) を、 C の射の集合を基底とする自由 R 加群として定義します。言い換えると、 RCは形式の線形結合(有限和)で構成されます。ここで、f _iはCの射、a _iは環Rの要素です。 カテゴリの合成演算を使用して、 RC上の乗算演算を次のように定義します。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} C}$${\displaystyle \sum a_{i}f_{i}}$

${\displaystyle \sum a_{i}f_{i}\sum b_{j}g_{j}=\sum a_{i}b_{j}f_{i}g_{j}}$

ここで、それらの合成は定義されていません。これはRC上の二項演算を定義し、さらにRC を環R上の結合代数にします。この代数はCのカテゴリ代数と呼ばれます。 ${\displaystyle f_{i}g_{j}=0}$

別の観点から見ると、自由モジュールRCの元は、有限サポートされているCからRへの射からの関数として考えることもできます。この場合、乗算は畳み込みによって記述されます。 ( Cの射上の関数として考えた場合) の場合、それらの積は次のように定義されます。 ${\displaystyle a,b\in RC}$

${\displaystyle (a*b)(h):=\sum _{fg=h}a(f)b(g).}$

後者の和は有限です。関数は有限サポートされているため、 です。 ${\displaystyle a*b\in RC}$

接続代数に使用される定義では、カテゴリCが局所有限 (下記参照) であり、上記の定義と双対であり、異なるオブジェクトを定義すると仮定しています。これは、カテゴリとして局所有限であるグループは有限であるため、グループには役に立たない仮定です。

局所有限カテゴリとは、すべての射が 2 つの非恒等射の合成として有限の方法でのみ記述できるカテゴリです (「有限のHom 集合を持つ」という意味と混同しないでください)。カテゴリ代数 (この意味で) は上記のように定義されますが、すべての係数が 0 以外になることができます。

形式的な合計に関しては、要素はすべて形式的な合計である

${\displaystyle \sum _{f_{i}\in \operatorname {Hom} C}a_{i}f_{i},}$

には制限はありません(すべてゼロ以外の値にすることができます)。 ${\displaystyle a_{i}}$

関数の観点から見ると、要素はCからRへの射からの任意の関数であり、乗算は畳み込みとして定義されます。局所有限性仮定のため、畳み込みの合計は常に有限です。

カテゴリー代数（定義の群代数の意味で）のモジュール双対は、CからRへのすべての写像の空間であり、F ( C ) と表記され、自然な余代数構造を持ちます。したがって、局所有限カテゴリーの場合、カテゴリー代数（群代数の意味で）の双対はカテゴリー代数（接続代数の意味で）であり、代数構造と余代数構造の両方を持ちます。

• C が群（単一のオブジェクトを持つ群として考えられます）である場合、 RC は群代数です。
• C がモノイド（単一のオブジェクトを持つカテゴリとして考えられます）である場合、 RC はモノイドリングです。
• C が半順序集合である場合、（適切な定義を使用して）RC は接続代数です。
• 半順序では上三角行列または下三角行列を接続代数としてのみ見ることができますが、カテゴリ代数の概念にはRの行列の環も含まれます。実際、 C がn点上の前順序であり、すべての点が他のすべての点と関係がある場合(完全グラフ)、RCは行列環です。${\displaystyle R^{n\times n}}$
• C が離散カテゴリである場合、RC は点ごとの加算と乗算を含む関数の環、またはC上でインデックス付けされたRのコピーの直積と見なすことができます。無限Cの場合、「グループ代数スタイル」と「インシデンス代数スタイル」を区別する必要があります。前者では、形式的な線形結合で有限個の項のみを許容するため、RC はRのコピーの直和になります。${\displaystyle C\rightarrow R}$
• 矢筒Qのパス代数は、Q 上の自由カテゴリのカテゴリ代数です。

• http://www.math.umn.edu/~webb/Publications/CategoryAlgebras.pdf 標準テキスト。