強化されたカテゴリ

数学の一分野である圏論において、拡張圏は、ホム集合を一般モノイド圏の対象に置き換えることによって圏の概念を一般化する。これは、多くの実用的応用においてホム集合が、例えば射のベクトル空間や射の位相空間など、尊重されるべき追加の構造を持つことが多いという観察に基づいている。拡張圏では、すべての対象ペアに関連付けられた射の集合 (ホム集合) が、固定されたモノイド圏の「ホム対象」の対象に置き換えられる。通常のカテゴリにおける射の（結合的）合成をエミュレートするためには、ホムカテゴリはホムオブジェクトを結合的な方法で合成する手段を持たなければならない。つまり、少なくともモノイドカテゴリの構造を与えるオブジェクトに対する二項演算が存在する必要があるが、状況によっては演算が可換で、右随伴（つまり、カテゴリをそれぞれ対称モノイドまたは対称閉モノイドにする）も必要になる可能性がある。 ^[^要出典^]

強化された圏論は、同じ枠組みの中に、次のようなさまざまな構造を包含している。

ホム集合が集合であることを超えた追加の構造を持つ通常のカテゴリ。つまり、合成によって尊重される必要がある射に対する操作または射の特性がある（たとえば、2カテゴリでの射間の2セルの存在とその水平合成、またはアーベルカテゴリでの射に対する加算操作）
カテゴリのような実体であり、それ自体は個々の射の概念を持たないが、そのホムオブジェクトは同様の合成側面を持つ（例えば、合成規則が推移性を保証する前順序、またはホムオブジェクトが数値距離であり、合成規則が三角不等式を提供するローヴェアの距離空間）。

ホムオブジェクトカテゴリが通常の直積を持つ集合のカテゴリである場合、強化カテゴリ、強化関数などの定義は通常のカテゴリ理論の元の定義に還元されます。

モノイド圏Mからのホムオブジェクトを持つ拡張圏は、M 上の拡張圏、またはM 内の拡張圏、あるいは単にM 圏と呼ばれる。モノイド圏を指すのにマクレーンが文字 V を好んだため、拡張圏は一般にV 圏と呼ばれることもある。

意味

$(M, \otimes, I, α, λ, ρ)を$ モノイドカテゴリとする。すると、拡張カテゴリ C (あるいは、モノイドカテゴリの選択が明示的である必要がある状況では、M上で拡張されたカテゴリ、またはM -カテゴリ) は、

Cのオブジェクトのクラスob ( C ) 、
C内のオブジェクトa、bのペアごとにMのオブジェクト $C (a 、 b)を定義し、$ C内の矢印をM内の矢印として定義するために使用します。 $f:a\rightarrow b$ $f:I\rightarrow C(a,b)$
Mの矢印 $id a : I \to C (a, a)$ はCのすべてのオブジェクトaの同一性を表し、
M内の矢印 $° abc : C (b, c) \otimes C (a, b) \to C (a, c)$ は、C内のオブジェクトa、b、cの各トリプルの合成を示し、 C内のとの合成を、以下で説明する 3 つの可換図とともにとして定義するために使用されます。 $f:a\rightarrow b$ $g:b\rightarrow c$ $g\circ _{\textbf {C}}f={^{\circ }}_{abc}(g\otimes f)$

最初の図は合成の結合性を表しています。

つまり、結合性要件はモノイドカテゴリMの結合子によって引き継がれることになります。

Mが集合のカテゴリであり、 $(\otimes, I 、 α 、 λ 、 ρ)が$ 直積、終端一点集合、およびそれらが誘導する標準同型によって与えられるモノイド構造 $(\times、 {•}、 ...)である場合、各$ $C$ $($ $a$ $、$ $b$ $)は、その要素が$ Cの「個別射」と考えられる集合であり、ここで関数である ° は、連続する射がどのように合成されるかを定義します。この場合、最初の図の $C$ $($ $a$ $、$ $d$ $)$ に至る各パスは、 3 つの連続する個別射 $a$ $\to$ $b$ $\to$ $c$ $\to$ $d$ 、つまり $C$ $($ $a$ $、$ $b$ $)$ 、 $C$ $($ $b$ $、$ $c$ $)$ 、および $C$ $($ $c$ $、$ $d$ $)$ からの要素を合成する 2つの方法のいずれかに対応します。したがって、図の可換性とは、通常のカテゴリに要求されるように、両方の合成順序で同じ結果が得られるという単なるステートメントにすぎません。

ここで新しいのは、上記が、強化カテゴリC内の個々の射を明示的に参照することなく結合性の要件を表現していることです。繰り返しますが、これらの図はモノイドカテゴリM内の射に対するものであり、C内の射に対するものではありません。そのため、ホムオブジェクト $C (a 、 b)$ が抽象的であり、C自体が個々の射の概念を持つ必要さえない一般的なケースでは、合成の結合性の概念が意味を持ちます。

通常のカテゴリは必ず恒等射を持つという概念は、左ユニタと右ユニタの観点から恒等性を表現する2番目と3番目の図に置き換えられます。

そして

M が直積を持つ集合のカテゴリである場合に戻ると、射 $id a : I \to C (a, a)$ は 1 点集合Iからの関数となり、任意のオブジェクトaに対して各集合 $C (a, a)$ の特定の要素を識別する必要があります。これは、「 Cにおけるaの恒等射」と考えることができます。後者の 2 つの図の可換性は、これらの区別された個々の「 Cにおける恒等射」を含む合成 (関数 ° によって定義される) が、通常のカテゴリの恒等規則とまったく同じように動作するというステートメントです。

ここで言及されている「アイデンティティ」にはいくつかの異なる概念があることに注意してください。

Mのモノイド単位元オブジェクト I $は、$ モノイド理論的な意味でのみ ⊗ の単位元であり、その場合でも標準同型 $($ $λ$ $、$ $ρ$ $)$ までしか単位元ではない。
M が（少なくとも）通常のカテゴリであることにより、その各オブジェクトに対して持つ恒等射1 $C (a, b) : C (a, b) \to C (a, b) 。$
C内の各オブジェクトaに対する強化されたカテゴリ同一性 $id a : I \to C (a, a)は、これもまた$ Mの射であり、 C が独自の個別の射を持つと見なされる場合でも、必ずしも特定の射を識別するわけではありません。

強化されたカテゴリの例

通常カテゴリは、上で述べたように、モノイド演算として直積を持つ集合のカテゴリである ( Set , ×, {•})上で強化されたカテゴリです。
2-カテゴリは、小さなカテゴリのカテゴリCat上で強化されたカテゴリであり、モノイド構造は直積によって与えられます。この場合、射a → b間の 2-セルとそれらを関連付ける垂直合成規則は、通常のカテゴリC ( a , b ) の射とその合成規則に対応します。
局所的に小さなカテゴリは、モノイド演算として直積を持つ小さな集合のカテゴリである ( SmSet , ×)上で強化されたカテゴリです。(局所的に小さなカテゴリとは、そのホムオブジェクトが小さな集合であるカテゴリです。)
同様に、局所有限カテゴリは、モノイド演算として直積を持つ有限集合のカテゴリである ( FinSet , ×) 上で強化されたカテゴリです。
C が閉じたモノイドカテゴリである場合、 C はそれ自体で豊富化されます。
順序付き集合は、あるモノイド圏2に富んだ圏であり、 2 つのオブジェクトとそれらの間の単一の非同一性矢印で構成され、FALSE → TRUE、モノイド演算として連言、モノイド単位元としてTRUEと書くことができます。ホムオブジェクト2 ( a、 b ) は、与えられたオブジェクトのペア ( a、 b )上の特定の二項関係を単純に否定または肯定します。より馴染みのある表記法にするために、この関係を $a \leq b$ と書くことができます。 2に富んだ圏に必要な合成と単位元の存在は、それぞれ次の公理に直ちに変換されます。

b ≤ cかつa ≤ b ⇒ a ≤ c (推移性)

TRUE ⇒ a ≤ a (反射性)

これらは、 ≤ が前順序であることの公理に他なりません。また、2のすべての図は可換であるため、これが2上で強化されたカテゴリの強化されたカテゴリ公理の唯一の内容です。

ウィリアム・ローヴェアの一般化された距離空間は擬似準距離空間としても知られ、非負の拡張実数 $R +\infty$ 上に拡がったカテゴリであり、後者は通常の順序の逆（すなわち、 r ≥ sの場合にのみr → s の射が存在する）によって通常のカテゴリ構造が与えられ、加法（+）とゼロ（0）によってモノイド構造が与えられる。ホムオブジェクト $R$ $+\infty$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ は本質的に距離 d( a , b ) であり、合成と恒等性の存在は次のように翻訳される。

d( b , c ) + d( a , b ) ≥ d( a , c ) （三角不等式）

0 ≥ d( a , a )である。

零射を持つカテゴリは、モノイド演算としてスマッシュ積を持つ尖端集合のカテゴリである ( Set* ,∧)上で強化されたカテゴリです。ホムオブジェクトの特殊点 Hom( A , B ) は、 AからBへの零射に対応します。
可換環上の加群のカテゴリAbとカテゴリR-Mod、および与えられた体上のベクトル空間のカテゴリVectは、それら自身に豊富化され、射は代数構造を「点ごとに」継承します。より一般的には、前加法カテゴリは、テンソル積をモノイド演算として ( Ab , ⊗) に豊富化されたカテゴリです(アーベル群をZ加群として考えます)。

モノイド関数との関係

モノイド圏Mからモノイド圏Nへのモノイド関手が存在する場合、 M上で強化された任意の圏はN上で強化された圏として再解釈できます。すべてのモノイド圏Mには、集合の圏へのモノイド関手M ( I , –) があるため、強化された任意の圏には基礎となる通常の圏があります。多くの例 (上記のような例) では、この関手は忠実であるため、 M上で強化された圏は、特定の追加の構造またはプロパティを持つ通常の圏として記述できます。

強化された関数

強化された関数は、関数の概念を強化されたカテゴリに適切に一般化したものです。強化された関数は、強化された構造を尊重する強化されたカテゴリ間のマップです。

CとD がM -カテゴリ（つまり、モノイドカテゴリM上で強化されたカテゴリ）である場合、 M -強化された関手T : C → Dは、 Cの各オブジェクトにDのオブジェクトを割り当て、 C内のオブジェクトaとbの各ペアに対して、CとDのホムオブジェクト（ M 内のオブジェクト）間の M T ab : C ( a , b ) → D ( T ( a ), T ( b ))の射を提供し_、関手の公理の強化バージョン、つまり同一性と合成の保存を満たします。

hom オブジェクトは、エンリッチドカテゴリ内の集合である必要がないため、特定の射について話すことはできません。恒等射や、2 つの射の特定の合成という概念はもはや存在しません。代わりに、単位から hom オブジェクトへの射は恒等射を選択するものと考えるべきであり、モノイド積からの射は合成と考えるべきです。通常の関数公理は、これらの射を含む対応する可換図に置き換えられます。

詳細には、図

通勤は、次の式に相当します

T_{aa}\circ \operatorname {id} _{a}=\operatorname {id} _{T(a)},

ここで、I はMの単位対象である。これは、通常の関数に対する規則F (id _a ) = id _{F ( a )}に類似している。さらに、図

可換であり、これは通常の関数に対する規則F ( fg )= F ( f ) F ( g ) に類似している。

参照

参考文献

ケリー、GM (2005) [1982]。強化カテゴリー理論の基本概念。カテゴリーの理論と応用の第10巻の再版。
Mac Lane, Saunders (1998 年 9 月)。Categories for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。Springer。ISBN 0-387-98403-8。
Lawvere, FW (2002) [1973]. 距離空間、一般化論理、および閉じたカテゴリ。カテゴリの理論と応用の第1巻の再版。
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