バウアー・ファイクの定理

数学において、バウアー・ファイクの定理は、複素数値の対角化可能な行列の固有値の摂動論における標準的な結果です。本質的には、摂動を受けた行列の固有値が、正確な行列の適切に選択された固有値からどれだけ逸脱するかについての絶対的な上限を述べています。非公式に言えば、それは、固有値の感度が固有ベクトルの行列の条件数によって推定されるということを述べています。

この定理は1960年にフリードリヒ・L・バウアーとCT・ファイクによって証明されました。

以下では、次のことを前提とします。

• A ∈ C ^{n、n は}対角化可能な行列である。
• V ∈ C ^{n、n は}A = V Λ V ⁻¹となる非特異固有ベクトル行列であり、ここでΛは対角行列です。 
• X ∈ C ^n、nが可逆である場合、pノルムにおけるその条件数はκ _p ( X )で表され、次のように定義されます。

${\displaystyle \kappa _{p}(X)=\|X\|_{p}\left\|X^{-1}\right\|_{p}.}$

バウアー・ファイクの定理。μをA + δAの固有値とします。すると、次を満たす λ ∈ Λ ( A )が存在します。

${\displaystyle |\lambda -\mu |\leq \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}}$

証明。μ ∉ Λ ( A )と仮定するか、そうでなければλ = μとすると、 κ _p ( V ) ≥ 1なので結果は自明である。μ はA + δAの固有値なので、det( A + δA − μI ) = 0となり、したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\det(A+\delta A-\mu I)\\&=\det(V^{-1})\det(A+\delta A-\mu I)\ det(V)\\&=\det \left(V^{-1}(A+\delta A-\mu I)V\right)\\&=\det \left(V^{-1}AV+V^{-1}\delta AV-V^{-1}\mu IV\right)\\&=\det \left(\Lambda +V^{-1 }\delta AV-\mu I\right)\\&=\det(\Lambda -\mu I)\det \left((\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\デルタAV+I\right)\\\end{整列}}}$

しかし、我々の仮定、μ ∉ Λ ( A )は、 det(Λ − μI ) ≠ 0を意味するので、次のように書くことができます。

${\displaystyle \det \left((\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV+I\right)=0.}$

これは、−1が

${\displaystyle (\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV.}$

すべてのpノルムは一貫した行列ノルムであるため、| λ | ≤ || A || _pが成り立ちます。ここでλ はAの固有値です。この例では次のようになります。

${\displaystyle 1=|-1|\leq \left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV\right\|_{p}\leq \left\ |(\Lambda -\mu I)^{-1}\right\|_{p}\left\|V^{-1}\right\|_{p}\|V\|_{p}\ |\デルタA\|_{p}=\left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}\right\|_{p}\ \kappa _{p}(V)\|\delta A\| _{p}}$

しかし、(Λ − μI ) ^{−1 は}対角行列であり、その pノルムは簡単に計算できます。

${\displaystyle \left\|\left(\Lambda -\mu I\right)^{-1}\right\|_{p}\ =\max _{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}\neq 0}{\frac {\left\left\left(\Lambda -\mu I\right)^{-1}{\boldsymbol {x}}\right\|_{p}}{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}}}=\max _{\lambda \in \Lambda (A)}{\frac {1}{|\lambda -\mu |}}\ ={\frac {1}{\min _{\lambda \in \Lambda (A)}|\lambda -\mu |}}}$

由来:

${\displaystyle \min _{\lambda \in \Lambda (A)}|\lambda -\mu |\leq \ \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}.}$

この定理は、数値計算法にもっと適したものに書き換えることもできます。実際、実際の固有システムの問題を扱う場合、正確な行列A は分かっていても、近似的な固有値と固有ベクトルの組( λ ^a , v ^a  )しか分かっていないことが多く、誤差を制限する必要があります。次のバージョンが役に立ちます。

バウアー・ファイクの定理（別の定式化）。( λ ^a , v ^a  )を近似的な固有値-固有ベクトルの組とし、r = A v ^a − λ ^a v ^aとします。すると、次のλ ∈ Λ ( A )が存在します。

${\displaystyle \left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq \kappa _{p}(V){\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}}}}$

証明。λ ^a ∉ Λ ( A )と仮定するか、そうでなければλ = λ ^aとすると、 κ _p ( V ) ≥ 1なので結果は自明です。したがって、( A − λ ^a I ) ⁻¹が存在するので、次のように書くことができます。

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{a}=\left(A-\lambda ^{a}I\right)^{-1}{\boldsymbol {r}}=V\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}V^{-1}{\boldsymbol {r}}}$

Aは対角化可能なので、両辺の pノルムを取ると次の式が得られます。

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}=\left\|V\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}V^{-1}{\boldsymbol {r}}\right\|_{p}\leq \|V\|_{p}\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}\left\|V^{-1}\right\|_{p}\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}=\kappa _{p}(V)\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}.}$

しかし

${\displaystyle \left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}}$

は対角行列であり、そのpノルムは簡単に計算できます。

${\displaystyle \left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}=\max _{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}\neq 0}{\frac {\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}{\boldsymbol {x}}\right\|_{p}}{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}}}=\max _{\lambda \in \sigma (A)}{\frac {1}{\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|}}={\frac {1}{\min _{\lambda \in \sigma (A)}\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|}}}$

由来:

${\displaystyle \min _{\lambda \in \lambda (A)}\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq \kappa _{p}(V){\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}}}.}$

バウアー・ファイクの定理の両方の定式化は絶対的な境界をもたらします。次の系は相対的な境界が必要なときに役立ちます。

系。Aが可逆であり、μ がA + δAの固有値であると仮定します。すると、次のλ ∈ Λ ( A )が存在します。

${\displaystyle {\frac {|\lambda -\mu |}{|\lambda |}}\leq \kappa _{p}(V)\left\|A^{-1}\delta A\right\|_{p}}$

注意。 || A ⁻¹ δA || は、 ⁠と同様に、正式にはAの相対的な変化 として見ることができます。| λ − μ |/| λ |⁠ はλの相対的な変化です。

証明。μはA + δAの固有値であり、det( A )≠0なので、左から−A ⁻¹を掛けると次のようになります。

${\displaystyle -A^{-1}(A+\delta A){\boldsymbol {v}}=-\mu A^{-1}{\boldsymbol {v}}.}$

次のように設定した場合:

${\displaystyle A^{a}=\mu A^{-1},\qquad (\delta A)^{a}=-A^{-1}\delta A}$

すると次のようになります:

${\displaystyle \left(A^{a}+(\delta A)^{a}-I\right){\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}}$

これは、 1 がA a ⁺ ( δA ) ^aの固有値であり、v が固有ベクトルであることを意味します。A a の固有値は^⁠μ/λ_私⁠ですが、固有ベクトル行列はAと同じです。バウアー・ファイクの定理を固有値1のA ^a + ( δA ) ^aに適用すると、次のようになります。

${\displaystyle \min _{\lambda \in \Lambda (A)}\left|{\frac {\mu }{\lambda }}-1\right|=\min _{\lambda \in \Lambda (A)}{\frac {|\lambda -\mu |}{|\lambda |}}\leq \kappa _{p}(V)\left\|A^{-1}\delta A\right\|_{p}}$

Aが正規行列の場合、V はユニタリ行列なので、次のようになります。

${\displaystyle \|V\|_{2}=\left\|V^{-1}\right\|_{2}=1,}$

κ ₂ ( V ) = 1となる。バウアー・ファイクの定理は次のようになる。

${\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda (A):\quad |\lambda -\mu |\leq \|\delta A\|_{2}}$

あるいは別の表現では:

${\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda (A):\quad \left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq {\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{2}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{2}}}}$

これは、 Aがエルミート行列の場合でも当然当てはまります。ただし、この場合は、より強力な結果が成り立ち、固有値に関するワイルの定理として知られています。エルミートの場合、バウアー・ファイクの定理を、行列をそのスペクトルに写像する写像A ↦ Λ ( A )は、 Cのコンパクト部分集合の集合上のハウスドルフ距離に関して非拡大関数であるという形で言い換えることもできます。

• Bauer, FL; Fike, CT (1960). 「ノルムと排他定理」. Numer. Math . 2 (1): 137–141. doi :10.1007/BF01386217. S2CID  121278235.
• Eisenstat, SC; Ipsen, ICF (1998). 「行列固有値に対する 3 つの絶対摂動境界は相対境界を意味する」. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 20 (1): 149–158. CiteSeerX  10.1.1.45.3999 . doi :10.1137/S0895479897323282.