数学 において、バウアー・ファイクの定理は、 複素数値対角化可能行列の 固有値 の摂動理論 における標準的な結果である。その本質は、摂動された行列の固有値が、適切な方法で選択された元の行列の固有値からどれだけずれるかの絶対的な上限を示すものである。非公式に言えば、固有値の感度は、固有ベクトル行列の条件数によって推定される ということである。
この定理は、 1960年にフリードリヒ・L・バウアー とC・T・ファイクによって証明された。
セットアップ 以下では、以下のことを前提とする。
κ p （ X ） = ‖ X ‖ p ‖ X − 1 ‖ p 。 {\displaystyle \kappa _{p}(X)=\|X\|_{p}\left\|X^{-1}\right\|_{p}.}
バウアー・ファイクの定理。μ を A + δA λ ∈ Λ ( A )| λ − μ | ≤ κ p （ V ） ‖ δ A ‖ p {\displaystyle |\lambda -\mu |\leq \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}} 証明。μ ∉ Λ ( A )とλ = μ κ p ( V ) ≥ 1、 det ( A − μI ) = 0となり 、 したがって
0 = 検出 （ A + δ A − μ 私 ） = 検出 （ V − 1 ） 検出 （ A + δ A − μ 私 ） 検出 （ V ） = 検出 （ V − 1 （ A + δ A − μ 私 ） V ） = 検出 （ V − 1 A V + V − 1 δ A V − V − 1 μ 私 V ） = 検出 （ Λ + V − 1 δ A V − μ 私 ） = 検出 （ Λ − μ 私 ） 検出 （ （ Λ − μ 私 ） − 1 V − 1 δ A V + 私 ） {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\det(A+\delta A-\mu I)\\&=\det(V^{-1})\det(A+\delta A-\mu I)\det(V)\\&=\det \left(V^{-1}(A+\delta A-\mu I)V\right)\\&=\det \left(V^{-1}AV+V^{-1}\delta AV-V^{-1}\mu IV\right)\\&=\det \left(\Lambda +V^{-1}\delta AV-\mu I\right)\\&=\det(\Lambda -\mu I)\det \left((\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV+I\right)\\\end{整列}}} しかし、我々の仮定であるμ ∉ Λ ( A )は、 det(Λ − μI ) ≠ 0 を意味し、したがって次のように書くことができる。
検出 （ （ Λ − μ 私 ） − 1 V − 1 δ A V + 私 ） = 0. {\displaystyle \det \left((\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV+I\right)=0.} これは、−1 が 次の固有値であることを示している。
（ Λ − μ 私 ） − 1 V − 1 δ A V 。 {\displaystyle (\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV.} すべてのp ノルムは一貫性のある行列ノルム であるため、| λ | ≤ || A || p が成り立ちます。ここでλは A の固有値です。この場合、次のようになります。
1 = | − 1 | ≤ ‖ （ Λ − μ 私 ） − 1 V − 1 δ A V ‖ p ≤ ‖ （ Λ − μ 私 ） − 1 ‖ p ‖ V − 1 ‖ p ‖ V ‖ p ‖ δ A ‖ p = ‖ （ Λ − μ 私 ） − 1 ‖ p κ p （ V ） ‖ δ A ‖ p {\displaystyle 1=|-1|\leq \left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV\right\|_{p}\leq \left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}\right\|_{p}\left\|V^{-1}\right\|_{p}\|V\|_{p}\|\delta A\|_{p}=\left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}\right\|_{p}\ \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}} しかし、(Λ − μI ) −1 は対角行列であり、そのpノルムは容易に計算できる。
‖ （ Λ − μ 私 ） − 1 ‖ p = 最大 ‖ x ‖ p ≠ 0 ‖ （ Λ − μ 私 ） − 1 x ‖ p ‖ x ‖ p = 最大 λ ∈ Λ （ A ） 1 | λ − μ | = 1 ミニ λ ∈ Λ （ A ） | λ − μ | {\displaystyle \left\|\left(\Lambda -\mu I\right)^{-1}\right\|_{p}\ =\max _{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}\neq 0}{\frac {\left\|\left(\Lambda -\mu I\right)^{-1}{\boldsymbol {x}}\right\|_{p}}{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}}}=\max _{\lambda \in \Lambda (A)}{\frac {1}{|\lambda -\mu |}}\ ={\frac {1}{\min _{\lambda \in \Lambda (A)}|\lambda -\mu |}}} 由来:
ミニ λ ∈ Λ （ A ） | λ − μ | ≤ κ p （ V ） ‖ δ A ‖ p 。 {\displaystyle \min _{\lambda \in \Lambda (A)}|\lambda -\mu |\leq \ \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}.}
この定理は、数値計算法により適するように再定式化することもできます。実際、実際の固有値システム問題を扱う場合、多くの場合、正確な行列A は得られますが、近似的な固有値と固有ベクトルのペア( λ a 、v a しか分からず、誤差の範囲を定める必要があります。次のバージョンが役立ちます。
バウアー・ファイクの定理（別形式）。 ( λa , va を r A va − λa va 、 λ ∈ Λ ( A )が 次の式 が | λ − λ 1 | ≤ κ p （ V ） ‖ r ‖ p ‖ v 1 ‖ p {\displaystyle \left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq \kappa _{p}(V){\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}}}} 証明。λ a ∉ Λ ( A )とλ = λ a とすると、 κ p ( V ) ≥ 1( A − λ a I ) −1 が存在するので、次のように書ける。
v 1 = （ A − λ 1 私 ） − 1 r = V （ D − λ 1 私 ） − 1 V − 1 r {\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{a}=\left(A-\lambda ^{a}I\right)^{-1}{\boldsymbol {r}}=V\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}V^{-1}{\boldsymbol {r}}} A は対角化可能であるため、両辺のp ノルムを取ると、次の式が得られます。
‖ v 1 ‖ p = ‖ V （ D − λ 1 私 ） − 1 V − 1 r ‖ p ≤ ‖ V ‖ p ‖ （ D − λ 1 私 ） − 1 ‖ p ‖ V − 1 ‖ p ‖ r ‖ p = κ p （ V ） ‖ （ D − λ 1 私 ） − 1 ‖ p ‖ r ‖ p 。 {\displaystyle \left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}=\left\|V\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}V^{-1}{\boldsymbol {r}}\right\|_{p}\leq \|V\|_{p}\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}\left\|V^{-1}\right\|_{p}\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}=\kappa _{p}(V)\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}.} しかし
（ D − λ 1 私 ） − 1 {\displaystyle \left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}} これは対角行列であり、そのp ノルムは容易に計算できる。
‖ （ D − λ 1 私 ） − 1 ‖ p = 最大 ‖ x ‖ p ≠ 0 ‖ （ D − λ 1 私 ） − 1 x ‖ p ‖ x ‖ p = 最大 λ ∈ σ （ A ） 1 | λ − λ 1 | = 1 ミニ λ ∈ σ （ A ） | λ − λ 1 | {\displaystyle \left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}=\max _{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}\neq 0}{\frac {\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}{\boldsymbol {x}}\right\|_{p}}{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}}}=\max _{\lambda \in \sigma (A)}{\frac {1}{\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|}}={\frac {1}{\min _{\lambda \in \sigma (A)}\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|}}} 由来:
ミニ λ ∈ λ （ A ） | λ − λ 1 | ≤ κ p （ V ） ‖ r ‖ p ‖ v 1 ‖ p 。 {\displaystyle \min _{\lambda \in \lambda (A)}\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq \kappa _{p}(V){\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}}}.}
相対的な境界 バウアー・ファイクの定理のどちらの定式化も絶対的な上限を与える。相対的な上限が必要な場合は、次の系が役立つ。
系。A が 可逆行列であり、μが A + δA λ ∈ Λ ( A )| λ − μ | | λ | ≤ κ p （ V ） ‖ A − 1 δ A ‖ p {\displaystyle {\frac {|\lambda -\mu |}{|\lambda |}}\leq \kappa _{p}(V)\left\|A^{-1}\delta A\right\|_{p}} 注。 || A −1 δA || は形式的には A の相対変動 と見なすことができ、ちょうど | λ − μ | / | λ | がλ の相対変動であるのと同様です。
証明。μ は A + δA det( A ) ≠ 0で あるため、左から−A − 1 を掛けると次のようになる。
− A − 1 （ A + δ A ） v = − μ A − 1 v 。 {\displaystyle -A^{-1}(A+\delta A){\boldsymbol {v}}=-\mu A^{-1}{\boldsymbol {v}}.} 設定すると次のようになります。
A 1 = μ A − 1 、 （ δ A ） 1 = − A − 1 δ A {\displaystyle A^{a}=\mu A^{-1},\qquad (\delta A)^{a}=-A^{-1}\delta A} すると次のようになります。
（ A 1 + （ δ A ） 1 − 私 ） v = 0 {\displaystyle \left(A^{a}+(\delta A)^{a}-I\right){\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}} つまり、1 は A a + ( δA ) a v A aの固有値は μ / λ i A と同じ固有ベクトル行列 を持ちます。固有値1を持つ A a + ( δA ) a
ミニ λ ∈ Λ （ A ） | μ λ − 1 | = ミニ λ ∈ Λ （ A ） | λ − μ | | λ | ≤ κ p （ V ） ‖ A − 1 δ A ‖ p {\displaystyle \min _{\lambda \in \Lambda (A)}\left|{\frac {\mu }{\lambda }}-1\right|=\min _{\lambda \in \Lambda (A)}{\frac {|\lambda -\mu |}{|\lambda |}}\leq \kappa _{p}(V)\left\|A^{-1}\delta A\right\|_{p}}
正規行列の場合 Aが 正規行列 であれば、Vは ユニタリ行列 となる。したがって、次のようになる。
‖ V ‖ 2 = ‖ V − 1 ‖ 2 = 1 、 {\displaystyle \|V\|_{2}=\left\|V^{-1}\right\|_{2}=1,} したがって、κ 2 ( V ) = 1 と
∃ λ ∈ Λ （ A ） : | λ − μ | ≤ ‖ δ A ‖ 2 {\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda (A):\quad |\lambda -\mu |\leq \|\delta A\|_{2}} または別の言い方をすれば：
∃ λ ∈ Λ （ A ） : | λ − λ 1 | ≤ ‖ r ‖ 2 ‖ v 1 ‖ 2 {\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda (A):\quad \left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq {\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{2}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{2}}}} これは、 A が エルミート行列 である場合にも明らかに成り立ちます。ただし、この場合、固有値に関するワイルの定理 として知られる、はるかに強力な結果が成り立ちます。エルミートの場合、行列をそのスペクトル に写像する写像A ↦ Λ ( A )は、 C ドルフ距離 に関して非拡大関数 であるという形で、バウアー・ファイクの定理を言い換えることもできます。
参考文献 Bauer, FL; Fike, CT (1960). "ノルムと排除定理". Numer. Math . 2 (1): 137– 141. doi : 10.1007/BF01386217 . S2CID 121278235 . Eisenstat, SC; Ipsen, ICF (1998). "行列固有値に対する3つの絶対摂動境界は相対境界を意味する". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 20 (1): 149– 158. CiteSeerX 10.1.1.45.3999 . doi : 10.1137/S0895479897323282 .
