日食サイクル

日食は一定の時間間隔を隔てて繰り返し発生することがあります。この間隔は日食周期と呼ばれます。^[1] これらの間隔の繰り返しによって区切られた一連の日食は日食シリーズと呼ばれます。

日食は、地球と月が太陽と一直線に並び、太陽が投影した一方の天体の影がもう一方の天体に落ちるときに発生します。そのため、新月では、月が太陽と合になり、地球表面の狭い領域から見ると月が太陽の前を通過し、日食が発生します。満月では、月が太陽と反対になり、月が地球の影を通過することがあり、地球の夜半分から月食が見られます。月の合と衝は、これらの月の位相の重要性から、特別な名前、朔望（ギリシャ語で「接合」）を持っています。

月食は新月や満月のたびに起こるわけではありません。これは、地球の周りを回る月の軌道面が、太陽の周りを回る地球の軌道面（黄道）に対して傾いているからです。そのため、地球から見ると、月が太陽に最も近く見えるとき（新月）や最も遠く見えるとき（満月）に、3 つの天体は通常、正確に同じ線上にありません。

この傾斜角は平均で約 5° 9′ で、太陽の見かけの平均直径 (32′ 2″)、月の真下にある地球の表面から見た月 (31′ 37″)、月の平均距離における地球の影(1° 23′) よりもはるかに大きいです。

そのため、ほとんどの新月では、地球は月の影の北または南を通り過ぎ、ほとんどの満月では、月は地球の影を逃します。また、ほとんどの日食では、月が近地点付近、つまり地球に近く、平均よりも明らかに大きい場合を除き、月の見かけの角直径は太陽の円盤を完全に隠すのに不十分です。いずれにしても、日食を引き起こすには、配置がほぼ完璧でなければなりません。

日食は、月が地球の軌道面上またはその近くにあるとき、つまり黄道緯度が低いときにのみ発生します。これは、月が朔望時に黄道上の2 つの軌道ノードのいずれかの周囲にあるときに発生します。もちろん、日食が発生するには、その時点で太陽もノードの周囲にある必要があります。日食の場合は同じノード、月食の場合は反対のノードです。

太陽が月の軌道の交点に近づく頃に、年に 2 回発生する 1 か月または 2 か月の期間 である日食シーズン中に、最大 3 回の日食が発生する可能性があります。

日食は毎月起こるわけではありません。日食の 1 か月後には太陽、月、地球の相対的な位置が変化するためです。

地球から見ると、月が交点に戻るまでの時間、すなわち竜月は、月が太陽と同じ黄経に戻るまでの時間、すなわち朔月よりも短い。主な理由は、月が地球の周りを一周する間に、地球 (および月) は太陽の周りを約1 ⁄ 13周しているため、月は再び太陽と合または衝になるためにこれを補わなければならない。第二に、月の軌道交点は黄経で西に歳差運動し、約 18.60 年で一周するため、竜月は恒星月よりも短い。全体として、朔月と竜月の周期の差は約2+1 ⁄ 3日です。同様に、地球から見ると、太陽は黄道に沿って移動しながら両方のノードを通過します。太陽がノードに戻る期間は、日食年または竜年と呼ばれ、約 346.6201 日で、ノードの歳差運動のため、 恒星年よりも約1 ⁄ 20年短くなります

ある新月で日食が発生した場合、その新月は必ず交点に近い位置にあるはずなので、次の満月では月は反対側の交点を 1 日以上過ぎており、地球の影を逃すかどうかはわかりません。次の新月では交点よりさらに進んでいるため、地球上のどこかで日食が発生する可能性は低くなります。翌月には、間違いなく何も発生しません。

しかし、約 5 または 6 回の月食の後、新月は反対側のノードに近づきます。その間 (半月食年) に太陽も反対側のノードに移動するため、状況は再び 1 回以上の日食に適したものになります。

日食の周期とは、連続する2つの日食の間隔のことで、1、5、または6朔望月のいずれかになります。^{[2]紀元前2000年から紀元後3000年の間に、}地球は合計11,898回の日食を経験すると計算されています。特定の日食は、およそ18年11日8時間（6,585.32日）の周期で繰り返されますが、同じ地理的地域では発生しません。^[3] 特定の地理的地域では、54年34日周期で特定の日食が発生します。^[2]皆既日食は、平均して18か月ごとに地球上のどこかで発生しますが、まれな現象です。^[4]

2 回の日食がほぼ同一であるためには、地球、月、太陽の幾何学的配置、および月の軌道のいくつかのパラメータが同じである必要があります。日食が繰り返されるには、次のパラメータと基準が繰り返される必要があります。

1. 月は新しい段階にあるに違いない。
2. 月の近地点または遠地点の経度は同じでなければなりません。
3. 昇交点または降交点の経度は同じである必要があります。
4. 地球は太陽からほぼ同じ距離にあり、ほぼ同じ方向に傾いています。

これらの条件は、月の公転周期、朔望月、変角月、竜月という 3 つの周期と、変角年と関係があります。言い換えれば、月が朔望月、竜月、変角周期をほぼ整数回繰り返し、地球・太陽・月の関係がほぼ同一である場合にのみ、特定の日食が繰り返されます。月は地球から同じ交点にあり、同じ距離にあります。これは、サロスと呼ばれる期間の後に発生します。ガンマ(日食中に月が黄道から北または南にどれだけ離れているか) は、どのサロス シリーズでも単調に変化します。地球が遠日点に近いとき (6 月から 7 月) のガンマの変化は、近日点に近いとき (12 月から 1 月) よりも大きくなります。地球が平均距離に近いとき (3 月から 4 月、または 9 月から 10 月)、ガンマの変化は平均的です。

月食が繰り返されるには、月、地球、太陽の幾何学的配置と、月の軌道のいくつかのパラメータが繰り返される必要があります。月食が繰り返されるには、次のパラメータと基準が繰り返される必要があります。

1. 月は満月でなければなりません。
2. 月の近地点または遠地点の経度は同じでなければなりません。
3. 昇交点または降交点の経度は同じである必要があります。
4. 地球は太陽からほぼ同じ距離にあり、ほぼ同じ方向に傾いています。

これらの条件は、月の公転周期、朔望月、変角月、竜月という 3 つの周期に関係しています。言い換えると、月が朔望月、竜月、変角月 (223、242、239) をほぼ整数回繰り返し、地球・太陽・月の関係がその日食とほぼ同じになる場合にのみ、特定の日食が繰り返されます。月は同じ交点にあり、地球から同じ距離にあります。ガンマは、どのサロスシリーズでも単調に変化します。地球が遠日点に近いとき (6 月から 7 月) のガンマの変化は、近日点に近いとき (12 月から 1 月) よりも大きくなります。地球が平均距離に近いとき (3 月から 4 月、または 9 月から 10 月)、ガンマの変化は平均的です。

考慮すべきもう 1 つの点は、月の動きが完全な円ではないということです。月の軌道は明らかに楕円形であるため、地球から月までの距離は月の周期を通じて変化します。この変化する距離によって月の見かけの直径が変わり、したがって日食の可能性、期間、および種類 (部分日食、環状日食、皆既日食、混合日食) に影響します。この軌道周期は異常月と呼ばれ、朔望月と合わせて、満月 (および新月) のタイミングと外観に約 14 の月齢周期があるいわゆる「満月周期」を引き起こします。月は地球に近い (近地点に近い) ときは速く動き、遠地点に近い (最も遠い) ときは遅く動きます。そのため、朔望のタイミングが (平均タイミングと比較して) 最大 14 時間ずつ定期的に変化し、月の見かけの角直径が約 6% 増加または減少します。日食の予測をうまく行うには、日食サイクルはほぼ整数の異常月数で構成されている必要があります。

もし地球が太陽の周りを回る完全な円軌道を持ち、月の軌道も地球の周りを回る完全な円軌道を持ち、両方の軌道が互いに共面（同一平面上）にあるとしたら、太陰月（29.53日）ごとに2回の日食が起こることになります。月食は満月のたびに起こり、日食は新月のたびに起こり、すべての日食は同じ種類になります。実際、地球と月の距離、地球と太陽の距離は、地球と月が楕円軌道を持っているために変化します。また、両方の軌道は同じ平面上にはありません。月の軌道は、太陽の周りの地球の軌道に対して約5.14°傾いています。そのため、月の軌道は2つの点またはノードで黄道を横切ります。新月がノードの約17°以内で起こる場合、地球上のどこかの場所から日食を見ることができます。^{[5] [6] [7]}

1日あたり平均0.99°の角速度で、太陽は各ノードを中心とした34°幅の食帯を横切るのに34.5日かかります。太陽に対する月の軌道の平均期間は29.53日なので、太陽がノード食帯を通過する34.5日間隔ごとに必ず1回、場合によっては2回の日食が発生します。これらの期間を食シーズンと呼びます。^[2]各食シーズンには2回または3回の日食が発生します。食シーズン中は、月の軌道の傾斜が低いため、太陽、月、地球が（朔望角で）一直線になり、食が発生します。

これらは、上で説明したさまざまな種類の月の長さです（J2000.0時代に有効な月の暦ELP2000-85に従っています。Meeus (1991) などから引用）。

SM = 29.530588853日（朔望月）^[8]

DM = 27.212220817日（ドラコニック月）^[9]

AM = 27.55454988日（異常月）^[10]

EY = 346.620076日（日食年）

太陽、月、(昇る)交点という 3 つの主要な移動点があること、および、移動点の 3 つの可能なペアがそれぞれ出会う主な期間が 3 つあることに注目してください。月が太陽に戻る朔望月、月が交点に戻る竜月、太陽が交点に戻る日食年です。これら 3 つの双方向の関係は独立していません (つまり、朔望月と日食年はどちらも太陽の見かけの動きによって決まり、竜月と日食年はどちらも交点の動きによって決まります)。実際、日食年は朔望月と竜月の周期(つまり、朔望月と竜月の差の期間) として記述できます。次の式で表されます。

${\displaystyle {\mbox{EY}}={\frac {{\mbox{SM}}\times {\mbox{DM}}}{{\mbox{SM}}-{\mbox{DM}}}}}$

上記の数値を入力することで確認できます。

日食周期には、一定の数の朔望月が整数または半整数の竜望月にほぼ等しい期間があります。日食後のそのような期間の 1 つで、黄道上の月の軌道の交点付近で再び朔望月(新月または満月) が発生し、再び日食が発生する可能性があります。ただし、朔望月と竜望月は不釣り合いです。つまり、その比率は整数ではありません。この比率を公分数で近似する必要があります。つまり、分子と分母は、（おおよそ）同じ時間にわたる 2 つの期間（竜望月と朔望月）の倍数となり、日食周期を表します。

これらの分数は連分数の方法で求めることができます。この算術技術は、任意の実数値を真分数で近似する一連の漸進的な近似値を提供します。

半竜月ごとに日食が発生する可能性があるため、朔望月あたりの半竜月の数を近似値で求める必要があります。したがって、近似値を求める目標比率は、SM / (DM/2) = 29.530588853 / (27.212220817/2) = 2.170391682 です。

この比率の連分数展開は次のようになります。

2.170391682 = [2;5,1,6,1,1,1,1,1,11,1,...]: [11]
商収束
           半分の DM/SM 10 進数の名前付きサイクル (存在する場合)
    2; 2/1 = 2            朔望月
    5 11/5 = 2.2 ペンタルーネックス
    1 13/6 = 2.166666667 学期
    6 89/41 = 2.170731707 ヘプトン
    1 102/47 = 2.170212766 オクトン
    1 191/88 = 2.170454545  ツォルキネックス
    1 293/135 = 2.170370370  トリトス
    1 484/223 = 2.170403587  サロス
    1 777/358 = 2.170391061  アイネックス
   11 9031/4161 = 2.170391732 セレビット
    1 9808/4519 = 2.170391679平方年
  ...

半日食年あたりの朔望月数の比率は、同じ系列になります。

5.868831091 = [5;1,6,1,1,1,1,1,11,1,...]
商収束
           SM/半EY小数点 SM/全EY名前付きサイクル
    5; 5/1 = 5 ペンタルーネックス
    1 6/1 = 6 12/1 学期
    6 41/7 = 5.857142857 ヘプトン
    1 47/8 = 5.875 47/4 オクトン
    1 88/15 = 5.866666667                ツォルキネックス
    1 135/23 = 5.869565217                トリトス
    1 223/38 = 5.868421053 223/19       サロス
    1 358/61 = 5.868852459 716/61        inex
   11 4161/709 = 5.868829337 セレビット
    1 4519/770 = 5.868831169 4519/385 平方年
  ...

これらはそれぞれ日食周期です。これらを組み合わせることで、より精度の低い周期を構築できます。

この表は、さまざまな日食周期の特徴をまとめたものであり、前の段落の数値結果から計算できます。Meeus (1997) Ch.9 を参照してください。詳細は以下のコメントに記載されており、いくつかの注目すべき周期については専用のページがあります。他の多くの周期も注目されており、そのうちのいくつかには名前が付けられています。^[3]

示されている日数は平均です。2 つの日食の間の実際の日数と日数は、空の月と太陽の速度の変動により異なります。異常月の数が整数に近い場合、および異常年の数が整数に近い場合、変動は少なくなります。(学期とヒッパルキオ周期の下部にあるグラフを参照してください。)

あらゆる日食周期、そして実際には 2 つの日食の間の間隔は、saros ( s ) 間隔と inex ( i ) 間隔の組み合わせとして表すことができます。これらは「式」の列にリストされています。

2週間

朔望月の半分（29.53 日）。月食が発生すると、次の朔望月にも別の月食が発生する可能性がかなりあります。つまり、太陽と月は交点に対して約 15° 移動しますが（月は前回の位置と反対になります）、光源はまだ月食を発生できる範囲内にある可能性があります。たとえば、2002 年 5 月 26 日の半影月食の後には、2002 年 6 月 10 日の金環日食と2002 年 6 月 24 日の半影月食が続きます。新月から満月までの最短の 2 週間はわずか約 13 日 21.5 時間ですが、最長の 2 週間は約 15 日 14.5 時間です。 (月食のため、これらの値は三日月ごとに異なります。上弦の月と下弦の月の間の最短の二週間は約 13 日と 12 時間ですが、最長の二週間は約 16 日と 2 時間続きます。)

詳細については、日食シーズンを参照してください。

会議月

同様に、1 朔望月離れた 2 つのイベントでは、太陽と月が交点の両側の 2 つの位置にあり、それぞれ 29° 離れています。どちらも部分日食を引き起こす可能性があります。月食の場合は、半影月食です。

ペンタルネックス

5朔望月。連続する日食または月食は、1、5、または6朔望月の間隔で発生することがあります。^[3] 2つの日食が1か月離れている場合、1つは北極圏近くで見られ、もう1つは南極圏近くで見られます。5か月離れている場合は、両方とも北極圏近く、または両方とも南極圏近くで見られます。

学期

太陰暦の半年。日食は、ちょうど 1 学期の間隔で交互のノードで繰り返され、8 回または 9 回の日食が続くサイクルです。これは、変則月、竜月、および熱帯年の半整数に近いため、各日食は (通常) 半期ごとに半球を交互に繰り返し、また皆既と金環も交互に発生します。したがって、通常、特定の太陰暦年には、皆既または金環日食が最大で 1 回発生します。(ただし、8 学期シリーズの途中で半球が切り替わり、シリーズ中に奇数または偶数が皆既になるかが切り替わります。) 2 つの日食が半期の間隔で発生し、3 つ目の日食が 1 か月前または後に発生して、3 つの日食のうち 2 つが 7 か月離れる可能性もありますが、これは特定の世紀にのみ発生します (以下の inex と日付のグラフを参照)。これは、変則月、竜月、および熱帯年の半整数に近いため、各月食では通常、各半月ごとに地球の影の端が交互に現れ、月の半影と本影の差が 1 より小さいか大きい月食も交互に現れます。したがって、特定の太陰年では、月の半影と本影の差が 1 より小さいか大きい月食は、通常最大で 1 回発生します。

太陰暦

12 か月 (朔望月)、日食年より少し長い: 太陽が交点に戻ったため、日食が再び発生する可能性があります。

ヘクソン

6 つの日食シーズンと、かなり短い日食サイクル。ヘクソン シリーズの各日食 (最後の日食を除く) の後には、サロス シリーズ番号が 8 小さい日食が続き、常に同じノードで発生します。これは 35 朔望月数に相当し、3 太陰年 (36 朔望月数) より 1 少ない数です。任意の時点で、6 つのヘクソン シリーズがアクティブです。

ヘプトン

7 つの日食シーズンがあり、あまり注目されない日食サイクルの 1 つです。ヘプトンの各日食の後には、3 サロス シリーズ前の日食が続き、常に交互のノードで発生します。これは 41 朔望月に相当します。間隔はほぼ整数週 (172.96) であるため、各日食の後には、通常同じ曜日に別の日食が続きます (平均して 1/4 日ずつ不規則に逆戻りします)。任意の時点で、7 つのヘプトン シリーズがアクティブです。

オクトン

食の季節は8 回、メトン周期の1/5で、食周期はかなり短いですが、異常なリターンは少ないです。一連の各オクトンには 2 サロスの差があり、常に同じ交点で発生します。これは 47 朔望月に相当します。任意の時点で、8 つのオクトン シリーズがアクティブです。

ツォルキネックス

半竜月が含まれるため、交互のノードで発生し、半球間で交互に発生します。連続する各日食は、前のサロス シリーズのメンバーです。ほぼ 10ツォルキンに相当します。シリーズ内の 3 つおきのツォルキネックスは、異常月の整数に近いため、同様の特性を持ちます。

ヒバルディナ

最大 3 回の日食からなる日食「周期」ですが、実際には、反対のガンマ値を持つ 2 つの類似の日食を分ける期間として意味されます。1 つの月食 (112 の朔望月) を追加すると、同じ特性を持つ別の期間、つまりサロスのもう半分が得られます。2 つの月食は、サール (半サロス) を囲みます。1956 年にこれを特定した William B. Hibbard にちなんで名付けられました。^[3] Hibbardina より 1 つの太陰年 (99 の月食) は、8 年より約 1 日半多いだけです。

サール（半サロス）

奇数回の2週間（223）を含む。その結果、各サイクルで月食と日食が交互に発生し、同じノードで同様の特徴を持つ。ガンマが小さい日食の後には、非常に中心に近い皆既月食が続く。月の半影が地球の南端をかろうじてかすめる日食の後には、半サロス後に月が地球の半影の南端をかろうじてかすめる月食が続く。^[3]

トリトス

イネックスからサロスを引いた値に等しい。トリプル トリトスは異常月の整数に近いため、同様の特性を持つことになります。

サロス

最もよく知られている日食周期（アルマゲストに記述されているが、この名前は与えられていない）であり、日食を予測するのに最適なものの 1 つである。この周期では、223 朔望月は 242 竜月と等しく、誤差はわずか 51 分である。また、この周期は 239 異常月にも非常に近いため、1 サロス離れた 2 つの日食の状況は非常に似ている。1 日の 3 分の 1 は整数日数よりも長いため、その後の各日食は地球の西約 120° 離れた位置で中心となる。地球が太陽の周りを回る軌道が円であれば、サロス周期は 223 か月ごとに正確に繰り返される周期軌道に非常に近いものとなる。^[12]

メトン周期またはエネアデカエテリス

約6940日ですが、日食周期は235朔望月とみなすことができます。これは、 365年の19年よりわずか1時間半短いです。+1 ⁄ 4日。これは 5 つの「オクトン」周期で、20 年近くの日食年でもあるため、同じ暦日または 2 つの暦日に 4 回または 5 回の日食が短期間連続して発生します。これは、29 日間の「空月」が 110 回、30 日間の「満月」が 125 回に相当します。

セマネックス

週数に100分の1を加えた数に等しいため、サイクル内の連続した日食は通常、同じ曜日に発生します。この期間の各日食は、先行するサロスシリーズのメンバーであり、常に交互のノードで発生します。^[3]

ティックス

この日食周期は36ツォルキン強で、317の月齢に渡って続きます。この期間の各日食の後には4サロス周期後の日食が続き、常に同じノードで発生します。^[3]

イネックス

日食周期の分類に非常に便利です。日食の 1 回後に、反対の緯度で別の日食が発生します。不規則な始まりの後、一連の日食は何千年も続き、29 年マイナス 20 日、または最後の年が 366 日の場合は 21 日ごとに日食が発生します。18 回の inex 周期 (「基本周期」を参照) は 520.9996ユリウス年に等しいため、1 inex は⁠28です。+17/18⁠ユリウス暦。イネックス周期は、継続中に最も多くの日食が発生する周期です。イネックス系列30は、サロス系列-245（紀元前9435年）で初めて日食を発生させ、サロス系列-197（紀元前8045年）以来29年ごとに日食を発生させており、西暦15,000年を過ぎてもずっと継続し、^[13] 707回連続の日食が発生することになります。この名前は、1951年にジョージ・ファン・デン・ベルフによって導入されました。^[3]

エクセリグモス

トリプルサロスは、日数がほぼ整数であるという利点があるため、次の日食は、1エクセリグモス前に起こった日食の近くの場所から見えることになります。これは、サロスの場合、日食が 1 日の約 8 時間後、または 1 サロス前に起こった日食の西約 120° で起こるのとは対照的です。プトレマイオスは『アルマゲスト』の中で、現在サロスと呼ばれているものについて論じた後にこれについて言及し、これはエクセリグモス (ἐξελιγμός、「展開」を意味する) と呼ばれていると述べています。

オーブリーサイクル

ストーンヘンジにあるオーブリーホールで測定された日食の計算にちなんで名付けられました。1385週間で、56年マイナス3.5日で月食と日食が交互に発生します。^[3]

ユニドス

65年に非常に近い。太陰暦67年に相当し、ユリウス暦65年をわずか1.3日超える（グレゴリオ暦の65年より1.8日多い）。この名前は、1イネックスに2サロスが加算されるという点で、カール・パルメンによって提案された。^[3] 3ユニドスの期間（195年、「トリヘクス」）は、異常年数の整数と異常月数の整数の両方に非常に近いため、2つの日食の間隔は非常に一定であることを意味する。

カリピスサイクル

もともとは4メトン周期から1日を引いたもの、つまり365年の76年として定義されていた。+1 ⁄ 4日。表では、940 朔望月とみなされ、これは 441 の朔望月と 499 の満月に相当する。この周期は、たとえばイースターの日付を計算するときに役立つが、最大で 2 回の日食 (両方とも部分) と最大で 2 回の月食 (両方とも半影) しか生じない。カリプス周期は 20 オクトンであり、オクトンが連続しても 21 回の日食しか生じないことが多いため、そのような連続の最初と最後だけがカリプス周期で区切られる。ほとんどの日食は、940 朔望月後に別の日食が続くのではなく、むしろ 939 朔望月後 (2 回のイネックスと 1 回のサロス) に続き、これはドラコニック月の整数倍に近く、同様の日食が生じる。これはショート カリプス周期と呼ばれる。 ^[3]

トライアド

トリプル・イネックスの利点は、異常月がほぼ整数であることで、トライアド1つ離れた2つの日食の状況が非常に似ているが、緯度が反対になるという点です。ほぼ正確に87暦年から2か月を引いた値です。トライアドとは、3回に1回のサロスシリーズが類似していることを意味します（たとえば、中心日食はほとんど皆既またはほとんど環状）。たとえば、太陽サロス130、133、136、139、142、145はすべて、中心にあるときに月が近地点に近いため、主に皆既日食になります。実際、サロスシリーズ130およびイネックス50であった1781年10月17日の日食は、中心にあり、かつ近地点にありました。^[12]しかし、この繰り返しは完璧ではありません。約2460年後には、前述の130、133...（1を法とする3に相当）のシリーズで、遠地点付近で環状の中心日食が発生します。約820年後には、太陽ではなく中心月食が3サロスシリーズごとに近地点付近で発生し、約1640年後には、2を法とする3に相当のインデックスを持つ太陽サロスシリーズで、近地点付近で中心日食が発生します。^[14]

四半期パルメンサイクル

カール・パルメンにちなんで名付けられ、4イネックスから1サロスを引いたもの。各日食の後に4サロスの連続日食が続き、常に同じノードで発生します。これは97年9か月、つまり1209の朔望日と等しくなります。^[3]

水星周期

これは水星の朔望周期の約353倍に相当し、^[15]日食は各周期における水星の軌道上の位置のタイミングと同期し、112年から1週間を引いた値、つまり1385の朔望周期に相当します。^[3]

トリトリックス

3イネクスプラス3サロスに等しく、これは140年11か月または1743の朔望月数であり、常に交互の交点で発生します。^[3]トリトリクスは異常月の整数（（1867.9970））に非常に近く、異常年の整数にも近いため、2つの日食の間隔は非常に一定です。2トリトリクスマイナス1サロス（3263の朔望月数）は異常月の整数（3497.0018）にさらに近く、ヒッパルコス周期のちょうど17分の13になります（下記参照）。

レンタルサイクル

フィリップ・ド・ラ・イルが1687年に著作「天文表」で採用した6つのイネックス。これは6つのイネックス周期に相当し、173年と約8か月、または2148の朔望月数、つまり179の太陰年に相当し、常に同じノードでほぼ整数の異常月数で発生し、2つの三日月に相当する。^[3]

トライヘックス

3 イネックスプラス 6 サロスに相当し、195 ユリウス年と 4 日間、または 2412 朔望日、つまり 201 太陰年に相当し、常に交互の交点で発生します。異常年の整数倍でわずか 2 日、異常月の整数倍に近いため、2 つの日食の間隔は非常に一定です。

ランバート II サイクル

1765年にヨハン・ハインリヒ・ランバートが提唱した、似たような状況で日食が発生する日食周期。(「ランバートI周期」はイネックスとも呼ばれます。) ドラコニック月の半整数に非常に近い。約278年半に相当します。^[3]

マクドナルドサイクル

299年と約10か月半に等しい日食周期は、常に同じ交点で発生します。ピーター・マクドナルドは、イギリスから見える特に長時間にわたる一連の日食が、西暦1年から3000年の間にこの間隔で発生することを発見しました。 ^[3]マクドナルドの一連の日食は約10回で、約3000年間続きます。間隔は週の整数より約1時間短いだけであり、月の異常がほぼ一定であるため長さはかなり一定であるため、すべてまたはほとんどが同じ曜日に発生します。

ウッティングサイクル

食年と朔望月との比の連分数展開における7番目の収束。この比が2.17039173と2.17039179の間と近似される場合。1827年にジェームズ・アッティングが議論した。^[3]

セレビト

食年数 (354.5) が (偶然にも) 太陰年の日数 (354.371) とほぼ一致する食周期。これは約 336 年 5 か月 6 日、または 4161 の朔望日数に相当します。これは食年と朔望月間の比率の連分数展開における収束であり、1 セレビト間隔の一連の食は数千年の平均寿命をもたらします。

ヒッパルコスのサイクル

長く続く日食周期ではありませんが、ヒッパルコスはこれを、朔望月と変角月、年 (345)、日の整数にほぼ一致するように構築しました。変角月と変角年の両方の整数に近いため、その長さは常に 126007 日と 30 分から約 1 時間以内です (学期とヒッパルコス周期の下部のグラフを参照)。これは、2 回目の日食の時点で、最初の日食のときと同じ地球の側が太陽を向いていることを意味します (ただし、ガンマの値は異なります)。ヒッパルコスは、自身の日食観測を 345 年前のバビロニアの記録と比較することで、カルデア人が使用したさまざまな期間の正確さを検証できました。プトレマイオスは、これを 17 で割っても朔望月 (251) と変角月 (269) の整数が得られるが、これは竜座月の整数または半整数に近くないため、日食間隔ではないと指摘しています。

平方年

太陽年数 (365.371) が 1 太陽年の日数 (365.242) と (偶然にも) ほぼ一致する日食周期。365 年 4.5 か月、または 4519 の朔望月数にわたって続きます。これは日食年と朔望月間の比率の連分数展開における 8 番目の収束であり、1 平方年間隔で起こる一連の日食の平均寿命は数千年になります。今日の日食の多くは「平方年」シリーズまたはセレビト シリーズに属し、13,000 年以上続いており、13,000 年以上続くものも多くあります。^{[13] [3]}

グレゴリアナ

グレゴリオ暦では通常は4分の1日だけ遅くなるが、年数、月数、週数がほぼ整数になるため、同じ曜日とグレゴリオ暦の日付に戻ることで知られている。^{[3] [16]}

ヘクスドデカ

6つのユニドスまたは2つのトリヘックスに等しい。太陰太陽朔のタイミングを正確に計算するのに役立ちます。^[3]

グラッタンギネスサイクル

グレゴリオ暦と12か月太陰暦の両方で（ほぼ）同じ日に日食が起こる最短の周期。グレゴリオ暦の年数（391.00029）とほぼ一致し、また12か月太陰暦の年数も403と一致するため。ヘンリー・グラッタン・ギネスが黙示録9章15節の推測的解釈で発見した。^{[17] [3]}

ヒッパルキアン

14イネクスと2サロス。アルマゲストはこの周期をヒッパルコスに帰している。ジョージ・ファン・デン・ベルフはこれを「長期バビロニア期」または「古バビロニア期」と呼んだが、バビロニア人がこれを認識していたという証拠はない。^[3]

基本期間

ユリウス年、変則年（変則年521日から5日を引いた数）、週（27185週プラス0.1日）がほぼ整数（521）となり、ユリウス暦の同じ日と週に日食が発生する。^[3]

チャレペ

18イネクスプラス2サロスなので、557年プラス約1ヶ月になります。^[3]

テトラディア

時々、6 つの朔望月 (1 学期) の間隔を空けて 4 回の皆既月食が連続して起こることがあり、これをテトラッド (四重食) と呼びます。ジョヴァンニ・スキアパレッリは、このようなテトラッドが比較的頻繁に起こる時代と、まれに起こる時代があることに気付きました。この変化には約 6 世紀かかります。アントニー・パンネクーク(1951) はこの現象の説明を提示し、591 年の周期を発見しました。ファン・デン・ベルフ (1954) は、テオドール・フォン・オッポルツァーの「フィンスターニッセの基準」から586 年の周期を発見しました。これはたまたま日食周期です。Meeus [I] (1997) を参照してください。この現象は、以下に説明するように、地球の楕円軌道に関連しています。最近、チューダー・ヒューズは、地球の軌道の離心率の永年的変化によりテトラッドの発生周期が変動し、現在は約 565 年であると説明した。詳細な議論については、Meeus III (2004) を参照。テトラッド周期は、7 か月間隔で (連続しない) 食のペアが発生する時代、1 か月間隔で食のペアが発生する時代、ガンマが数十年にわたってほぼ一定であるサロス シリーズが発生する時代、または低ガンマ食が発生する時代の間の距離にも現れる。^[14]

ハイパーエクセリグモス

12の「短いカリプソ周期」（カリプソ周期より1か月短い）に相当し、12のカリプソ周期から1太陰年を引いたものなので、911年を少し超えるか、11268の朔望月、つまり939太陰年になります。1935年にアレクサンダー・ポゴによって初めて言及されました。^[3]

次の 9 つの周期、カルトゥーシュからアキュラティッシマまではすべて似ており、52 の inex 周期に最大 2 つのトライアドとさまざまな数のサロス周期を加えたものです。つまり、これらすべてにほぼ整数の異常月があるということです。その範囲は 1505 年から 1841 年で、各シリーズは数千年続きます。

カルトゥーシュ

52 inexに相当し、したがって1505年と1〜2か月間です。この期間の日食は、ほぼ整数の異常月数に達するのと同様の距離で発生します。^[3]

古代時計

55イネックスプラス3サロスに等しい、1646年以上。日食のタイミングを計算するのに役立ちます。異常月の整数に近い。シリーズは数万年続きます。^[3]

ハイブリディア

これは55イネックスプラス4サロスに等しく、パレア・ホロロギアより1サロス多いので1664年以上となり、異常月の整数に近いため、同様の特性を持つが、緯度が逆である。^[3]

セレニド

ハイブリディアより1サロス多い。これは、紀元前3千年紀の日食の大きさを計算するのに役立つ日食周期の名前。ジョージ・ファン・デン・ベルフは、1951年に95イネックスプラス11サロス（2948年以上）の期間について言及する前に、55イネックスプラス5サロス（1682年以上）の期間について初めて言及した。^[3]

プロキシマ

これは58 inexプラス5 sarosに相当し、したがって1769年より少し短く、常に同じノードで、竜の月と異常な月の整数倍に向かって発生するため、各日食の状況は、近接して似たような性質になります。^[3]

ヘリオトロープ

58イネクスプラス6サロスに等しく、プロキシマより1サロス多いので、約1787年になります。整数年（ユリウス暦1786.954年、グレゴリオ暦1786.991年）付近の地球表面における日食の中心線の経度位置を計算するのに役立ちます。^[3]

メガロサロス

これは 58 イネックスプラス 7 サロス (ヘリオトロープより 1 サロス多い) に相当し、これは 95 メトン周期、または 95 サロスプラス 95 太陰年、または 100 サロスプラス 25 朔望月、または 1805 年を少し超える年数であり、常に同じノードで発生し、メトン周期の不一致が 19 年から 95 回繰り返されると不一致が約 3 年に蓄積されることが明らかになります。100 サロス周期はサロス シリーズの寿命を超えるため、追加の 25 朔望月が必要です。^{[3] [18]}

イモビリス

58 inex プラス 8 サロス (メガロサロスより 1 サロス多い) に等しく、これはちょうど 1879 太陰年です。常に同じノードで発生します。異常月の整数に非常に近いですが、43 inex マイナス 5 サロス (14279 か月、1154.5 年) はさらに近いです。^[3]

正確

これは 58 inex プラス 9 サロス (Immobilis より 1 サロス多い) に等しく、したがって 1841 年 1 か月または 22771 の朔望日となり、これは現在、週の整数より約 1 時間多いため、同じ曜日に日食が発生することになります。地球の自転が遅くなるため、Accuratissima の長さは西暦 2100 年頃には日数または週の整数と正確に等しくなります。つまり、西暦 1200 年頃の日食は、1841 年後の同じ曜日の同じ時刻に繰り返されることになります。Accuratissima は、日食の規模と特徴を計算するのにも役立ちます。^[3]アキュラティッシマとトリトリックスとサロスを足すと、日食周期はユリウス暦2000年より1.8日短くなり、グレゴリー暦2000年より13.2日長くなります。これは異常月の整数より半日短いだけですが、アキュラティッシマは異常月の整数より0.2日短いだけです。

マッケイサイクル

76 inex と 9 saros に等しく、したがって 2362 年と約 1 か月となり、常に同じノードで発生します。1800 年代に A. Mackay によって言及されました。^[3]

時計

110 inex プラス 7 saros に等しいので、3310 年と約 2 か月となり、常に同じノードで発生します。これは、日食のタイミングと大きさを計算するのに役立ちます。日食は、ドラコニックとアノマリスティックの月と週の整数倍 (172,715.97 週間) 離れているため、特徴と週のタイミングが似ている日食につながります。^[3]

あらゆる日食は、特定のサロス系列とイネックス系列に割り当てられる。日食の年（グレゴリオ暦）は、おおよそ次のように与えられる。^[19]

年 = 28.945 × サロス級数の数 + 18.030 × inex級数の数 − 2882.55

この値が 1 より大きい場合、整数部分は西暦を表しますが、負の場合、整数部分に 2 を加算すると紀元前年になります。たとえば、サロス シリーズ 0 と inex シリーズ 0 の日食は、紀元前 2884 年の半ばでした。

ルカ・クアリアとジョン・ティリーは、サロスとイネックスで整理された日食の「パノラマ」を作成し、紀元前11001年から紀元後15000年までの61775回の日食を表示しています（下記参照）。^[20] グラフの各列は、部分日食から皆既日食または金環日食、そして再び部分日食へとスムーズに進む完全なサロスシリーズです。グラフの各行はイネックスシリーズを表しています。サロスは223の朔望月で、ドラコニック月の整数よりわずかに少ないため、サロスシリーズの初期の日食（図の上部）は、月がノード（ドラコニック月の始まりと終わり）を通過した後に発生し、後期の日食（下部）は、月がノードを通過する前に発生します。 18 年ごとに、日食は平均して交点より西に約半度離れたところで発生しますが、進行は均一ではありません。

特定の日付に近い日食については、サロスと inex 番号を計算できます。また、シリーズ 50 などの inex シリーズの 1 つを最初に特定することで、遠い日付の日食のおおよその日付を見つけることもできます。これは、2013 年 5 月 10 日の日食に 28.9450 グレゴリオ暦の倍数を加算または減算するか、ユリウス暦の 2013 年 4 月 27 日に 28.9444 ユリウス暦の倍数を加算または減算することで実行できます。このような日食が見つかったら、短い周期を使用して、同じ時期に発生する他の日食を見つけることができます。月食の場合、アンカー日付として 2004 年 5 月 4 日またはユリウス暦の 4 月 21 日を使用できます。

サロス数と inex 数は月食にも定義されています。特定のサロス数と inex 数の日食は、サロス数が 26 低く inex 数が 18 高い月食が 2 週間前に起こるか、サロス数が 12 高く inex 数が 43 低い月食が 2 週間後に起こります。日食と同様に、月食のグレゴリオ暦年は次のように計算できます。

年 = 28.945 × サロス級数の数 + 18.030 × inex級数の数 − 2454.564

月食も同様の図にプロットできます。この図は西暦 1000 年から 2500 年までをカバーしています。黄色の斜めの帯は、1900 年から 2100 年までのすべての月食を表しています。このグラフを見ると、1900 年から 2100 年までの期間には、隣接する他の世紀と比較して、平均を上回る数の皆既月食が発生していることがすぐにわかります。

これは、テトラッド（上記参照）が現在他の時期よりも一般的であるという事実に関係しています。テトラッドは、月の inex 数が 8 ずつ減少する 4 つの時点で 4 つの月食が発生したときに発生します（つまり、1 学期離れています）。これは、かなり中心の月食（ガンマが小さい）が発生する範囲内であり、さらに、月食は地球の近日点と遠日点のほぼ中間で発生します。たとえば、2014 年から 2015 年のテトラッド（いわゆる4 つのブラッドムーン）では、inex 数は 52、44、36、28 で、月食は 4 月と 9 月下旬から 10 月上旬に発生しました。通常、ガンマの絶対値は減少してから増加するが、4月には太陽が平均経度よりも東にあり、9月/10月には平均経度よりも西にあるため、1回目と4回目の日食ではガンマの絶対値が減少し、2回目と3回目の日食ではガンマの絶対値が増加する。その結果、4つのガンマ値はすべて、皆既月食につながるほど小さくなる。月が太陽（または太陽の反対側の点）に「追いつく」現象は、通常平均経度にないため、「スターンチェイス」と呼ばれている。^[21]

不等周期は年間を通じてゆっくりと進み、各日食は年間で約20日早く、29年遅れて発生します。つまり、18.2不等周期（526年）の期間にわたって、日付は年間を通じて移動することになります。しかし、地球の軌道の近日点もゆっくりと移動しているため、現在四重食を生成している不等周期は、約586年後に再び地球の近日点と遠日点の中間点になります。^[14]

日食または月食の inex 対 saros のグラフを歪めて、x 軸に年内の時間を表示することができます。(別の日食より 2 サロス シリーズ、1 inex シリーズ遅い日食は、グレゴリオ暦では 1 年でわずか 1.8 日遅れるだけです。) これは、586 年の振動が近日点付近で上昇し、遠日点付近で下降する振動であることを示しています (グラフを参照)。

日食のタイミング、月と太陽の距離や大きさ、月が太陽と地球を結ぶ線から北または南に通過する距離などの特性は、月と地球の軌道の詳細に依存します。正弦級数と余弦級数を使用して、月と太陽の経度、緯度、距離を計算する公式が存在します。正弦関数と余弦関数の引数は、ドロネー引数と呼ばれる 4 つの値のみに依存します。

• D、平均離角（太陽と月の経度間の角度）
• F、平均緯度引数（月と昇交点の間の角度）
• l、月の平均近点角（月が近地点からどれだけ離れているか）
• l'、太陽（または地球）の平均日赤外角

これら 4 つの引数は基本的に時間の線形関数ですが、高次の項はゆっくりと変化します。上に示した「パノラマ」などの inex および saros インデックスの図は地図のようなもので、その上で Delaunay 引数の値を検討できます。平均離角 D は、inex 値が 1 増加すると 360° を 223 回通過し、saros 値が 1 増加すると 358 回通過します。離角が 0 のときに日食が発生するため、太陽の saros インデックスと inex インデックスの各組み合わせでは、定義により 0° に相当します。D から、J2000などの基準時間からの実際の経過時間を求めることができます。これは inex と saros の線形関数に似ていますが、基準時間からの距離に応じて偏差が 2 乗して大きくなり、1000 年の距離で約 19 分になります。平均緯度引数 F は、食帯の中心を通る滑らかな曲線に沿って 0° または 180° に相当します (サロス指数が偶数か奇数かによって異なります)。この曲線はガンマがほぼゼロ (現在、inex シリーズ 50 付近) です。F はこの曲線から離れてより高い inex シリーズに向かうにつれて減少し、反対側では inex シリーズごとに約 0.5° 増加します。inex 値が中心から離れすぎると、月が太陽の北または南から離れすぎるため、食は消えます。太陽の平均近点角は滑らかな関数で、サロス シリーズで inex が 1 増加すると約 10° 増加し、inex シリーズでサロス指数が 1 増加すると約 20° 減少します。つまり、inex が 1 増加し、サロス指数が 2 増加すると (65 年の「Unidos」間隔)、ほぼ一定になります。日食の時期を示す上記のグラフは、基本的に太陽の近点を示しています。近日点は、ユリウス暦では 1 世紀に 1 日、グレゴリオ暦では 1 世紀に 1.7 日しか移動しないからです。月の平均近点角はより複雑です。サロス指数が 3 で割り切れる日食を見ると、平均近点角は inex 値と saros 値の滑らかな関数になります。等高線は角度をつけて走るため、inex 値と saros 値が約 21:24 の比率で一緒に増加する場合、平均近点角はかなり一定になります。関数はゆっくりと変化し、inex 値が一定で saros 指数が 3 変化しても 7.4° しか変化しません。同様の滑らかな関数は、saros modulo 3 が 1 で約 120° シフトした日食、および saros modulo 3 が 2 で逆方向に 120° シフトした日食でも得られます。^{[22] [23]}

結局、3 セットのサロス系列のいずれでも、特性は図上でゆっくりと変化します。添付の​​グラフは、サロス指数モジュロ 3 が 0 であるサロス系列のみを示しています。青い領域は、月の平均異常が 0° に近い部分です。つまり、月は日食時に近地点に近く、したがって比較的大きく、皆既日食が起こりやすいということです。赤い領域では、月は一般に地球から遠く、日食は環状です。太陽の異常の影響も確認できます。太陽が地球から遠い 7 月の日食は皆既日食になる可能性が高いため、青い領域は 1 月の日食よりも inex 指数の範囲が広くなります。

グラフに見られる波状も、太陽の異常によるものです。4 月には、太陽は経度が均等に進んだ場合よりも東にずれ、10 月には西にずれます。これは、4 月には月が太陽に追いつくのが比較的遅く、10 月には比較的早くなることを意味します。つまり、実際の日食時の緯度の引数は、4 月には高く、10 月には低くなるということです。inex インデックスが低い日食 (「パノラマ」グラフの上端付近) は、朔望が交点の東に離れすぎているため、4 月には発生しませんが、inex 値が高い日食は、交点の西にそれほど離れていないため、4 月には多く発生します。10 月にはその逆が当てはまります。また、4月には昇交点日食の影がより北に落ち（2024年4月8日の日食など）、降交点日食の影がより南に落ちることを意味します。10月はその逆になります。

地球が近日点に近いとき（太陽の異常がほぼゼロ）に起こる日食は、ガンマ値が 18.03 年ごとにほとんど変化しないサロス系列に属します。その理由は、サロス系列では、1 つの日食から次の日食までの間に、1 年の日が約 11 日進みますが、太陽の位置は、他の時期の 1 年の日の変化よりも東に大きく移動するためです。つまり、交点に対する太陽の位置は、1 年の他の時期に日食が発生するサロス系列ほど変化しません。 21世紀前半に、ガンマの変化率が緩やかであった太陽サロス系列には、122（2019年1月6日に日食）、132（2038年1月5日）、141（2010年1月15日）、151（2011年1月4日）がある。この現象により、サロス系列で中心日食が多数発生することもあり、例えば、太陽サロス128では1615年から1958年の間に|γ|<0.75の日食が20回発生したのに対し、135系列では1872年から2016年の間にわずか9回しか発生しなかった。^[14]

日食周期における 2 つの日食の間隔は可変です。日食の時間は、月の軌道の離心率により最大 10 時間早まったり遅れたりすることがあります。月が近地点から遠地点に移動する時は日食が早くなり、遠地点から近地点に移動する時は遅くなります。また、地球の軌道の離心率によっても時間が遅れます。日食は 4 月には約 4 時間遅く、10 月には約 4 時間早く発生します。つまり、一連の日食ごとに遅延が異なります。遅延は 2 つの正弦関数の合計で、1 つは異常年の時間に基づき、もう 1 つは異常月の時間に基づきます。これら 2 つの波の周期は、一連の日食間の名目間隔が異常年と異常月の整数にどれだけ近いかによって決まります。 「Immobilis」や「Accuratissima」のようなシリーズでは、どちらも整数に近いため、遅延は非常にゆっくりと変化するため、間隔は非常に一定です。octon のようなシリーズでは、月の異常が 3 つの間隔ごとに少なくとも 2 回大幅に変化するため、間隔は大幅に変化します。

「パノラマ」は、日食の中心時間に月の影が地球上のどこに落ちるかにも関係しています。特定の日食の「最大日食」が特定の場所である場合、3 サロス後の日食は、同様の緯度 (サロスがドラコニック月の整数に近いため) と経度 (3 サロスの周期は常に 19755.96 日の長さから数時間以内であるため、経度が東に約 13° 変化する) で発生します。代わりに、一定の inex インデックスでサロス インデックスを増やすと、異常な月または年の数が整数にあまり近くないため、間隔はかなり変わります。つまり、緯度は似ていますが (ただし符号は変わります)、経度の変化は 180° 以上変化する可能性があります。 6 inex (de la Hire 周期) 移動すると、緯度はかなりよく維持されますが、経度の変化は太陽異常の変動により非常に変動しやすくなります。

昇交点での食の際の月の角度の大きさと、それらの食の際の太陽の大きさは、どちらも一種の正弦波のように変化します。降交点での大きさも同様に変化しますが、位相が 180° ずれています。昇交点食の際の月は、近地点が昇交点の近くにあるときに大きくなります。したがって、月の大きさの周期は、交点と近地点の間の角度が 360° になるのにかかる時間、つまり

${\displaystyle {\frac {1}{1/{\text{交点の周期}}+1/{\text{近地点の周期}}}}={\frac {1}{1/18.60+1/8.85}}=5.997}$年

(プラス記号が使われているのは、近地点が東に移動し、交点が西に移動するためであることに注意してください。) この最大値は 2024 年 (9 月) で、2024 年 4 月 8 日の昇交点日食が近地点で皆既日食となり、2024 年 10 月 2 日の下降交点日食が遠地点で金環日食となる理由を説明しています。このサイクルは 6 年より約 1 日短いですが、スーパームーン日食は実際には平均して 3 年ごとに発生します。これは、昇交点の日食の間に発生する下降交点の日食もあるためです。月食では、月の大きさは日食のときのサイズと 180° 位相がずれています。

昇交点食では、太陽の近地点（太陽が地球に最も近づく方向）が昇交点の近くにあるときに太陽は大きくなります。そのため、太陽の大きさの周期は

${\displaystyle {\frac {1}{1/{\text{交点の周期}}-1/{\text{近地点の周期}}}}={\frac {1}{1/18.60+1/41{\text{百万}}}}=18.60}$年

ドロネーの議論によれば、太陽は、2010 年 6 月のように、l'+D=F (モジュロ 360°) の前後で昇交点日食で最大になり、降交点日食で最小になります。太陽は、降交点日食で最小になり、9.3 年後の 2019 年 9 月のように昇交点日食で最大になります。

朔望月、竜望月、異常月の長さ、一日の長さ、異常年の長さはすべてゆっくりと変化しています。朔望月、竜望月、一日、異常年 (少なくとも現時点では) は長くなり、異常月は短くなっています。地球の軌道の離心率は現在 300 年ごとに約 1 パーセント減少しており、太陽の異常の影響は減少しています。ドロネーの議論の公式によると、朔望月が長くなると、日食は、現在からの時間の二乗に比例して、通常よりも遅く発生する傾向があり、1000 年の二乗ごとに約 0.32 時間遅くなります。他のドロネー引数（月と太陽の平均偏差と緯度の引数）はすべてこれによって増加しますが、一方でドロネー引数は、ドラコニック月と偏差月および年の長さが変化するという事実によっても影響を受けます。最終的な結果は次のとおりです。

• 平均緯度引数は1000年2乗あたり0.16°減少し、これは0.00045ドラコニック月に相当する。
• 月の平均赤道角は1000年ごとに1.1°増加し、これは0.0030赤道月に相当する。
• 太陽の平均異常は1000年ごとに0.002°減少しますが、これはほとんど無視できるほど小さい値です。

たとえば、紀元前 1688 年 4 月の日食から西暦 1623 年 4 月の日食までは、110 inex プラス 7 saros (「Palaea-Horologia」プラス「tritrix」、つまり 3310.09 ユリウス年に相当) です。上記の表によると、Delaunay 引数は次のように変更されるはずです。

• それぞれ、朔望月 40941、竜望月 44429.003、変則月 43877.032、変則年 3310.007。

しかし、これらの長さが変化したため、実際には次のように変化しました。^[22]

• それぞれ、朔望月数 40940.998、竜望月数 44429.006、変則月数 43876.990、変則年数 3310.007。

この例では、異常度 (近地点に対する位置) に関して、月は、今日の月の長さの値を使用して予測される 3.2% ではなく、軌道の 1% 以内 (約 3.4°) に戻ることに注意してください。

一日が長くなっているということは、過去のある時点から地球が公転する回数は日時から計算される回数より多く、現在から未来のある時点にかけては少ないことを意味します。この効果は、日食が一日または暦の早い時期に発生し、すでに述べた朔望月が長くなる効果とは逆の方向に進みます。この効果はΔTとして知られています。正確に計算することはできませんが、1000年の2乗あたり約50分になります。^[24]上記の例では、これは紀元前1688年の日食がダイナミックタイムで3月16日00:15:31に中心があったものの、実際には真夜中前、つまり3月15日に発生したことを意味します（現在のグリニッジの位置に基づく時間を使用し、先発ユリウス暦を使用）。^[25]

緯度引数が減少するという事実は、上記の「パノラマ」に曲率が見られる理由を説明しています。過去および将来の中心食は、線形外挿から予想されるものよりもグラフで高くなっています (inex 番号が低い)。これは、朔望月の長さと竜座月の長さの比率が小さくなっているためです。どちらも長くなっていますが、竜座月の方がノードが西に移動する速度が遅くなっているため、より速く長くなっています。^[22]

• サロス（天文学）

• S. ニューカム (1882): 日食の再発について。Astron.Pap.Am.Eph. vol. I pt. I 。ワシントン海軍省航海局、1882 年
• JN ストックウェル (1901): 日食周期。Astron.J. 504 [vol.xx1(24)]、1901 年 8 月 14 日
• ACD クロメリン (1901): 29 年日食周期。天文台 xxiv nr.310、379、1901 年 10 月
• A. Panneckek (1951): 月食の周期性。手順こん。ネッド。アカド。ウェテンシュ。 Ser.B vol.54 pp. 30..41 (1951)
• G. van den Bergh (1954): 紀元前 2 千年紀の日食 Tjeenk Willink & Zn NV、ハーレム、1954
• G. van den Bergh (1955): 日食 (および月食) の周期性と変動、2 巻。 Tjeenk Willink & Zn NV、ハーレム、1955
• Jean Meeus (1991): 天文アルゴリズム (第 1 版)。ウィルマン・ベル、バージニア州リッチモンド、1991年。ISBN 0-943396-35-2 
• Jean Meeus (1997): 数学天文学小冊子 [I]、第 9 章日食: いくつかの周期性(pp. 49..55)。Willmann-Bell、リッチモンド VA 1997; ISBN 0-943396-51-4 
• Jean Meeus (2004): 数学天文学 Morsels III、Ch.21 Lunar Tetrads (pp. 123..140)。ウィルマン・ベル、バージニア州リッチモンド、2004年。ISBN 0-943396-81-6 

• 日食サイクルのカタログ（上記よりも包括的）
• 紀元前2000年から紀元後3000年までの5000年分の日食を検索
• 日食、古代の宇宙の時計仕掛け
• サロスとイネックス