地球の円周

地球の円周の測定は、エラトステネス[ ^{4 ]}が得た結果の中で最も有名で、^彼は子午線の長さを252,000スタディアと推定し、実際の値との誤差は-2.4%から+0.8%の間であるとしました（スタディアの値を155メートルから160メートルと仮定した場合^{[ 3 ]}、スタディアの正確な値は今日まで議論の対象となっています。スタディアを参照してください）。

エラトステネスは、現存しない『地球の測量について』という書物の中で自身の技術について記述したが、現存するのは、クレオメデスが発見を普及させるために記述した簡略版である。^{[ 5 ]}クレオメデスは読者に、エジプトの2つの都市、アレクサンドリアとシエネ（現在のアスワン）について考察するよう促している。

1. クレオメデスは、シエネとアレクサンドリア間の距離は5,000スタディアであると想定している（この数値は、専門の測量士であるmensores regiiによって毎年確認されていた）。^{[ 6 ]}
2. 彼は、シエネが北回帰線上に正確に位置していたという単純化された（しかし不正確な）仮説を立て、夏至の正午には太陽が真上に来ると述べている。実際には、シエネは北回帰線から1度弱北に位置していた。
3. 彼は、シエネとアレクサンドリアが同じ経線上にあるという単純化された（しかし不正確な）仮説を立てている。実際には、シエネは アレクサンドリアの東約3度の経度に位置していた。

クレオメデスの『天体の円運動について』によると、紀元前240年頃、エラトステネスはプトレマイオス朝エジプトで地球の円周を計算した。^{[ 7 ]}グノモンと呼ばれる垂直の棒を使用し、前述の仮定に基づいて、彼はシエネ（現在のエジプトのアスワン）の夏至の正午には、グノモンが影を落とさないため、太陽が真上にあることを知っていた。さらに、その時間にシエネで深い井戸を覗き込む人の影が、水面に反射する太陽を遮っていた。エラトステネスは次に、地面に別のグノモンの影の長さを測ることで、アレクサンドリアの正午の太陽の仰角を測定した。^{[ 8 ]}棒の長さと影の長さを三角形の辺として使用して、彼は太陽光線の角度を計算した。^{[ 9 ]}この角度は約 7°、つまり円周の 1/50 でした。地球が完全に球形であると仮定すると、その円周はアレクサンドリアからシエネまでの既知の距離 (5,000 スタディオン、この数値は毎年確認されていた) の 50 倍、つまり 250,000 スタディオンであると結論付けました。^{[ 10 ]}彼が「オリンピック スタディオン」(176.4 m) を使用したか、イタリア スタディオン (184.8 m) を使用したかによって、円周は 44,100 km (10% の誤差) または 46,100 km (15% の誤差) になります。^{[ 10 ]} LV Firsov は、スタディオンの値を 157.7メートルと仮定したこともあり、これはさらに精度が高くなりますが、計算エラーや誤った仮定に悩まされています。^{[ 11 ]} 2012年、アンソニー・アブレウ・モラはより正確なデータを用いてエラトステネスの計算を再現した。その結果は40,074 kmで、現在受け入れられている極周長と66 km (0.16%) の差がある。^{[ 9 ]}       

エラトステネスの方法は実際にはもっと複雑だったと、同じクレオメデスが述べている。クレオメデスの目的は、エラトステネスの本に書かれている方法を簡略化したバージョンを提示することだった。例えば、プリニウスは252,000スタディアという値を引用している。^{[ 12 ]}

この方法は、農業や課税関連の目的でエジプトの領土の範囲を正確に測定することを仕事とする専門の測量士による数回の測量旅行に基づいていた。 ^{[ 3 ]}さらに、エラトステネスの測定値が正確に252,000スタディオン（プリニウスによる）に相当するという事実は、1から10までのすべての自然数で割り切れる数であるため、意図的なものかもしれない。一部の歴史家は、エラトステネスが計算を簡略化するためにクレオメデスが書いた250,000という値からこの新しい値に変更したと考えている。^{[ 13 ]}一方、他の科学史家は、プリニウスが「エラトステネスの比率に従って」スタディオンについて書いているように、エラトステネスが子午線の長さに基づく新しい長さの単位を導入したと考えている。^{[ 3 ] [ 12 ]}

ポセイドニオスは、カノープス星の位置を基準に地球の円周を計算した。クレオメデスの説明によると、ポセイドニオスはロドス島ではカノープス星が地平線上にあり、地平線より上には見えなかったが、アレクサンドリアでは地平線から7度半も上昇するのを見た（両地点の緯度間の経線弧は実際には5度14分である）。彼はロドス島がアレクサンドリアの真北に5,000スタディアあると考え、星の高度の差から両地点間の距離が円周の1/48であることを示していたため、5,000に48を掛けて地球の円周を240,000スタディアと算出した。^{[ 14 ]}ポセイドニオスが使用したスタディオンは、現代の法定マイルのほぼ1/10であると考えられている。したがって、ポセイドニオスの測定値である 240,000 スタディアは24,000マイル (39,000 km)に相当し、実際の円周24,901マイル (40,074 km)とそれほど変わらない。^{[ 14 ]}ストラボンは、ロドス島とアレクサンドリア間の距離が 3,750 スタディアであることに言及し、ポセイドニオスによる地球の円周の推定値は 180,000 スタディア、つまり18,000マイル (29,000 km)であると報告した。^{[ 15 ]}大プリニウスは、情報源の中にポセイドニオスを挙げ、名前は挙げずに地球の円周を推定する方法を報告した。しかし、ヒッパルコスがエラトステネスの推定値に約 26,000 スタディアを追加したことに言及した。ストラボンが提示した値が小さいことと、ギリシャとローマのスタディアの長さが異なることから、ポセイドニオスの結果をめぐっては根強い混乱が生じている。プトレマイオスは『地理学』の中で、地球の円周としてポセイドニオスの低い値である18万スタディア（約33%低い）を使用した。これはクリストファー・コロンブスがインドまでの距離を7万スタディアと過小評価するために使用した数値である。 ^{[ 16 ]}      

西暦525年頃、インドの数学者で天文学者のアーリヤバタは『アーリヤバティーヤ』を著し、その中で地球の直径を1,050ヨージャナと計算した。アーリヤバタが意図したヨージャナの長さについては議論がある。注意深く読むと14,200キロメートル（8,800マイル）に相当するが、これは11%大きい。^{[ 17 ]}別の読み方では15,360 km（9,540マイル）となり、これは20%大きい。^{[ 18 ]}さらに別の読み方では13,440 km（8,350マイル）となり、これは5%大きい。^{[ 19 ]}     

西暦830年頃、カリフ・アル・マアムーンは、アル・フワーリズミー率いるイスラム教徒の天文学者グループに、タドムル（パルミラ）から現在のシリアのラッカまでの距離を測るよう依頼した。彼らは地球の円周を現代の値の15%以内、おそらくはもっと近い値だと計算した。中世アラビア単位と現代の単位の変換に不確実性があるため、実際の精度は不明だが、いずれにせよ、方法とツールの技術的な限界により、精度は5%を超えることはできなかっただろう。^{[ 20 ]}

アル・ビールーニーの『マスウディクス写本』 （1037年）には、より便利な推定方法が示されている。太陽を2か所から同時に観測して地球の円周を測定した先人たちとは対照的に、アル・ビールーニーは平地と山頂の間の角度に基づく三角法計算を用いる新しい方法を開発した。これにより、1人の人物が1か所から測定することが可能になった。^{[ 20 ]}彼は山頂から傾斜角を観測し、それを（事前に決定した）山の高さとともに正弦定理の公式に適用した。これは傾斜角の最も初期の使用例であり、正弦定理の最も初期の実用例である。^{[ 21 ]}しかし、技術的な制約のため、この方法は以前の方法よりも正確な結果をもたらすことはできず、アル・ビールーニーは前世紀にアル・マアムーン探検隊によって計算された値を受け入れた。^{[ 20 ]}

エラトステネスの死後1700年後、クリストファー・コロンブスはエラトステネスが地球の大きさについて書いたものを研究した。しかし、トスカネッリの地図に基づいて、彼は地球の円周が25%小さいと信じることにした。もしコロンブスがエラトステネスのより大きな値を受け入れていたら、彼が上陸した場所はアジアではなく新世界であることを知っていたはずだ。^{[ 22 ]}