直接法（電子顕微鏡法）

結晶学において、直接法は回折データと事前情報を使用して構造を決定するために使用される一連の技術です。これは、回折測定中に位相情報が失われる結晶学的位相問題に対する解決策です。直接法は、記録された振幅情報と強い反射の位相との間の統計的関係を確立することによって位相情報を推定する方法を提供します。

電子回折では、電子ビームと結晶ポテンシャルの相互作用によって回折パターンが生成されます。結晶構造に関する実空間と逆空間の情報は、以下に示すフーリエ変換の関係を通じて関連付けることができます。ここで、 は実空間にあり、 は結晶ポテンシャルに対応し、 は逆空間でのそのフーリエ変換です。ベクトルと は、それぞれ実空間と逆空間の位置ベクトルです。 ${\displaystyle f({\textbf {r}})}$${\displaystyle F({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle {\textbf {r}}}$${\displaystyle {\textbf {k}}}$

${\displaystyle f({\textbf {r}})=\int _{-\infty }^{\infty }F({\textbf {k}})e^{2\pi i{\textbf {k} }\cdot {\textbf {r}}}dk}$

${\displaystyle F({\textbf {k}})=\int _{-\infty }^{\infty }f({\textbf {r}})e^{-2\pi i{\textbf {k }}\cdot {\textbf {r}}}dr}$

${\displaystyle F({\textbf {k}})}$は構造因子とも呼ばれ、 3 次元 周期関数(周期結晶ポテンシャル)のフーリエ変換であり、回折実験中に測定される強度を定義します。は極形式で表すこともできます。ここで、 は逆格子空間での特定の反射です。には振幅項 (つまり) と位相項 (つまり) があります。位相項には、この形式で位置情報が含まれます。 ${\displaystyle F({\textbf {k}})}$${\displaystyle F({\textbf {g}})}$${\displaystyle {\textbf {g}}}$${\displaystyle F({\textbf {g}})}$${\displaystyle |F({\textbf {g}})|}$${\displaystyle e^{i\phi _{g}}}$

${\displaystyle F({\textbf {g}})=|F({\textbf {g}})|e^{i\phi _{g}}}$

回折実験中、反射の強度は次のように測定されます。 ${\displaystyle I({\textbf {g}})}$

${\displaystyle I({\textbf {g}})=|F({\textbf {g}})|^{2}}$

これは構造因子の振幅項を取得する簡単な方法ですが、結晶ポテンシャルからの位置情報を含む位相項は失われます。

同様に、透過型電子顕微鏡で実行される電子回折の場合、実空間と逆空間における結晶からの電子ビームの 出口波動関数は、それぞれ次のように表すことができます。

${\displaystyle \psi ({\textbf {r}})=a({\textbf {r}})e^{-i\phi ({\textbf {r}})}}$

${\displaystyle \Psi ({\textbf {u}})=A({\textbf {u}})e^{-i\phi ({\textbf {u}})}}$

ここで、 と は振幅項、指数項は位相項、 は逆空間ベクトルです。回折パターンを測定すると、強度のみが抽出されます。測定により、係数の統計平均が得られます。 ${\displaystyle a({\textbf {r}})}$${\displaystyle A({\textbf {u}})}$${\displaystyle {\textbf {u}}}$

${\displaystyle I({\textbf {r}})=\langle |\psi ({\textbf {r}})|^{2}\rangle =\langle |a({\textbf {r}})| ^{2}\rangle }$

${\displaystyle I({\textbf {u}})=\langle |\Psi ({\textbf {u}})|^{2}\rangle =\langle |A({\textbf {u}})|^{2}\rangle }$

ここで、電子回折実験での測定時に位相項が失われることも明らかです。これは結晶学的位相問題と呼ばれます。

1952年、デイヴィッド・セイヤーは、ある回折ビームの既知の位相を関連付けて、別の回折ビームの未知の位相を推定するセイヤー方程式を導入した。 ^[1] Acta Crystallographicaの同じ号で、コクラン氏とザカリアスン氏も独立して、異なる構造因子の符号間の関係を導出した。^{[2] [3]その後、}ハウプトマン氏とカール氏を含む他の科学者によって進歩が遂げられ、結晶構造を決定する直接的な方法を開発した功績により、ハウプトマン氏とカール氏はノーベル化学賞（ 1985年）を受賞した。^[4]

直接法の大部分は、X 線回折用に開発されました。しかし、電子回折にはいくつかの用途で利点があります。電子回折は、ナノサイズおよびミクロンサイズの粒子、分子、タンパク質を分析および特徴付けるための強力な手法です。電子回折は多くの場合動的であり、通常は運動学的である X 線回折と比較して理解が複雑ですが、構造決定に直接法を適用するのに十分な条件を備えた特定のケースがあります (詳細は後述)。

セイヤー方程式は、結晶構造に関する情報から得られた特定の仮定、具体的には、考慮されるすべての原子が同一であり、原子間の距離が最小であるという仮定に基づいて開発されました。^[1]「2乗法」と呼ばれるセイヤー方程式の重要な概念は、電子密度関数 (X 線回折の場合) または結晶ポテンシャル関数 (電子回折の場合) を 2 乗すると、元の 2 乗されていない同一で分解されたピークの関数に似た関数が得られるというものです。そうすることで、結晶の原子のような特徴が強化されます。

次の形式の構造因子を考えます。ここで、 は位置 にある各原子の原子散乱因子であり、 は原子 の位置です。 ${\displaystyle F({\textbf {k}})}$${\displaystyle f({\textbf {k}})}$${\displaystyle {\textbf {k}}}$${\displaystyle {\textbf {r}}}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle F({\textbf {k}})=\sum _{l}f({\textbf {k}})e^{2\pi {\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}_{l}}}$

これをN（原子の数）で割ることで単位構造因子に変換できます。 ${\displaystyle U({\textbf {k}})}$${\displaystyle f({\textbf {k}})}$

${\displaystyle U({\textbf {k}})={\frac {1}{N}}\sum _{l}e^{2\pi {\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}_{l}}}$

これを実空間と逆空間で書き直すと次のようになります。

${\displaystyle u({\textbf {r}})={\frac {1}{N}}\sum _{l}\delta ({\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{l})=Nu({\textbf {r}})^{2}}$

${\displaystyle U({\textbf {k}})=N\sum _{h}U({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})}$

この方程式は Sayre 方程式の変形です。この方程式に基づくと、との位相が既知であれば、 の位相も既知となります。 ${\displaystyle U({\textbf {k-h}})}$${\displaystyle U({\textbf {h}})}$${\displaystyle U({\textbf {k}})}$

三重項位相関係は、回折ビームの 2 つの既知の位相を別のビームの未知の位相に直接関連付ける方程式です。この関係は Sayre 方程式によって簡単に導き出すことができますが、ここに示すように、回折ビーム間の統計的関係によって実証することもできます。

ランダムに分布した原子の場合、次のことが当てはまります。

${\displaystyle N\langle U({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{l}e^{2\pi i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}_{l}}=U({\textbf {k}})}$

つまり、次の場合です:

${\displaystyle U({\textbf {k}})\approx N\langle U({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})\rangle }$

それから：

${\displaystyle |U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}})|^{2}=|U({\textbf {k}})|^{2}+N^{2}|U({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})|^{2}-2N|U({\textbf {k}})U({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})|\times cos(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))}$

上記の式では、右側の係数は既知です。未知の項は、位相を含む余弦項のみです。中心極限定理をここで適用すると、分布はガウス分布になる傾向があることが証明されます。既知の係数の項を組み合わせることで、位相に依存する分布関数を記述できます。 ${\displaystyle \langle |U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}})|^{2}\rangle =0}$

${\displaystyle P(U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}}))\approx Ce^{-|U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}})|^{2}}}$

${\displaystyle P(U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}}))\approx De^{2N|U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}})|\times cos(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))}}$

この分布はコクラン分布として知られています。^[5]このガウス関数の標準偏差は、単位構造因子の逆数に比例します。もしそれらが大きい場合、余弦項の合計は次のようになります。

${\displaystyle \phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}})\approx 2n\pi ,~~n=0,1,2...}$

${\displaystyle \phi ({\textbf {k}})\approx \phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}})}$

これは三重項位相関係（）と呼ばれます。位相とが分かっている場合は、位相を推定できます。 ${\displaystyle \Sigma _{2}}$${\displaystyle \phi ({\textbf {k-h}})}$${\displaystyle \phi ({\textbf {h}})}$${\displaystyle \phi ({\textbf {k}})}$

正接の公式は、1955年にジェローム・カールとハーバート・ハウプトマンによって初めて導き出されました。^[4]これは、既知の回折ビームの振幅と位相を、別の未知の位相に関連付けるものです。ここでは、コクラン分布を使用して導出されています。

${\displaystyle \prod _{h}P(U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}}))\approx 2NCe^{\sum _{h}|U({\textbf {k}})U({\textbf {k-h}})U({\textbf {k}})|\times cos(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))}}$

の最も可能性の高い値は、上記の式の導関数を取ることで見つけることができ、正接の公式の変形を与える：^[6]${\displaystyle \phi ({\textbf {h}})}$

${\displaystyle tan(\varphi ({\textbf {k}}))\approx {\frac {\sum _{h}|U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})|sin\phi ({\textbf {k-h}})+\phi ({\textbf {h}})}{\sum _{h}|U({\textbf {k}})-NU({\textbf {k-h}})U({\textbf {h}})|cos\phi ({\textbf {k-h}})+\phi ({\textbf {h}})}}}$

位相問題の背景にあるのは、画像を復元する際に位相情報の方が振幅情報よりも重要であるということです。これは、構造因子の位相項に位置が含まれているためです。ただし、位相情報を完全に正確に取得する必要はありません。位相にエラーがあっても、完全な構造判定が可能な場合がよくあります。同様に、振幅エラーは構造判定の精度に重大な影響を与えません。

直接法をデータセットに適用して構造決定を成功させるには、実験条件またはサンプル特性によって満たされる十分な条件が必要です。ここではいくつかのケースを概説します。^[6]

• 運動学的回折

直接法がもともと X 線回折の分析に開発された理由の 1 つは、ほぼすべての X 線回折が運動学的であるためです。ほとんどの電子回折は動的であり、解釈がより困難ですが、主に運動学的散乱強度を測定できる場合があります。具体的な例の 1 つは、平面図方向での表面回折です。平面図でサンプルの表面を分析する場合、サンプルは多くの場合、表面の回折ビームをバルクの回折ビームから分離するためにゾーン軸から傾けられます。ほとんどの場合、運動学的条件を達成することは困難であり、動的回折を最小限に抑えるには非常に薄いサンプルが必要です。

• 統計的運動学的回折

電子回折のほとんどのケースは動的ですが、統計的に運動学的な性質を持つ散乱を実現することは可能です。これにより、ランダムな位相からの動的散乱がほぼ運動学的なものになる非晶質および生物学的材料の分析が可能になります。さらに、前述のように、位相情報を完全に正確に取得することは重要ではありません。位相情報のエラーは許容されます。

コクラン分布を思い出し、その分布の 対数を考えてみましょう。

${\displaystyle D(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))=A({\textbf {k,h}}){\sqrt[{}]{I({\textbf {k}})I({\textbf {k-h}})I({\textbf {h}})}}\times cos(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))}$

${\displaystyle D(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))=B({\textbf {k,h}})cos(\phi ({\textbf {k}})-\phi ({\textbf {k-h}})-\phi ({\textbf {h}}))}$

上記の分布では、 には正規化項が含まれ、項は実験強度であり、 には簡略化のためにこれら両方が含まれています。ここで、最も可能性の高い位相は関数 を最大化します。強度が十分に高く、余弦項の合計が のままである場合、も大きくなり、 が最大化されます。このような狭い分布では、散乱データは統計的に運動学的考慮の範囲内になります。 ${\displaystyle A({\textbf {k}})}$${\displaystyle I({\textbf {k}})}$${\displaystyle B({\textbf {k,h}})}$${\displaystyle D({\textbf {k,h}})}$${\displaystyle \approx 0}$${\displaystyle B({\textbf {k,h}})}$${\displaystyle D({\textbf {k,h}})}$

• 強度マッピング

異なる強度を持つ 2 つの散乱ビームを考えてみましょう。その強度の大きさは、対応する散乱係数の振幅と次の関係で関連付けられる必要があります。

${\displaystyle I({\textbf {k}})>I({\textbf {k'}})~~iff~|F({\textbf {k}})|>|F({\textbf {k'}})|}$

) を同じビームの強度と位相を関連付ける関数とし、 には正規化項が含まれるもの とする。${\displaystyle T({\textbf {k}}}$${\displaystyle N({\textbf {k}})}$

${\displaystyle T({\textbf {k}})=e^{i\phi ({\textbf {k}})}{\sqrt[{}]{I({\textbf {k}})}}/N({\textbf {k}})}$

すると、値の分布はの値に直接関係することになります。つまり、積が大きいか小さい場合、も大きくか小さくなります。したがって、観測された強度を使用して、回折ビームの位相を合理的に推定することができます。観測された強度は、ブラックマンの公式を使用して、より正式に構造因子に関連付けることができます。^[7]${\displaystyle T({\textbf {k}})}$${\displaystyle F({\textbf {k}})}$${\displaystyle |F({\textbf {k}})F({\textbf {k-h}})F({\textbf {h}})|}$${\displaystyle |T({\textbf {k}})T({\textbf {k-h}})T({\textbf {h}})|}$

強度マッピングで考慮すべきその他のケースとしては、粉末回折や歳差電子回折などの特定の回折実験があります。特に、歳差電子回折は、直接法で適切に使用できる準運動学的回折パターンを生成します。

• 支配的散乱

場合によっては、サンプルからの散乱が 1 種類の原子によって支配されることがあります。したがって、サンプルからの出射波もその原子の種類によって支配されます。たとえば、チャネリングによって支配されるサンプルの出射波と強度は、逆格子空間で次の形式で表すことができます。

${\displaystyle \Psi ({\textbf {k}})=A({\textbf {k}})\sum _{l}e^{2\pi i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}_{l}}}$

${\displaystyle I({\textbf {k}})=|A({\textbf {k}})|^{2}{\bigg |}\sum _{l}e^{2\pi i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}_{l}}{\bigg |}^{2}}$

${\displaystyle A({\textbf {k}})}$は のフーリエ変換で、これは複素数であり、チャネリング状態（1s、2s など）によって与えられる原子の形状を表します。は逆格子空間では実数で、物体面では複素数です。 を共役対称関数で置き換えると、物体面から原子のような特徴を取得できます。 ${\displaystyle a({\textbf {r}})}$${\displaystyle A({\textbf {k}})}$${\displaystyle B({\textbf {k}})}$${\displaystyle A({\textbf {k}})}$

${\displaystyle B({\textbf {k}})=S({\textbf {k}})|A({\textbf {k}})|,where~S({\textbf {k}})=\pm 1}$

物体平面では、 のフーリエ変換は、原子列の位置で実対称擬似原子 ( ) になります。は、適度に小さく十分に離れている限り原子制約を満たし、それによって直接法の実装に必要ないくつかの制約を満たします。 ${\displaystyle B({\textbf {k}})}$${\displaystyle b({\textbf {r}})}$${\displaystyle b({\textbf {r}})}$

直接法は、構造決定のための一連のルーチンです。構造をうまく解決するために、直接法用のいくつかのアルゴリズムが開発されています。これらのアルゴリズムのいくつかを以下に説明します。

Gerchberg-Saxton アルゴリズムは、もともと Gerchberg と Saxton によって、回折面と結像面の両方で強度がわかっている波動関数の位相を解くために開発されました。^[8]しかし、このアルゴリズムは実空間または逆空間のあらゆる情報に一般化されています。ここでは、電子回折情報を使用した一般化について詳しく説明します。右の図に示すように、^[6]初期推定値に実空間と逆空間の制約を順次課して、実行可能な解に収束させることができます。

制約は物理的なものでも統計的なものでもかまいません。たとえば、データが透過型電子顕微鏡の散乱実験によって生成されるという事実は、原子性、結合長、対称性、干渉など、いくつかの制約を課します。制約は、コクラン分布と三重項位相関係 ( ) で前述したように、統計的な起源を持つ場合もあります。${\displaystyle \Sigma _{2}}$

Combettesによれば、画像回復問題は凸実行可能性問題として考えることができる。^[9]この考え方は、Marksらによって結晶学的位相問題に応用された。^[10]実行可能集合アプローチでは、制約は凸（収束性が高い）または非凸（収束性が弱い）と見なすことができます。前述のアルゴリズムを使用してこれらの制約を課すと、制約の凸性に応じて、 一意の解または一意でない解に収束する可能性があります。

電子回折データセットを用いた直接法は、さまざまな構造を解くために使用されてきました。前述のように、表面は電子回折において散乱が運動学的であるケースの1つです。そのため、多くの表面構造がX線回折と電子回折の直接法の両方によって解かれており、シリコン、酸化マグネシウム、ゲルマニウム、銅、チタン酸ストロンチウムの表面の多くが含まれています。^{[11] [12] [13]}

最近では、自動回折トモグラフィーや回転電子回折などの自動化された3次元電子回折法が開発されています。これらの技術は、直接的な方法による構造解析のデータを取得するために使用されており、ゼオライト、熱電材料、酸化物、金属有機構造体、有機化合物、金属間化合物に適用されています。^[14]これらのケースのいくつかでは、構造はX線回折データと組み合わせて解析されており、補完的な技術となっています。

さらに、クライオ電子顕微鏡技術である微結晶電子回折（MicroED）を用いた構造決定の直接的な方法を使用することで、ある程度の成功を収めています。^{[15] MicroEDは、結晶片、タンパク質、}酵素など、さまざまな材料に使用されています。^[16]

DIRDIF は、パターソン関数と、異なる構造因子に適用された直接法を使用して構造を決定するコンピュータ プログラムです。1999 年にナイメーヘン大学の Paul Beurkens 氏とその同僚によって初めてリリースされました。Fortranで記述されており、2008 年に最新の更新が行われました。重原子を含む構造、部分的に形状がわかっている分子の構造、および特定の特殊なケースの構造に使用できます。詳細情報は、Web サイト (http://www.xtal.science.ru.nl/dirdif/software/dirdif.html) で参照できます。

E lectron Direct Methodsは、ノースウェスタン大学のLaurence Marks教授によって開発されたプログラムセットです。最初のリリースは2004年で、最新のリリースは2010年のバージョン3.1です。C ++、C、Fortran 77で書かれたEDMは、高解像度の電子顕微鏡画像と回折パターンの画像処理と直接法を実行できます。標準のGNUライセンスがあり、非営利目的での使用と変更は自由です。直接法を使用して構造を解くために実行可能セットアプローチ^[10]と遺伝的アルゴリズム検索を使用し、高解像度の透過型電子顕微鏡画像のシミュレーション機能も備えています。詳細については、Webサイトhttp://www.numis.northwestern.edu/edm/index.shtmlを参照してください。コードは現在開発されていません。

OASIS は、中国科学院の数人の科学者によって最初に Fortran 77 で作成されました。最新のリリースは 2012 年のバージョン 4.2 です。これは、タンパク質構造の直接法位相決定用のプログラムです。頭字語OASIS は、 1波長A異常S散乱またはS単一I異形S置換タンパク質データの位相決定という 2 つの用途を表しています。これは、異常散乱体または重原子置換の原子位置を特定することで、位相の問題を符号の問題にまで減らします。詳細については、Web サイト http://cryst.iphy.ac.cn/Project/IPCAS1.0/user_guide/oasis.html を参照してください。

SIR (セミバリアント表現) プログラム スイートは、小分子の結晶構造を解くために開発されました。SIR は頻繁に更新およびリリースされており、最初のリリースは 1988 年、最新のリリースは 2014 年です。アブ イニシオ直接法と非アブ イニシオ直接法の両方に対応しています。このプログラムは Fortran および C++ で記述されており、学術目的での使用は無料です。SIR は、X 線または電子回折データから小～中サイズの分子およびタンパク質の結晶構造を決定するために使用できます。詳細については、Web サイト (http://www.ba.ic.cnr.it/softwareic/sir2014/) を参照してください。

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