高解像度透過型電子顕微鏡

位相コントラスト伝達関数は、顕微鏡の結像レンズの制限開口と収差の関数です。これは、出射波φ _e ( x , u )の位相に対するそれらの影響を記述し、それを像波に伝播させます。Williamsと Carter ^{[ 8 ]}に従って、弱い位相物体近似（薄いサンプル）を仮定すると、コントラスト伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle CTF(u)=A(u)E(u)2\sin(\chi (u))}$

ここで、A( u )は開口関数、E( u )は高空間周波数uにおける波の減衰を表す関数であり、包絡線関数とも呼ばれる。χ ( u )は電子光学系の収差の関数である。

コントラスト伝達関数の最後の正弦波項は、周波数uの成分が最終画像でコントラストに現れる符号を決定します。3 次までの球面収差とデフォーカスのみを考慮すると、χ は顕微鏡の光軸に関して回転対称であり、したがって、次の式で与えられるu = | u |の絶対値のみに依存します。

${\displaystyle \chi (u)={\frac {\pi }{2}}C_{s}\lambda ^{3}u^{4}-\pi \Delta f\lambda u^{2}}$

ここで、C _{_s}は球面収差係数、λは電子波長、Δ_fはデフォーカス量である。透過型電子顕微鏡では、デフォーカス量を容易に制御し、高精度で測定することができる。そのため、試料のデフォーカス量を調整することで、コントラスト伝達関数の形状を容易に変更できる。光学用途とは異なり、デフォーカス量を調整することで、顕微鏡画像の精度と解釈性を向上させることができる。

開口関数は、特定の臨界角（例えば対物レンズの極片によって決まる）を超える散乱ビームを遮断するため、達成可能な解像度を効果的に制限します。しかし、高角度で散乱されたビームの信号を減衰させ、透過空間周波数に最大値を与えるのは、通常はエンベロープ関数E( u )です。この最大値は、顕微鏡で達成可能な最高解像度を決定し、情報限界として知られています。E ( u ) は、個々のエンベロープの積として表すことができます。

${\displaystyle E(u)=E_{s}(u)E_{c}(u)E_{d}(u)E_{v}(u)E_{D}(u),\,}$

により

E _s ( u ) : 光源の角度広がり

E _c ( u ) : 色収差

E _d ( u ) : 標本のドリフト

E _v ( u ) : 試料の振動

E _D ( u ) : 検出器

試料のドリフトと振動は、安定した環境で最小限に抑えることができます。通常、空間コヒーレンスを制限し、E _s ( u )を定義するのは球面収差C _sであり、時間コヒーレンスE _c ( u )を定義するのは色収差C _cと電流および電圧の不安定性です。これら 2 つの包絡線は、空間周波数uの増加に伴ってフーリエ空間での信号伝達を減衰させることで、情報限界を決定します。

${\displaystyle E_{s}(u)=\exp \left[-\left({\frac {\pi \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\left({\frac {\delta \mathrm {X} (u)}{\delta u}}\right)^{2}\right]=\exp \left[-\left({\frac {\pi \alpha }{\lambda }}\right)^{2}(C_{s}\lambda ^{3}u^{3}+\Delta f\lambda u)^{2}\right],}$

ここで、α は試料を照らす光線束の半角です。明らかに、波動収差 (ここではC _sと Δ fで表されます) がゼロであれば、この包絡線関数は定数になります。C _sが固定された補正されていない透過型電子顕微鏡の場合、この包絡線関数による減衰は、画像が記録されるデフォーカス (リヒテデフォーカス) を最適化することによって最小限に抑えることができます。

時間的包絡線関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle E_{c}(u)=\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(\pi \lambda \delta \right)^{2}u^{4}\right],}$。

ここで、δは焦点広がりであり、色収差C _cをパラメータとする。

${\displaystyle \delta =C_{c}{\sqrt {4\left({\frac {\Delta I_{\text{obj}}}{I_{\text{obj}}}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta E}{V_{\text{acc}}}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta V_{\text{acc}}}{V_{\text{acc}}}}\right)^{2}}},}$

条件${\displaystyle \Delta I_{\text{obj}}/I_{\text{obj}}}$そして${\displaystyle \Delta V_{\text{acc}}/V_{\text{acc}}}$磁気レンズ内の全電流と加速電圧の不安定性を表す。${\displaystyle \Delta E/V_{\text{acc}}}$これは、光源から放出される電子のエネルギー分布を表します。

現在の最先端の透過型電子顕微鏡の情報限界は1 Åをはるかに下回っています。ローレンス・バークレー国立研究所のTEAMプロジェクトでは、非常に安定した機械的および電気的環境、超高輝度の単色化電子源、および二重六極収差補正器を使用することで、 2009年に0.5 Å未満の情報限界を達成した最初の透過型電子顕微鏡が実現しました^{[ 9 ]}。

高解像度透過型電子顕微鏡モードで電子顕微鏡の性能を最大限に引き出すには、最適なデフォーカスを選択することが非常に重要です。しかし、どれが最適かという単純な答えはありません。

ガウス焦点では、デフォーカスをゼロに設定すると、サンプルに焦点が合います。その結果、画像平面のコントラストはサンプルの最小領域から画像成分を得るため、コントラストは局所化されます（ぼやけがなく、サンプルの他の部分からの情報が重なることもありません）。コントラスト伝達関数は、 C _s u ⁴で急速に振動する関数になります。これは、空間周波数uを持つ特定の回折ビームの場合、記録された画像のコントラストへの寄与が逆転することを意味し、画像の解釈が困難になります。

φ _e ( x , u )を逆算するために、像面内の波を数値的に試料まで逆伝播させます。顕微鏡のすべての特性が既知であれば、実際の出射波を非常に高い精度で復元することが可能です。

しかし、まず最初に、像面における電子波の位相と振幅の両方を測定する必要があります。私たちの装置は振幅しか記録しないため、位相を復元するための別の方法を用いる必要があります。現在、以下の2つの方法が用いられています。

• 透過型電子顕微鏡用途のためにガボールによって開発されたホログラフィーは、プリズムを用いてビームを基準ビームと試料を通過するビームに分割します。この2つのビーム間の位相変化は干渉パターンのわずかなずれとして現れ、干渉波の位相と振幅の両方を復元することができます。
• 焦点系列法では、コントラスト伝達関数が焦点に依存するという事実を利用します。焦点を各撮影ごとに少しずつずらしながら、同じ撮影条件下で約20枚の画像を撮影します。コントラスト伝達関数の正確な知識と合わせて、この系列からφ _e ( x , u )を計算できます（図を参照）。

どちらの方法も、顕微鏡の点解像度を情報限界（特定の装置で達成可能な最高解像度）を超えて拡張します。この種のイメージングにおける理想的なデフォーカス値はリヒテデフォーカスと呼ばれ、通常は数百ナノメートルの負の値です。