二次微積分とコホモロジー物理学

数学において、二次微分積分学は、多様体上の古典的な微分積分​​学を、（非線形）偏微分方程式の解の「空間」に拡張することを提案する。これは、ジェット空間のレベルで、代数的手法を採用した洗練された理論である。

二次微分積分は、偏微分方程式（通常は非線形方程式）の解の空間に作用します。独立変数の数がゼロの場合（つまり、方程式がすべて代数的である場合）、二次微分積分は古典的な微分積分​​に簡約されます。

二次微分積分におけるすべてのオブジェクトは、微分複体のコホモロジー類であり、微分複体は二次微分積分の枠組みでは滑らかな多様体の類似体である。

コホモロジー物理学は、与えられた表面の内部に含まれる電荷を、表面自体を通る電場の流束によって記述するガウスの定理とともに生まれました。流束は微分形式の積分であり、したがって、ド・ラーム・コホモロジー類です。よく知られているストークスの公式などのこの種の公式は、古典的な微分積分​​学の自然な一部ではありますが、物理学から現代数学に入り込んだのは偶然ではありません。

古典的な微分積分​​学のすべての構成は、二次微分積分学に類似物がある。例えば、偏微分方程式系の高次対称性は、微分可能多様体上のベクトル場の類似物である。各変分問題に対応するオイラー・ラグランジュ方程式を関連付けるオイラー演算子は、多様体上の関数にその微分を関連付ける古典的な微分演算子の類似物である。オイラー演算子は、局所座標での表現によれば無限次の演算子のように見える場合でも、一次の二次微分演算子である。より一般的には、二次微分積分学における微分形式の類似物は、いわゆるC スペクトル列の第 1 項の要素などである。

最も単純な難しさは、無限ジェット空間の部分多様体である偏微分方程式の無限延長である。後者は、標準的な関数解析では研究できない無限次元多様体である。逆に、これらの対象を研究するための最も自然な言語は、可換代数上の微分積分である。したがって、後者は二次微分積分の基本ツールと見なされなければならない。一方、可換代数上の微分積分は、代数幾何学を微分幾何学であるかのように展開する可能性を与える。

量子場の理論とその一般化に基づく粒子物理学の最近の発展は、古典場と量子場の両方を記述する量の深いコホモロジー的性質の理解につながっています。 転機となったのは、有名なBRST 変換の発見でした。 たとえば、場の理論における観測量は、対応するゲージ群の下で不変である水平ド・ラーム・コホモロジーのクラスであることが理解されました。 現代の理論物理学におけるこの流れは実際に成長しており^[要出典]、コホモロジー物理学と呼ばれています。

20 年間互いに独立して発展してきた二次微積分学とコホモロジー物理学が同じ結果に到達したことは重要です。両者の合流は、国際会議「二次微積分学とコホモロジー物理学」 (モスクワ、1997 年 8 月 24 ～ 30 日) で起こりました。

二次微積分の枠組みには、可換代数と代数幾何学、ホモロジー代数と微分位相幾何学、リー群とリー代数理論、微分幾何学など、 多数の現代数学理論が調和的に収束しています。

• 可換代数上の微分積分 – 可換代数の一部フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 環のスペクトル – 環の素イデアルの集合

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