分布（微分幾何学）

数学の一分野である微分幾何学において、多様体上の超関数は、特定の性質を満たすベクトル部分空間の割り当てです。最も一般的な状況では、超関数は接束のベクトル部分束であることが求められます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}\subseteq T_{x}M}$ ${\displaystyle TM}$

さらなる積分可能条件を満たす分布は、葉脈、すなわち多様体をより小さな部分多様体への分割を生じます。これらの概念は、積分可能システム、ポアソン幾何学、非可換幾何学、部分リーマン幾何学、微分位相幾何学など、数学の多くの分野でさまざまな用途があります。

同じ名前を共有しているにもかかわらず、この記事で紹介されている分布は、分析の意味での 分布とはまったく関係がありません。

を滑らかな多様体とする。 （滑らかな）分布は、任意の点に滑らかな方法でベクトル部分空間を割り当てる。より正確には、次の性質を持つベクトル部分空間の集合からなる。任意の点の周りには近傍とベクトル場の集合が存在し、任意の点に対して、${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \{\Delta _{x}\subset T_{x}M\}_{x\in M}}$${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle N_{x}\subset M}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$${\displaystyle y\in N_{x}}$${\displaystyle \{X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)\}=\Delta _{y}.}$

滑らかなベクトル場の集合は、 の局所基底とも呼ばれます。これらはすべての点で線形独立である必要はなく、したがってすべての点で正式にはベクトル空間基底ではありません。したがって、局所生成集合という用語の方が適切です。 表記法は、割り当てとサブセットの両方を表すために使用されます。 ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}}$${\displaystyle \Delta =\amalg _{x\in M}\Delta _{x}\subseteq TM}$

整数 が与えられたとき、すべての部分空間の次元が同じである場合、上の滑らかな分布は階数 の正規分布と呼ばれます。局所的には、これはすべての局所基底が線形独立なベクトル場 によって与えられることを求めることに相当します。${\displaystyle n\leq m=\mathrm {dim} (M)}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

より簡潔に言えば、正規分布は階数のベクトル部分束 です(これは実際に最もよく使用される定義です)。階数分布は -平面分布と呼ばれることもあり、 の場合は超平面分布と呼ばれます。 ${\displaystyle \Delta \subset TM}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=m-1}$

特に明記しない限り、「分布」とは、（上で説明した意味での）滑らかな正規分布を意味します。

超関数 が与えられると、その切断は 上のベクトル場 から構成され、上のすべてのベクトル場の空間 のベクトル部分空間を形成します。(表記:は の切断の空間です) 超関数 がリー部分代数でもある場合、超関数は反転的であると呼ばれます。言い換えると、任意の 2 つのベクトル場 に対して、リー括弧は に属します。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq \Gamma (TM)={\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ガンマ (TM)}$${\displaystyle TM.}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle X,Y\in \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$

局所的には、この条件は、すべての点に対して、分布の局所基底が の近傍に存在し、すべての に対して、リー括弧がの範囲にある、つまり がの線形結合であることを意味する。${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.}$

反転分布は、積分可能なシステムの研究における基本的な要素です。関連する考え方はハミルトン力学にも存在します。シンプレクティック多様体上の2 つの関数とが、それらのポアソン括弧が消える場合、相互反転していると言われます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

階数分布の積分多様体は、任意のに対してとなる次元の部分多様体です。分布は、任意の点を通って積分多様体が存在する場合、積分可能と呼ばれます。したがって、バンドルの基底空間は、互いに素で、最大で、連結された積分多様体であり、葉とも呼ばれます。つまり、 はのn 次元の葉脈を定義します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T_{x}N=\Delta _{x}}$${\displaystyle x\in N}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \Delta \subset TM}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle M}$

局所的に、積分可能性は、あらゆる点に対して、あらゆる に対して、空間が座標ベクトル によって張られるような局所チャートが存在することを意味します。言い換えれば、あらゆる点が葉脈チャートを許容します。つまり、分布は葉脈の葉に接します。さらに、この局所的な特徴付けは、 が実可逆上三角ブロック行列の群(および-ブロック) である場合の-構造の積分可能性の定義と一致します。 ${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle (U,\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\})}$${\displaystyle y\in U}$${\displaystyle \Delta_{y}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \chi _{1}}}(y),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial \chi _{n}}}(y)}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (n\times n)}$${\displaystyle (m-n,m-n)}$

任意の積分可能分布は自動的に反転していることは容易にわかります。逆はそれほど簡単ではありませんが、フロベニウスの定理によって成立します。

任意の分布が与えられた場合、それに関連付けられたリーフラグは次のように定義される等級付けである。 ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$

${\displaystyle \Delta ^{(0)}\subseteq \Delta ^{(1)}\subseteq \ldots \subseteq \Delta ^{(i)}\subseteq \Delta ^{(i+1)}\subseteq \ldots }$

ここで、、 です。言い換えると、は の要素の -反復リー括弧によって張られるベクトル場の集合を表します。定義に負の減少の段階を使用する著者もいます。 ${\displaystyle \Delta ^{(0)}:=\Gamma (\Delta )}$${\displaystyle \Delta ^{(1)}:=\langle [\Delta ^{(0)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$${\displaystyle \Delta ^{(i+1)}:=\langle [\Delta ^{(i)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$${\displaystyle \Delta ^{(i)}\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$

そして、ネストされたベクトル部分束の列が存在し、それが存在する場合（したがって） 、 は弱正則（または一部の著者は単に正則）と呼ばれます。 ^[1]このような場合、 の階数がによって上から制限されるため、関連付けられたリーフラグはある点 で安定することに注意してください。整数の文字列はの成長ベクトルと呼ばれます。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \{T^{i}M\subseteq TM\}_{i}}$${\displaystyle \Gamma (T^{i}M)=\Delta ^{(i)}}$${\displaystyle T^{0}M=\Delta }$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle T^{i}M}$${\displaystyle \mathrm {rank} (TM)=\mathrm {dim} (M)}$${\displaystyle (\mathrm {rank} (\Delta ^{(0)}),\mathrm {rank} (\Delta ^{(1)}),\ldots ,\mathrm {rank} (\Delta ^{(m)}))}$${\displaystyle \Delta }$

任意の弱正規分布には、関連する次数付きベクトル束があります。さらに、ベクトル場のリー括弧は、任意の に対して、 -線型束射、つまり-曲率に下がります。特に、分布が反転している場合に限り、 -曲率が等しく消えます。 $${\displaystyle \mathrm {gr} (TM):=T^{0}M\oplus {\Big (}\bigoplus _{i=0}^{m-1}T^{i+1}M/T^{i}M{\Big )}\oplus TM/T^{m}M.}$$${\displaystyle i,j=0,\ldots ,m}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(TM)\times \mathrm {gr} _{j}(TM)\to \mathrm {gr} _{i+j+1}(TM)}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle (0,0)}$

曲率を継ぎ合わせると、レヴィ括弧とも呼ばれる射 が得られ、これは冪零リー代数の束になります。このため、は の冪零化とも呼ばれます。^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}:\mathrm {gr} (TM)\times \mathrm {gr} (TM)\to \mathrm {gr} (TM)}$${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)}$${\displaystyle (\mathrm {gr} (TM),{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \Delta }$

しかし、リー代数は点 を変化させたときに同型ではないため、バンドル は一般に局所的に自明ではありません。この場合、弱正則分布は正則（または一部の著者は強正則）とも呼ばれます。 ^{[説明が必要]}ここで使用されている名前（強正則、弱正則）は、上で説明した正則性の概念（常に想定されている）とはまったく関係がないことに注意してください。つまり、空間の次元は一定です。 ${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)\to M}$${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(T_{x}M):=T_{x}^{i}M/T_{x}^{i+1}M}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta _{x}}$

の有限個の元のリー括弧を取ることで、上のベクトル場の空間全体を生成するのに十分である場合、その超関数は括弧生成型（または非ホロノミック、あるいはヘルマンダー条件を満たす）と呼ばれます。上で導入した表記法を使用すると、特定の に対してそのような条件は と記述できます。また、 はステップで括弧生成型であり、深さ を持つとも言えます。 ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Delta ^{(m)}={\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m+1}$

明らかに、ブラケット生成分布の関連するリーフラグは点 で安定します。弱正則であることとブラケット生成であることは 2 つの独立した特性ですが (以下の例を参照)、分布が両方を満たす場合、2 つの定義からの整数は同じになります。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

チョウ・ラシェフスキーの定理により、連結多様体上の括弧生成分布が与えられた場合、内の任意の2点は分布に接する経路で結ばれることができる。^{[2] [3]}${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$${\displaystyle M}$

• 上の任意のベクトル場は、 を設定することにより、自動的に積分可能な階数 1 の分布を定義します。つまり、任意の積分曲線の像は積分多様体です。${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Delta _{x}:=\langle X_{x}\rangle \subseteq T_{x}M}$ ${\displaystyle \gamma :I\to M}$
• 上の階数の自明な分布は、最初の座標ベクトル場によって生成されます。これは自動的に積分可能であり、積分多様体は任意の定数に対して方程式 によって定義されます。${\displaystyle k}$${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$${\displaystyle \{x_{i}=c_{i}\}_{i=k+1,\ldots ,n}}$${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$
• 一般に、任意の可積分分布は弱正則分布（任意の に対して）ですが、括弧を生成することはありません。${\displaystyle \Delta ^{(i)}=\Gamma (\Delta )}$${\displaystyle i}$

• 上のマルティネ分布は、 に対してによって与えられます。同様に、これはベクトル場およびによって生成されます。 であるため、これは括弧生成ですが、弱正則ではありません。つまり、 面を除くすべての場所で階数 3 を持ちます。${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$${\displaystyle \omega =dy-z^{2}dx\in \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z^{2}{\frac {\partial }{\partial y}}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$${\displaystyle \Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$${\displaystyle z=0}$
• 上の接触分布は、に対して で与えられます。同様に、に対してベクトル場およびによって生成されます。これは弱正則で成長ベクトル を持ち、括弧生成で を持ちます。多様体上の抽象接触構造を、最大限に積分不可能な、つまり可能な限り反転から遠い超平面分布として定義することもできます。ダルブーの定理の類似物は、そのような構造が上記の唯一の局所モデルを持つことを示しています。${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n+1}}$${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$${\displaystyle \omega =dz+\sum _{i=1}^{n}x_{i}dy_{i}\in \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+y_{i}{\frac {\partial }{\partial z}}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle (2n,2n+1)}$${\displaystyle \Delta ^{(1)}={\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle M^{2n+1}}$
• 上のエンゲル分布は、およびに対してで与えられます。同様に、エンゲル分布はベクトル場およびによって生成されます。エンゲル分布は弱正則で、成長ベクトル を持ち、括弧生成です。多様体上の抽象エンゲル構造を、が階数 3、 が階数 4 であるような弱正則階数 2 分布として定義することもできます。エンゲルは、このような構造が上記の唯一の局所モデルを持つことを証明しました。^[4]${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \Delta =\ker(\omega _{1})\cap \ker(\omega _{2})\subseteq TM}$${\displaystyle \omega _{1}=dz-wdx\in \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle \omega _{2}=dy-zdx\in \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial w}}}$${\displaystyle (2,3,4)}$${\displaystyle M^{4}}$${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$${\displaystyle \Delta ^{(2)}}$
• 一般に、多様体上のGoursat 構造は、成長ベクトル を持つ、弱正則かつブラケット生成のランク 2 分布です。およびについては、それぞれ 3 次元多様体上の接触分布とエンゲル分布を回復します。 Goursat 構造は、ジェットバンドルのカルタン分布に局所的に微分同相です。${\displaystyle M^{k+2}}$${\displaystyle (2,3,\ldots ,k+1,k+2)}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle J^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

特異分布、一般化分布、またはシュテファン・サスマン分布は、正規ではない滑らかな分布です。これは、部分空間が異なる次元を持つ可能性があることを意味し、したがって、部分集合は滑らかな部分束ではなくなります。 ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$${\displaystyle \Delta \subset TM}$

特に、 を張る局所基底の要素の数はとともに変化し、それらのベクトル場はどこでも線形独立ではなくなります。 の次元が半連続 より低いことは容易にわかります。そのため、特別な点では次元が近くの点よりも低くなります。 ${\displaystyle \Delta _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta _{x}}$

上で示した積分多様体と積分可能性の定義は、特異なケースにも適用されます (固定次元の要件がなくなります)。ただし、フロベニウスの定理はこのコンテキストでは成立せず、一般に可積分性には反転性だけでは不十分です (低次元での反例が存在します)。

いくつかの部分的な結果の後、^[5]特異分布の積分可能性問題は、ステファン^{[6] [7]}とサスマン^{[8] [9]}によって独立に証明された定理によって完全に解決されました。この定理は、特異分布が積分可能であるのは、次の2つの性質が成り立つ場合のみであると述べています。 ${\displaystyle \Delta }$

• ${\displaystyle \Delta }$ベクトル場の族によって生成される。${\displaystyle F\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$
• ${\displaystyle \Delta }$はあらゆる に関して不変です。つまり、は の流れであり、です。${\displaystyle X\in F}$${\displaystyle (\phi _{X}^{t})_{*}(\Delta _{y})\subseteq \Delta _{\phi _{X}^{t}(y)}}$${\displaystyle \phi _{X}^{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y\in \mathrm {dom} (X)}$

通常の場合と同様に、積分可能な特異分布は特異葉構造を定義します。これは直感的に、異なる次元の部分 多様体（ の最大積分多様体）への の分割で構成されます。${\displaystyle M}$${\displaystyle \Delta }$

特異葉構造の定義は、いくつかの同等の方法で明確にすることができます。実際、文献には、ポアソン幾何学^{[10] [11]}や非可換幾何学^{[12] [13]など、どのような応用を念頭に置いているかに応じて、特異葉構造の異なる概念を使用して、ステファン}-サスマン定理のバリエーション、再定式化、一般^化が多数あります。

• 多様体上のリー群のリー群作用が与えられると、その無限小生成元は常に積分可能な特異分布を張ります。関連する特異葉層の葉は、まさに群作用の軌道です。分布/葉層は、作用が自由である場合に限り、正則です。${\displaystyle M}$
• ポアソン多様体 が与えられた場合、 の像は常に積分可能な特異分布です。関連する特異葉層の葉は、 のシンプレクティック葉とまったく同じです。分布/葉層は、ポアソン多様体が正則である場合に限り、正則です。${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle \pi ^{\sharp }=\iota _{\pi }:T^{*}M\to TM}$${\displaystyle (M,\pi )}$
• より一般的には、任意のリー代数のアンカー マップの像は、自動的に積分可能な特異分布を定義し、関連する特異葉層の葉は、まさにリー代数の葉です。分布/葉層が正則なのは、階数が一定である場合、つまりリー代数が正則な場合のみです。それぞれ、リー代数の作用とリー代数の余接を考慮すると、上記の 2 つの例が再現されます。${\displaystyle \rho :A\to TM}$ ${\displaystyle A\to M}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle M\times {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T^{*}M}$
• 動的システムでは、与えられた分布と交換するベクトル場の集合から特異分布が生じます。
• 一般化分布がシステムの微小な制約を表す制御理論の例と応用もあります。

• ウィリアム・M・ブースビー。セクションIV.8、「微分可能多様体とリーマン幾何学入門」、アカデミック・プレス、サンディエゴ、カリフォルニア、2003年。
• John M. Lee、「滑らかな多様体入門」第 19 章、Graduate Texts in Mathematics、Springer-Verlag、2003 年。
• Richard Montgomery、「A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications」の第 2 章、第 4 章、第 6 章。Mathematical Surveys and Monographs 91。Amer . Math. Soc.、Providence、RI、2002 年。
• アルバロ・デル・ピノ、接線分布の研究における位相幾何学的側面。マテマティカのテキスト。セリエB、 48。コインブラ大学、2019年。
• 「インボリューティブ分布」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

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