デルタ電位

量子力学において、デルタ電位は、ディラックのデルタ関数（一般化関数）によって数学的に記述される電位井戸です。定性的には、1 点を除き、どこでもゼロの電位に相当し、1 点のみ無限大の値をとります。これを使用して、2 つの領域の間に障壁がある空間の 2 つの領域で粒子が自由に移動できる状況をシミュレートできます。たとえば、電子は導電性材料内でほぼ自由に移動できますが、2 つの導電性表面を近づけると、それらの間のインターフェイスは、デルタ電位で近似できる電子の障壁として機能します。

デルタポテンシャル井戸は有限ポテンシャル井戸の極限ケースであり、井戸の幅を狭めてポテンシャルを増大させながら、井戸の幅とポテンシャルの積を一定に保った場合に得られます。

この記事では、簡潔にするために 1 次元のポテンシャル井戸のみを考慮していますが、分析はより多くの次元に拡張できます。

ポテンシャルV ( x )内の 1 次元粒子の波動関数ψ ( x )に対する時間に依存しないシュレーディンガー方程式は、 ħが換算プランク定数、E が粒子の エネルギーである、 という式です 。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$$

デルタ電位は、 δ ( x )がディラックのデルタ関数 である電位です 。 $${\displaystyle V(x)=\lambda \delta (x),}$$

λが負の場合はデルタポテンシャル井戸と呼ばれ、λが正の場合はデルタポテンシャル障壁と呼ばれます。デルタは、簡単にするために原点で発生するように定義されています。デルタ関数の引数がシフトしても、以下の結果は変わりません。

出典: ^[1]

ポテンシャルは空間を2つの部分に分割します（x < 0とx > 0）。これらの各部分ではポテンシャルはゼロであり、シュレーディンガー方程式は 定数係数の線形微分方程式 に簡約され、その解はe ^ikxとe ^{− ikx}の線形結合であり、波数kはエネルギーと次のように関係しています。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi ;}$$ $${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}.}$$

一般に、原点にデルタポテンシャルが存在するため、解の係数は両方の半空間で同じである必要はありません。 ここで、正のエネルギー（実数k） の場合、 e ^{ikx は}右に進む波を表し、e ^{− ikx は}左に進む波を表します。 $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{r}}e^{ikx}+A_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x<0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{ikx}+B_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x>0,\end{cases}}}$$

波動関数が原点で連続していると仮定すると、係数間の関係が得られます。 $${\displaystyle \psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},}$$

2番目の関係は、波動関数の導関数を調べることで見つけることができます。通常、原点に微分可能性を課すこともできますが、デルタポテンシャルのためにこれは不可能です。しかし、シュレーディンガー方程式をx = 0 の周りで区間[− ε、 + ε ]にわたって積分すると、次のようになります。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi (x)\,dx.}$$

ε → 0の極限では、この式の右辺は消え、左辺は となる。 この式に ψ の定義を代入すると、次の ように なる。$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)]+\lambda \psi (0),}$$$${\displaystyle \int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx=[\psi '(+\varepsilon )-\psi '(-\varepsilon )].}$$$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+\lambda (A_{r}+A_{l})=0.}$$

境界条件は係数に次のような制限を与える。 $${\displaystyle {\begin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0,\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l}).\end{cases}}}$$

1次元の引力ポテンシャルには束縛状態が存在する。そのエネルギーを求めるには、E < 0の場合、k = i √ 2 m | E | / ħ = iκ は虚数であり、上記の計算で正のエネルギーに対して振動していた波動関数は、xの指数関数的に増加または減少する関数になる（上記参照）ことに注意する。波動関数が無限大で発散しないことを条件とすることで、項の半分が除去される：A _r = B _l = 0。すると、波動関数は次のようになる。 $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{l}}e^{\kappa x},&{\text{ if }}x\leq 0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{-\kappa x},&{\text{ if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$

境界条件と正規化条件から、 λ は負でなければならない、つまり、束縛状態は井戸に対してのみ存在し、障壁に対しては存在しないということがわかります。この波動関数のフーリエ変換は ローレンツ関数です。 $${\displaystyle {\begin{cases}A_{\text{l}}=B_{\text{r}}={\sqrt {\kappa }},\\\kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}},\end{cases}}}$$

束縛状態のエネルギーは $${\displaystyle E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}.}$$

正のエネルギーの場合、粒子は半空間（x < 0またはx > 0）で自由に移動できます。デルタ関数ポテンシャルで散乱される可能性があります。

量子の場合は、次の状況で研究することができます。障壁の左側から粒子が入射します( A _r )。粒子は反射される( A _l )か、透過される( B _r )可能性があります。左から入射した場合の反射と透過の振幅を求めるには、上記の式にA _r = 1 (入射粒子)、A _l = r (反射)、B _l = 0 (右から入射粒子なし)、B _r = t (透過) を代入し、tに関する式がなくてもrとtについて解きます。結果は次のようになります。 $${\displaystyle t={\cfrac {1}{1-{\cfrac {m\lambda }{i\hbar ^{2}k}}}},\quad r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}.}$$

モデルの鏡面対称性により、右からの入射の振幅は左からの入射の振幅と同じになります。その結果、 粒子が反射される確率はゼロではありません。これはλの符号には依存しません。つまり、障壁が粒子を反射する確率は井戸と同じです。これは古典力学との大きな違いです。古典力学では、障壁の反射確率は 1 (粒子は単に跳ね返る)、井戸の反射確率は 0 (粒子は妨げられずに井戸を通過する) です。 $${\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}}$$

感染の確率は $${\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}.}$$

上記の計算は、一見非現実的でほとんど役に立たないように思えるかもしれません。しかし、さまざまな現実のシステムに適したモデルであることが証明されています。

一例として、2 つの導電性材料間の界面が挙げられます。材料の大部分では、電子の運動は準自由であり、有効質量 mを持つ上記のハミルトニアンの運動項で記述できます。多くの場合、このような材料の表面は酸化物層で覆われていたり、その他の理由で理想的ではありません。この薄い非導電性層は、上記のように局所デルタ関数ポテンシャルでモデル化できます。電子は、一方の材料からもう一方の材料にトンネルして電流を発生させます。

走査トンネル顕微鏡(STM)の動作は、このトンネル効果に依存しています。その場合、障壁は STM の先端と下にある物体の間の空気によるものです。障壁の強さは、2 つの物体が離れているほど分離が強くなることに関係しています。この状況のより一般的なモデルについては、有限ポテンシャル障壁 (QM)を参照してください。デルタ関数ポテンシャル障壁は、非常に高く狭い障壁について検討されたモデルの極限ケースです。

上記のモデルは 1 次元ですが、周囲の空間は 3 次元です。したがって、実際には、シュレーディンガー方程式を 3 次元で解く必要があります。一方、多くのシステムは 1 つの座標方向に沿ってのみ変化し、他の方向に沿っては並進不変です。したがって、シュレーディンガー方程式は、ここで検討されているタイプの波動関数の仮定によって簡約できます。 ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!}$

あるいは、デルタ関数を一般化して、ある領域Dの表面上に存在するようにすることもできる（指示子のラプラシアンを参照）。^[2]

デルタ関数モデルは、実際には、ダドリー・R・ハーシュバッハのグループによって開発された次元スケーリング法に従った水素原子の1次元バージョンです^[3] デルタ関数モデルは、次のセクションに示すように、 水素分子イオンの1次元バージョンを表す二重井戸ディラックデルタ関数モデルで特に有用になります。

二重井戸のディラックのデルタ関数は、対応するシュレーディンガー方程式によって二原子水素分子をモデル化します。 ここで、ポテンシャルは となり 、ここで は「核間」距離で、ディラックのデルタ関数 (負) のピークはx = ± R /2にあります(図では茶色で表示)。このモデルと 3 次元の分子の対応関係を念頭に置いて、原子単位を使用し、 と設定します。ここでは、正式に調整可能なパラメーターです。単一井戸の場合から、解の 「仮説」は であると推測できます。 ディラックのデルタ関数のピークでの波動関数のマッチングにより、行列式が生成されます。 したがって、 は、 2 つの解 を持つ擬似 2 次方程式 によって支配されていることがわかります。電荷が等しい場合（対称的な同核の場合）、λ = 1であり、擬似二次方程式は に簡約されます。 "+" の場合は、中点（図では赤で表示）について対称な波動関数に対応し、A = Bとなり、gerade と呼ばれます。同様に、 "−" の場合は、中点（ A = − B ）について反対称な波動関数であり、 ungeradeと呼ばれます（図では緑で表示）。これらは、3 次元の 2 つの最低離散エネルギー状態の近似値を表し、その解析に役立ちます。対称電荷の場合のエネルギー固有値の解析解は^[4]で与えられ 、W は標準のLambert W関数です。最低エネルギーは対称解 に対応することに注意してください。電荷が等しくない場合、そして 3 次元分子の問題の場合、解はLambert W関数の一般化によって与えられます( Lambert W 関数 § 一般化を参照)。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$$$${\displaystyle V(x)=-q\left[\delta \left(x+{\frac {R}{2}}\right)+\lambda \delta \left(x-{\frac {R}{2}}\right)\right],}$$${\displaystyle 0<R<\infty }$${\displaystyle \hbar =m=1}$${\displaystyle 0<\lambda <1}$$${\displaystyle \psi (x)=Ae^{-d\left|x+{\frac {R}{2}}\right|}+Be^{-d\left|x-{\frac {R}{2}}\right|}.}$$$${\displaystyle {\begin{vmatrix}q-d&qe^{-dR}\\q\lambda e^{-dR}&q\lambda -d\end{vmatrix}}=0,\quad {\text{where }}E=-{\frac {d^{2}}{2}}.}$$${\displaystyle d}$$${\displaystyle d_{\pm }(\lambda )={\frac {1}{2}}q(\lambda +1)\pm {\frac {1}{2}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\lambda q^{2}\left[1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}\right]\right\}^{1/2},}$$${\displaystyle d=d_{\pm }}$$${\displaystyle d_{\pm }=q\left[1\pm e^{-d_{\pm }R}\right].}$$${\displaystyle {\ce {H2^+}}}$ $${\displaystyle d_{\pm }=q+W(\pm qRe^{-qR})/R,}$$${\displaystyle d_{+}}$

最も興味深いケースの1つはqR  ≤ 1のときで、これは となる。したがって、 E = 0の非自明な境界状態解が得られる。これらの特定のパラメータに対して、多くの興味深い特性が発生するが、その1つは、透過係数がゼロエネルギーで1になるという珍しい効果である。^[5]${\displaystyle d_{-}=0}$

• 自由粒子
• 箱の中の粒子
• 有限ポテンシャル井戸
• リング内の粒子
• 球対称ポテンシャル内の粒​​子
• 量子調和振動子
• 水素原子または水素類似原子
• リング導波管
• 1次元格子内の粒子（周期ポテンシャル）
• 水素分子イオン
• ホルスタイン・ニリング法
• 指標のラプラシアン
• 解析解を持つ量子力学システムの一覧

• グリフィス、デイビッド・J. (2005)。量子力学入門（第2版）。プレンティス・ホール。pp. 68–78。ISBN 978-0-13-111892-8。
• 3 次元の場合、「デルタ シェル ポテンシャル」を参照してください。さらに詳しくは、K. Gottfried (1966)、「Quantum Mechanics Volume I: Fundamentals」、ch. III、sec. 15 を参照してください。

• ウィキメディア・コモンズのデルタの潜在力に関するメディア