チョウラ・セルバーグ式

数学において、チョウラ・セルバーグの公式は、有理数におけるガンマ関数の値の積を、虚数二次無理数におけるデデキント・イータ関数の値で表す公式である。この結果は、もともとレルヒ（1897年）によって発見され、チョウラとセルバーグ（1949年、1967年）によって再発見された。  

対数形式では、チョウラ・セルバーグの公式は、特定の場合には合計が

${\displaystyle {\frac {w}{4}}\sum _{r}\chi (r)\log \Gamma \left({\frac {r}{D}}\right)={\frac {h}{2}}\log(4\pi {\sqrt {|D|}})+\sum _{\tau }\log \left({\sqrt {\Im (\tau )}}|\eta (\tau )|^{2}\right)}$

はクロネッカーの極限公式を用いて評価できます。ここで、χ はDを法とする二次剰余記号であり、−Dは虚二次体の判別式です。和は 0 < r < Dについて取られ、 rとD が共通因数を持つ場合は χ( r ) = 0 という通常の慣例に従います。関数 η はデデキントのイータ関数であり、hは類数、wは 1 の根の数です。

このような公式の起源は、複素乗法理論、特にCM型アーベル多様体の周期理論にあることが現在では明らかになっている。このことから、多くの研究と一般化が進められてきた。特に、p進数に対するChowla–Selberg公式の類似物があり、p進ガンマ関数を用いてGross–Koblitz公式と呼ばれている。

チョウラ・セルバーグの公式は、イータ関数の値の有限積の公式を与える。これを複素乗法の理論と組み合わせることで、イータ関数の個々の絶対値の公式を与えることができる。

${\displaystyle \Im (\tau )|\eta (\tau )|^{4}={\frac {\alpha }{4\pi {\sqrt {|D|}}}}\prod _{r}\Gamma (r/|D|)^{\chi (r){\frac {w}{2h}}}}$

ある代数的数αに対して。

ガンマ関数にオイラーの反射公式を用いると、次のようになる。

• ${\displaystyle \eta (i)=2^{-1}\pi ^{-3/4}\Gamma ({\tfrac {1}{4}})}$

• 乗法定理

• Chowla, S.; Selberg, Atle (1949)、「エプスタインのゼータ関数について。I」、米国科学アカデミー紀要、35 (7): 371–374、Bibcode : 1949PNAS...35..371C、doi : 10.1073/pnas.35.7.371、ISSN 0027-8424、JSTOR 88112、MR 0030997、PMC 1063041、PMID 16588908     
• チョウラ、サルバダマン。Selberg、Atle (1967)、「エプスタインのゼータ関数について」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1967 (227): 86–110、doi : 10.1515/crll.1967.227.86、MR 0215797、S2CID 201060556  
• Lerch、Mathias ( 1897)、「Sur quelques Formulas親戚au nombre des class」、Bulletin des Sciences Mathématiques、21：290–304
• Schappacher, Norbert (1988), Periods of Hecke Characters , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1301, Berlin: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0082094 , ISBN 978-3-540-18915-2MR 0935127​