電界スクリーニング

物理学において、遮蔽とは、可動電荷キャリアの存在によって引き起こされる電界の減衰です。遮蔽は、イオン化ガス ( 古典的プラズマ)、電解質、電子導体 (半導体、金属) 内の電荷キャリアなどの電荷を運ぶ流体の挙動の重要な部分です。与えられた誘電率εを持ち、電気的に帯電した構成粒子で構成される流体では、各粒子ペア ( 電荷q ₁およびq ₂ ) は、クーロン力によって次のよう に相互作用します。 ここで、ベクトルrは電荷間の相対位置です。この相互作用により、流体の理論的処理が複雑になります。たとえば、基底状態のエネルギー密度の単純な量子力学的計算では無限大になりますが、これは不合理です。難しいのは、クーロン力が距離とともに1/ r ²に減少するにもかかわらず、流体がかなり等方性であると仮定すると、各距離rにおける粒子の平均数はr ²に比例するという事実です。その結果、ある一点における電荷の変動は、遠距離においては無視できない影響を及ぼします。 $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {r} \right|^{2}}}{\hat {\ mathbf {r} }},}$$

実際には、これらの長距離効果は、電界に反応する粒子の流れによって抑制されます。この流れにより、粒子間の有効な相互作用が短距離の「遮蔽された」クーロン相互作用にまで減少します。このシステムは、繰り込み相互作用の最も単純な例に相当します。^[1]

固体物理学、特に金属や半導体において、遮蔽効果は固体内部のイオンの静電場とクーロンポテンシャルを表します。遮蔽効果により原子核やイオン内部の電場が減少するのと同様に、導電性固体内のイオンの電場は伝導電子の雲によってさらに減少します。

均一な正電荷の背景（一成分プラズマ）内を移動する電子からなる流体を考えてみましょう。各電子は負電荷を持っています。クーロン相互作用によると、負電荷は互いに反発します。その結果、この電子は他の電子を反発し、電子が少ない小さな領域を周囲に作ります。この領域は、正電荷を帯びた「遮蔽穴」として扱うことができます。遠くから見ると、この遮蔽穴は、電子によって生成された電場を打ち消す、重ね合わせた正電荷の効果があります。電子の電場は、穴の領域内の短い距離でのみ検出できます。プラズマの場合、この効果は- 体計算によって明示的に表すことができます。^{[2] : §5}背景が正イオンで構成されている場合、対象の電子によるそれらの引力により、上記の遮蔽メカニズムが強化されます。原子物理学では、複数の電子殻を持つ原子に、遮蔽効果という適切な効果があります。プラズマ物理学では、電場遮蔽はデバイ遮蔽または遮蔽とも呼ばれます。これは、プラズマが接触している物質の隣にある シース (デバイ シース) によってマクロスケールで現れます。${\displaystyle N}$

遮蔽ポテンシャルは、金属中の原子間力とフォノン 分散関係を決定します。遮蔽ポテンシャルは、擬ポテンシャルモデルと組み合わせて、さまざまな材料の電子バンド構造を計算するために使用されます。遮蔽効果により、独立電子近似が実現され、これにより、ドルーデ モデル、自由電子モデル、ほぼ自由電子モデルなどの固体の入門モデルの予測力が説明されます。

静電遮蔽に関する最初の理論的研究は、ピーター・デバイとエーリッヒ・ヒュッケル^[3]によって行われ、流体中に埋め込まれた静止した点電荷を扱った。

重く正に帯電したイオンの背景にある電子の流体を考えてみましょう。簡単にするために、イオンの動きと空間分布は無視し、均一な背景電荷として近似します。イオン間の距離よりもはるかに大きい距離を考慮する場合、電子はイオンよりも軽く、動きやすいため、この単純化は許容されます。凝縮物質物理学では、このモデルはジェリウムと呼ばれます。

ρ を電子の数密度、φ を電位とします。最初は、電子は均等に分布しており、どの点でも正味電荷はゼロです。したがって、φも最初は定数です。

ここで、原点に固定点電荷Q を導入します。関連する電荷密度はQδ ( r ) で、δ ( r ) はディラックのデルタ関数です。システムが平衡状態に戻った後、電子密度と電位の変化をそれぞれ Δ ρ ( r ) と Δ φ ( r ) とします。電荷密度と電位はポアソン方程式によって関連付けられ、次のように表されます。 ここで、ε _0は真空の誘電率です。 $${\displaystyle -\nabla ^{2}[\Delta \phi (r)]={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[Q\delta (r)-e\Delta \rho (r )],}$$

次に進むには、 ΔρとΔφ を関連付ける 2 番目の独立した方程式を見つける必要があります。2 つの量が比例する 2 つの近似値を検討します。1 つは高温 (例: 古典的プラズマ) で有効な Debye-Hückel 近似値、もう 1 つは低温 (例: 金属内の電子) で有効な Thomas-Fermi 近似値です。

デバイ・ヒュッケル近似^[3]では、流体粒子がマクスウェル・ボルツマン統計に従うのに十分高い温度Tでシステムを熱力学的平衡に保つ。空間の各点において、エネルギーjを持つ電子の密度は、k _Bがボルツマン定数で ある形をとる 。φを摂動させて指数関数を1次展開すると、次 の式 が得られる 。$${\displaystyle \rho _{j}(r)=\rho _{j}^{(0)}(r)\;\exp \left[{\frac {e\phi (r)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]}$$$${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$$$${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {\rho e^{2}}{\varepsilon _{0}k_{\mathrm { B} }T}}}}$$

関連した長さλ _D ≡ 1/ k ₀はデバイ長と呼ばれます。デバイ長は古典的プラズマの基本的な長さのスケールです。

トーマス・フェルミ近似^[4]は、ルウェリン・トーマスとエンリコ・フェルミにちなんで名付けられ、システムは一定の電子化学ポテンシャル（フェルミ準位）と低温に維持されます。前者の条件は、実際の実験では、金属/流体を接地と一定の電位差で電気的に接触させ続けることに対応します。化学ポテンシャルμは、定義により、流体に余分な電子を追加するエネルギーです。このエネルギーは、運動エネルギーTの部分とポテンシャルエネルギー-eφの部分に分解できます。化学ポテンシャルは一定に保たれているので、 $${\displaystyle \Delta \mu =\Delta Te\Delta \phi =0.}$$

温度が極端に低い場合、電子の挙動はフェルミ気体の量子力学モデルに近づきます。したがって、T をフェルミ気体モデルの追加電子の運動エネルギーで近似すると、これは単にフェルミエネルギーE _Fになります。3D システムのフェルミエネルギーは、電子密度 (スピン縮退を含む) と次の式で関連しています 。 ここで、 k _Fはフェルミ波数ベクトルです。1 次摂動法では、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle \rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {4}{3}}\pi k_{\mathrm {F} }^{3}\right),\quad E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}},}$$$${\displaystyle \Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{2E_{\mathrm {F} }}}\Delta E_{\mathrm {F} }.}$$

これを上記の Δ μの式に代入すると、次の式が得られます 。 これ は トーマス・フェルミ遮蔽波ベクトルと呼ばれます。 $${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$$$${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{2\varepsilon _{0}E_{\mathrm {F} }}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{\mathrm {F} }}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}}$$

この結果は、相互作用しない電子のモデルであるフェルミ気体の方程式から導かれますが、私たちが研究している流体にはクーロン相互作用が含まれています。したがって、トーマス・フェルミ近似は、電子密度が低く、粒子の相互作用が比較的弱い場合にのみ有効です。

デバイ・ヒュッケル近似またはトーマス・フェルミ近似からの結果をポアソン方程式に挿入できるようになりました。結果は となり、 これは遮蔽ポアソン方程式 として知られています。解は となり、 これは遮蔽クーロンポテンシャルと呼ばれます。これはクーロンポテンシャルに指数減衰項を乗じたものであり、減衰係数の強さはデバイまたはトーマス・フェルミ波動ベクトルk _{0の大きさで与えられます。このポテンシャルは}湯川ポテンシャルと同じ形式であることに注意してください。この遮蔽により誘電関数 が生成されます。 $${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r),}$$$${\displaystyle \phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r},}$$ ${\displaystyle \varepsilon (r)=\varepsilon _{0}e^{k_{0}r}}$

力学的-体アプローチは、遮蔽効果とランダウ減衰の導出を同時に提供する。^{[2] [5]}これは、電子が速度分散を持つ1成分プラズマの単一の実現を扱っている（熱プラズマの場合、半径がデバイ長である体積であるデバイ球内に多くの粒子が存在する必要がある）。電子自身の電場内での線形運動を使用すると、次のタイプの方程式が得られる。 ${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}\Phi =S,}$$

ここでは線形演算子、は粒子によるソース項、 は静電ポテンシャルのフーリエ・ラプラス変換です。 の粒子の離散和を滑らかな分布関数の積分に代入すると、 が得られます。 ここではプラズマの誘電率、または誘電関数で、古典的には線形化されたVlasov-Poisson 方程式によって得られます。^{[6] : §6.4}は波数ベクトル、は周波数、 は粒子によるソース項の合計です。 ^{[2] : 式 20}${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$$${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )\,\Phi (\mathbf {k} ,\omega )=S(\mathbf {k} ,\omega ),}$$${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$${\displaystyle N}$

逆フーリエ・ラプラス変換により、各粒子によるポテンシャルは 2 つの部分の合計になります^{[2] : §4.1} 1 つは粒子によるラングミュア波の励起に対応し、もう 1 つはテスト粒子を含む線形化された Vlasovian 計算によって古典的に得られる遮蔽ポテンシャルです。 ^{[6] : §9.2}遮蔽ポテンシャルは、熱プラズマと熱粒子に対する上記の遮蔽されたクーロンポテンシャルです。より高速の粒子の場合、ポテンシャルは変更されます。^{[6] : §9.2}滑らかな分布関数の積分を の粒子の離散和に代入すると、ランダウ減衰の計算を可能にする Vlasovian 表現が得られます。^{[6] : §6.4}${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$

実際の金属では、遮蔽効果はトーマス・フェルミ理論で上で説明したものよりも複雑です。電荷キャリア（電子）が任意の波数ベクトルで応答できるという仮定は、単なる近似です。しかし、フェルミ面内またはフェルミ面上の電子がフェルミ波数ベクトルよりも短い波数ベクトルで応答することはエネルギー的に不可能です。この制約はギブス現象に関連しており、空間で急速に変化する関数のフーリエ級数は、級数内の非常に多くの項が保持されない限り、良い近似ではありません。物理学では、この現象はフリーデル振動として知られており、表面遮蔽とバルク遮蔽の両方に適用されます。いずれの場合も、正味の電場は空間で指数関数的に減少するのではなく、逆べき乗法則に振動項を乗じたものとして減少します。理論計算は、量子流体力学と密度汎関数理論（DFT）から得ることができます。

• ビェルムの長さ
• デバイ長

• フィッツパトリック、リチャード (2011-03-31)。「デバイ シールド」。テキサス大学オースティン校。2018年 7 月 12 日閲覧。