フリーデル振動

フリーデル振動^[1]は、フランスの物理学者ジャック・フリーデルにちなんで名付けられ、フェルミガスまたはフェルミ液体の欠陥によって引き起こされる金属系または半導体系の局所的な摂動から生じる。^{[2]フリーデル振動は、イオンプール内の荷電種の}電荷遮蔽の量子力学的類似物である。電荷遮蔽はイオンプールの構成を記述するために点実体処理を利用するのに対し、フェルミ流体またはフェルミガス内のフェルミオンを記述するフリーデル振動は、準粒子または散乱処理を必要とする。このような振動は、摂動付近のフェルミオン密度の特徴的な指数関数的減衰と、それに続くsinc関数に似た継続的な正弦波減衰を示す。2020年には、金属表面で磁気フリーデル振動が観測された。^{[3] [4]}

簡単なモデルとして、半空間 内の 1 次元電子ガスを考えます。電子は半空間 に侵入しないため、電子波動関数の境界条件は です。この条件を満たす振動波動関数は です。 ${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x\leq 0}$${\displaystyle \psi (x=0)=0}$

${\displaystyle \psi _{k}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin kx}$、

ここで は電子波数ベクトル、 は1次元ボックスの長さです（ここでは「ボックス」正規化を使用します）。縮退した電子ガスを考えます。つまり、電子はフェルミエネルギーよりも低いエネルギーを持つ状態を満たします。すると、電子密度は次のように計算されます。 ${\displaystyle k>0}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E_{\rm {F}}}$${\displaystyle n(x)}$

${\displaystyle n(x)=2\sum _{k<k_{F}}|\psi _{k}(x)|^{2}}$、

ここで、フェルミ波数ベクトル 未満のすべての波数ベクトルにわたって和が取られ、係数 2 はスピンの縮退を考慮している。和を積分に変換すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle k_{\rm {F}}={\sqrt {2mE_{\rm {F}}/\hbar ^{2}}}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle n(x)=2{\frac {L}{\pi }}\int \limits _{0}^{k_{\rm {F}}}|\psi _{k}(x)|^{2}dk={\frac {2k_{\rm {F}}}{\pi }}\left(1-{\frac {\sin 2k_{\rm {F}}x}{2k_{\rm {F}}x}}\right)}$。

境界によって電子密度が乱され、境界付近の周期で空間振動が生じることがわかります。これらの振動は、 によっても与えられる減衰長でバルクに減衰します。 では、電子密度は 1 次元電子ガスの非摂動密度に等しくなります。 ${\displaystyle \lambda _{\rm {F}}=\pi /k_{\rm {F}}}$${\displaystyle \lambda _{\rm {F}}}$${\displaystyle x\to +\infty }$${\displaystyle 2k_{\rm {F}}/\pi }$

金属や半導体中を移動する電子は、平面波のような波動関数を持つフェルミ気体の自由電子のように振る舞う。つまり、

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega }}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf { r} }}$。

金属中の電子はフェルミ粒子であり、フェルミ・ディラック統計に従うため、通常の気体中の粒子とは異なった振る舞いをします。この振る舞いは、気体中のすべてのk状態は、反対のスピンを持つ 2 つの電子によってのみ占有されることを意味します。占有された状態は、バンド構造 k空間内の球を、いわゆるフェルミエネルギーと呼ばれる一定のエネルギー レベルまで満たします。k空間内の球の半径k _Fは、フェルミ波動ベクトルと呼ばれます。

金属または半導体に埋め込まれた異質の原子、いわゆる不純物がある場合、固体中を自由に移動する電子は、不純物の偏向電位によって散乱されます。散乱プロセス中、電子波動関数の初期状態波動ベクトルk _{i は、最終状態波動ベクトル}k _fに散乱されます。電子ガスはフェルミガスであるため、散乱状態がジャンプするための空の最終状態が存在する必要があるため、フェルミレベルに近いエネルギーを持つ電子のみが散乱プロセスに参加できます。フェルミエネルギーE _Fよりはるかに低い電子は、占有されていない状態にジャンプできません。散乱可能なフェルミレベル周辺の状態は、k値または波長の限られた範囲を占めます。したがって、フェルミエネルギーに近い限られた波長範囲内の電子のみが散乱され、不純物の周囲に次の形式の密度変調が生じます。

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\rho _{0}+\delta n{\frac {\cos(2k_{\rm {F}}|\mathbf {r} |+\delta )} {|\mathbf {r} |^{3}}}}$[^{さらに説明が必要]}

電荷遮蔽の典型的なシナリオでは、電荷を帯びた移動性流体に荷電物体が存在すると、電界が減衰することが観察されます。電荷遮蔽では流体内の移動性電荷を点として扱うため、点からの距離に対するこれらの電荷の濃度は指数関数的に減少します。この現象は、ポアソン・ボルツマン方程式によって決まります。^[5] 1次元フェルミ流体における摂動の量子力学的記述は、朝永-ラッティンジャー液体によってモデル化されます。^[6]遮蔽に関与する流体内のフェルミオンは点として扱うことができず、それらを記述するには波動ベクトルが必要です。摂動から離れた電荷密度は連続体ではなく、フェルミオンは摂動から離れた離散的な空間に配列します。この効果が、不純物の周りの円形の波紋の原因です。

注：古典的には荷電摂動の近くで圧倒的な数の反対に帯電した粒子が観測されるが、フリーデル振動の量子力学的シナリオでは、反対に帯電したフェルミオンの周期的な配列の後に同じ電荷領域を持つ空間が続く。^[2]

右の図では、2 次元のフリーデル振動が、きれいな表面のSTM画像で示されています。表面で画像が撮影されると、電子密度の低い領域では原子核が「露出」し、正味の正電荷が生じます。

• リンドハルト理論

• http://gravityandlevity.wordpress.com/2009/06/02/friedel-oscillations-wherein-we-learn-that-the-electron-has-a-size/ - 現象の簡単な説明