ニュートン力学の限界

物理学において、ニュートン極限は、 (1)弱い重力、(2)光速に比べてゆっくり動く物体、(3)ゆっくりと変化する（または完全に静的な）重力場を示す物理系に適用できる数学的近似である。 ^{[ 1 ]} これらの条件下では、ニュートンの万有引力の法則を使用して正確な値を得ることができる。一般に、そして大きな重力が存在する場合には、一般相対性理論を使用しなければならない。

ニュートン力学の極限では、時空はほぼ平坦であり^{[ 1 ]}、有限距離ではミンコフスキー計量を使用できます。この場合、「ほぼ平坦」とは、重力の影響が0に近づく空間として定義されます。数学的には、実際の時空とミンコフスキー空間は同一ではなく、ミンコフスキー空間は理想化されたモデルです。

特殊相対性理論では、ほとんどの場合、極限操作を行うことでニュートン的な振る舞いが得られる。${\displaystyle v\to 0}$この極限では、頻繁に現れるガンマ因子は1になる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}&\to 1\end{aligned}}}$$ そして、基準系間の ローレンツ変換はガリレオ変換に変わる。$${\displaystyle {\begin{aligned}t'=\gamma (tv/c^{2}\,x)&\to t'=t\\x'=\gamma (xv\,t)&\to x'=xv\,t\end{aligned}}}$$

計量を持つ曲がった時空上の自由粒子の測地線方程式$\displaystyle g^{\mu \nu }}$アクションから導き出すことができる $${\displaystyle {\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {-g_{\mu \nu }\,{\dot {x}}^{\mu }\,{\dot {x}}^{\nu }}}\end{aligned}}}$$ 時空計量が $${\displaystyle {\begin{aligned}g&={\begin{pmatrix}-1-{\frac {2\,\phi (x)}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$ そして、次数のすべての寄与を無視して${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}}$アクションは $${\displaystyle {\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {c^{2}+2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}}\\&=-m\,c\,\int dt\,\left({\sqrt {c^{2}}}+{\frac {1}{2\,{\sqrt {c^{2}}}}}\,\left(2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}\right)+...\right)\\&\approx \int dt\,\left(-m\,c^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-m\,\phi (x)\right)\end{aligned}}}$$ これは、重力ポテンシャル中の粒子のニュートン運動方程式を再現する作用である。${\displaystyle \phi (x)}$^{[ 2 ]}

• 古典的極限