9-j シンボル

物理学において、ウィグナーの9- j記号は1937年にユージン・ウィグナーによって導入された。これらは、4つの角運動量を含む量子力学における再結合係数に関連している。

${\displaystyle {\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}}$${\displaystyle =\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .}$

2つの角運動量の結合${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$そして${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$は、同時固有関数の構築である。${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}}$そして${\displaystyle J_{z}}$、 どこ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}}$クレブシュ・ゴルダン係数に関する記事で説明されているとおりです。

3 つの角運動量の結合は、ラカー W 係数に関する記事で説明されているように、いくつかの方法で行うことができます。その記事の表記法と手法を使用すると、角運動量ベクトルを結合することによって生じる全角運動量状態は次のようになります。${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$、${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$、${\displaystyle \mathbf {j} _{4}}$、 そして${\displaystyle \mathbf {j} _{5}}$次のように書くことができます

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle .}$

あるいは、まずカップルになる${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$そして${\displaystyle \mathbf {j} _{4}}$に${\displaystyle \mathbf {j} _{7}}$そして${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$そして${\displaystyle \mathbf {j} _{5}}$に${\displaystyle \mathbf {j} _{8}}$結合する前に${\displaystyle \mathbf {j} _{7}}$そして${\displaystyle \mathbf {j} _{8}}$に${\displaystyle \mathbf {j} _{9}}$:

${\displaystyle |((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle .}$

どちらの関数セットも、次元空間の完全な正規直交基底を提供する。${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{4}+1)(2j_{5}+1)}$にまたがる

${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{4}m_{4}\rangle |j_{5}m_{5}\rangle ,\;\;m_{1}=-j_{1},\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{4}=-j_{4},\ldots ,j_{4};\;\;m_{5}=-j_{5},\ldots ,j_{5}.}$

したがって、2 つのセット間の変換はユニタリであり、変換の行列要素は関数のスカラー積によって与えられます。ラカー W 係数の場合と同様に、行列要素は全角運動量射影量子数(${\displaystyle m_{9}}$):

${\displaystyle |((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle =\sum _{j_{3}}\sum _{j_{6}}|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle \langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .}$

9- j記号は、対角線に関する反射、および行または列の偶数順列に関して不変である。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\\j_{7}&j_{4}&j_{1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{7}&j_{4}&j_{1}\\j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\end{Bmatrix}}.}$

行または列の奇数順列は位相因子を生み出す${\displaystyle (-1)^{S}}$、 どこ

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{9}j_{i}.}$

例えば：

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\\j_{8}&j_{7}&j_{9}\end{Bmatrix}}.}$

9- jシンボルは、6- jシンボルの三重積の和として計算でき、その和は、因子内の三角形条件によって許容されるすべてのxについて計算されます。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\sum _{x}(-1)^{2x}(2x+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{8}&j_{9}&x\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{4}&x&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\\x&j_{1}&j_{2}\end{Bmatrix}}}$。

いつ${\displaystyle j_{9}=0}$9- jシンボルは6-j シンボルに比例します。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3},j_{6}}\delta _{j_{7},j_{8}}}{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{7}+1)}}}(-1)^{j_{2}+j_{3}+j_{4}+j_{7}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{7}\end{Bmatrix}}.}$

9- j記号は、次の直交関係を満たす。

${\displaystyle \sum _{j_{7}j_{8}}(2j_{7}+1)(2j_{8}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}'\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3}j_{3}'}\delta _{j_{6}j_{6}'}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}}{(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}.}$

三角形デルタ{ j ₁ j ₂ j ₃ } は    、三角形 ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) が三角形条件を満たす場合に 1 に等しく、そうでない場合は 0 になります。

6-j シンボルは、ウィグナーの 3- jm係数のn 個の積の和として定義される3n - jシンボルの最初の代表例(n = 2)です。この和は、 3n - j係数が許容する、つまりゼロにならない寄与をもたらすmのすべての組み合わせについて計算されます。

各 3- jm因子が頂点で表され、各 j が辺で表される場合、これらの3n - jシンボルは、 3nの辺と2nのノードを持つ特定の3-正則グラフにマッピングできます。6- jシンボルは 4 頂点のK4グラフに関連付けられ、9- jシンボルは6 頂点のユーティリティ グラフ( K3,3 ) に関連付けられ、2 つの異なる (非同型) 12- _jシンボルは 8 頂点のQ3_グラフとWagner グラフに関連付けられます_。対称関係は一般に、これらのグラフの自己同型群を表します。

• クレブシュ・ゴルダン係数
• 3-j シンボル、または 3-jm シンボルとも呼ばれる
• ラカーW係数
• 6-j シンボル

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• ストーン、アンソニー。「ウィグナー係数計算機」。（正確な分数で答える）
• ワイツマン科学研究所プラズマ研究所。「369j記号計算機」。（浮動小数点数で回答してください）
• ファック、ヴィール。ヴァン・ダイク、ドリース。「ギュッシスアプレット」。
• ヨハンソン、HT;フォルセン、C. "(WIGXJPF)"。（正確；C、Fortran、Python）
• ヨハンソン、HT "(FASTWIGXJ)"。（高速検索、高精度；C言語、Fortran言語）