与えられた三角形の辺からの距離に基づく座標系
幾何学 では 、与えられた 三角形 に対する点の 三線座標 x : y : z は、三角形の 3 本の辺からの相対的な有向 距離 を表します。三線座標は 同次座標 の例です。比 x : y は 、点から 頂点 A および B の 反対側の辺 (必要に応じて延長) までの垂直距離の比です。比 y : z は 、点から頂点B および C の 反対側の辺までの垂直距離の比です 。z : x および頂点 C と A についても同様です 。
右の図では、示された内部点の三線座標は実際の距離 ( a' 、 b' 、 c' )、または任意の正の定数 k に対する比率形式では ka' : kb' : kc' です。点が基準三角形のサイドライン上にある場合、対応する三線座標は 0 です。外部の点が三角形の内部からサイドラインの反対側にある場合、そのサイドラインに関連付けられた三線座標は負です。3 つの三線座標がすべて非正になることはあり得ません。
表記 三線座標の比率表記は、順序付き 三線 表記 よりも優先して使用されることが多く、順序付き三線表記 は、特定の三角形に対する 有向距離の三線に使用されます。三線 座標は、比率に影響を与えることなく、任意の値で再スケールできます。括弧で囲み、コンマで区切った三線表記は、通常、たとえばとは異なる三線を表します が、これらの同等の比率は 同じ点を表す
ため、混乱を招く可能性があります。
x
:
y
:
z
{\displaystyle x:y:z}
(
x
,
y
,
z
)
,
{\displaystyle (x,y,z),}
(
a
′
,
b
′
,
c
′
)
{\displaystyle (a',b',c')}
x
:
y
:
z
,
{\displaystyle x:y:z,}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
(
2
x
,
2
y
,
2
z
)
,
{\displaystyle (2x,2y,2z),}
x
:
y
:
z
=
{\displaystyle x:y:z={}\!}
2
x
:
2
y
:
2
z
{\displaystyle 2x:2y:2z}
例 三角形 △ ABC の内心 の三線座標は 1 : 1 : 1 です 。つまり、内心から辺 BC、CA、ABまでの (有向) 距離は、 ( r 、 r 、 r ) で表される実際の距離に比例します。ここで、 rは △ ABC の内接円です 。辺の長さ a、b、c が与えられている場合、次の式 が得られます。
一般に、内心は 重心 と同じではないことに注意してください。重心の 重心座標は 1 : 1 : 1 です(これらは三角形 △ BGC 、△ CGA 、△ AGB の実際の符号付き面積に比例します。ここで、 G は 重心です)。
たとえば、辺 BC の中点は、三角形の面積 Δ の実際の辺距離における三線座標を持ち 、これは任意に指定された相対距離では 0 : ca : ab に簡略化されます。A からBC までの 高度 の足の実際の辺距離における座標 は、純粋に相対的な距離では 0 : cos C : cos B に簡略化されます 。 [1] : p. 96
(
0
,
Δ
b
,
Δ
c
)
{\displaystyle (0,{\tfrac {\Delta }{b}},{\tfrac {\Delta }{c}})}
(
0
,
2
Δ
a
cos
C
,
2
Δ
a
cos
B
)
,
{\displaystyle (0,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos C,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos B),}
共線性と同時性 三線座標は三角形幾何学における多くの代数的手法を可能にする。例えば、3つの点
P
=
p
:
q
:
r
U
=
u
:
v
:
w
X
=
x
:
y
:
z
{\displaystyle {\begin{aligned}P&=p:q:r\\U&=u:v:w\\X&=x:y:z\\\end{aligned}}}
行列式 が 共線的で ある場合、そしてその場合に限ります
D
=
|
p
q
r
u
v
w
x
y
z
|
{\displaystyle D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}}
はゼロに等しい。したがって、 x : y : z が可変点である場合、点 P と点 Uを通る直線の方程式は D = 0 である 。 [1] : p. 23 このことから、すべての直線は x、y、z に関して同次な線型方程式を持つ。実係数の形式のすべての方程式は、 l : m : n が辺の長さ a : b : c に比例しない 限り、有限点の実直線であり 、その場合は点の軌跡は無限遠になる。 [1] : p. 40
l
x
+
m
y
+
n
z
=
0
{\displaystyle lx+my+nz=0}
この命題の双対は、線が
p
α
+
q
β
+
r
γ
=
0
u
α
+
v
β
+
w
γ
=
0
x
α
+
y
β
+
z
γ
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}p\alpha +q\beta +r\gamma &=0\\u\alpha +v\beta +w\gamma &=0\\x\alpha +y\beta +z\gamma &=0\end{aligned}}}
D = 0 のときのみ、 点 ( α 、 β 、 γ )が 一致する 。 [1] : p. 28
また、 D の行列式を評価する際に実際の有向距離を使用すると 、三角形 △ PUX の面積はKD になります 。ここで、三角形 △ PUX が △ ABC と同じ向き (時計回りまたは反時計回り) で ある場合はKD になります ( Δ は 上記のように三角形 △ ABC の面積です) 。
K
=
−
a
b
c
8
Δ
2
{\displaystyle K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}}
K
=
−
a
b
c
8
Δ
2
{\displaystyle K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}}
平行線 三線方程式とを持つ2本の直線 が平行であるのは、 [1] : p. 98, #xiの ときのみである。
l
x
+
m
y
+
n
z
=
0
{\displaystyle lx+my+nz=0}
l
′
x
+
m
′
y
+
n
′
z
=
0
{\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}
|
l
m
n
l
′
m
′
n
′
a
b
c
|
=
0
,
{\displaystyle {\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,}
ここで、 a、b、c は 辺の長さです。
2本の線の間の角度 三線方程式と2本の線の間の角度の 接線 は [1] : p.50 で与えられる 。
l
x
+
m
y
+
n
z
=
0
{\displaystyle lx+my+nz=0}
l
′
x
+
m
′
y
+
n
′
z
=
0
{\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}
±
(
m
n
′
−
m
′
n
)
sin
A
+
(
n
l
′
−
n
′
l
)
sin
B
+
(
l
m
′
−
l
′
m
)
sin
C
l
l
′
+
m
m
′
+
n
n
′
−
(
m
n
′
+
m
′
n
)
cos
A
−
(
n
l
′
+
n
′
l
)
cos
B
−
(
l
m
′
+
l
′
m
)
cos
C
.
{\displaystyle \pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.}
垂直線 したがって、三線方程式と 三線方程式を持つ2つの直線 が直交するのは、
l
x
+
m
y
+
n
z
=
0
{\displaystyle lx+my+nz=0}
l
′
x
+
m
′
y
+
n
′
z
=
0
{\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}
l
l
′
+
m
m
′
+
n
n
′
−
(
m
n
′
+
m
′
n
)
cos
A
−
(
n
l
′
+
n
′
l
)
cos
B
−
(
l
m
′
+
l
′
m
)
cos
C
=
0.
{\displaystyle ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.}
高度 頂点 A から辺 BCまでの 高さ の式は [ 1] ：p.98、#x
y
cos
B
−
z
cos
C
=
0.
{\displaystyle y\cos B-z\cos C=0.}
頂点からの距離で表した線 頂点 A、B、Cからの距離がそれぞれ p、q、r で、対辺が a、b、c である直線の方程式は [1] ：p.97、#viii である。
a
p
x
+
b
q
y
+
c
r
z
=
0.
{\displaystyle apx+bqy+crz=0.}
実際の距離の三線座標 座標値 a'、b'、c' が 各辺に対する実際の垂直距離である三線は [1]を満たす ：p. 11
a
a
′
+
b
b
′
+
c
c
′
=
2
Δ
{\displaystyle aa'+bb'+cc'=2\Delta }
三角形の辺 a、b、c と面積 Δ についてです。これはこの記事の冒頭の図で見ることができます。内部の点 P は三角形 △ ABC を3つの三角形△ PBC 、△ PCA 、△ PAB に分割し、 それぞれの面積は
1
2
a
a
′
,
1
2
b
b
′
,
1
2
c
c
′
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}aa',{\tfrac {1}{2}}bb',{\tfrac {1}{2}}cc'.}
2点間の距離 実際の距離三線 a i : b i : c i を持つ2点間の距離 dは [1] : p. 46 で与えられる。
d
2
sin
2
C
=
(
a
1
−
a
2
)
2
+
(
b
1
−
b
2
)
2
+
2
(
a
1
−
a
2
)
(
b
1
−
b
2
)
cos
C
{\displaystyle d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C}
あるいはより対称的な方法で
d
2
=
a
b
c
4
Δ
2
(
a
(
b
1
−
b
2
)
(
c
2
−
c
1
)
+
b
(
c
1
−
c
2
)
(
a
2
−
a
1
)
+
c
(
a
1
−
a
2
)
(
b
2
−
b
1
)
)
.
{\displaystyle d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1})+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\right).}
点から線までの距離 実際の距離の三線座標における点 a' : b' : c' から直線までの 距離 dは [1] :p.48 である。
l
x
+
m
y
+
n
z
=
0
{\displaystyle lx+my+nz=0}
d
=
l
a
′
+
m
b
′
+
n
c
′
l
2
+
m
2
+
n
2
−
2
m
n
cos
A
−
2
n
l
cos
B
−
2
l
m
cos
C
.
{\displaystyle d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.}
二次曲線 可変三点 x : y : z における円錐曲線 の方程式は [1] :p.118 である。
r
x
2
+
s
y
2
+
t
z
2
+
2
u
y
z
+
2
v
z
x
+
2
w
x
y
=
0.
{\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.}
線形項も定数項もありません。
実際の距離座標 （ a'、b'、c' ）を中心とする半径 r の円の方程式は [1] ：p.287 である。
(
x
−
a
′
)
2
sin
2
A
+
(
y
−
b
′
)
2
sin
2
B
+
(
z
−
c
′
)
2
sin
2
C
=
2
r
2
sin
A
sin
B
sin
C
.
{\displaystyle (x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.}
円錐曲線 三角形の 外接円錐 の三線座標 x、y、z の方程式は [1] ：p.192 である。
l
y
z
+
m
z
x
+
n
x
y
=
0.
{\displaystyle lyz+mzx+nxy=0.}
パラメータ l、m、nが それぞれ辺の長さ a、b、c （またはそれらの反対側の角度の正弦）に等しい場合、式は 外接円 を与えます。 [1] ：p.199
それぞれの円錐曲線は、それ自身に固有の中心を持つ。円錐曲線の中心がx' : y' : z' である三線座標の式は [1] : p. 203 である。
y
z
(
x
′
−
y
′
−
z
′
)
+
z
x
(
y
′
−
z
′
−
x
′
)
+
x
y
(
z
′
−
x
′
−
y
′
)
=
0.
{\displaystyle yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.}
インコニクス 三角形に 内接する すべての円錐曲線は三線座標系で方程式を持つ: [1] : p. 208
l
2
x
2
+
m
2
y
2
+
n
2
z
2
±
2
m
n
y
z
±
2
n
l
z
x
±
2
l
m
x
y
=
0
,
{\displaystyle l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,}
指定されていない符号のうち 1 つまたは 3 つが負になります。
内接円 の方程式 は次のように簡略化できる [1] ：p.210、p.214
±
x
cos
A
2
±
y
cos
B
2
±
z
cos
C
2
=
0
,
{\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,}
一方、例えば頂点 A の反対側の辺に隣接する 外接円 の式は次のように表される [1] ：p.215
±
−
x
cos
A
2
±
y
cos
B
2
±
z
cos
C
2
=
0.
{\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.}
3次曲線 多くの3次曲線は、三線座標を使用して簡単に表すことができます。たとえば、ピボット自己同共役3次曲線 Z ( U, P )は、 X の P 同共役が直線 UX 上にある点 X の軌跡として 、行列式方程式で与えられます。
|
x
y
z
q
r
y
z
r
p
z
x
p
q
x
y
u
v
w
|
=
0.
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.}
名前付き立方体 Z ( U, P ) には次のものがあります。
トムソン立方体 :
Z
(
X
(
2
)
,
X
(
1
)
)
{\displaystyle Z(X(2),X(1))}
、ここで
X
(
2
)
{\displaystyle X(2)}
は 重心 、 は
X
(
1
)
{\displaystyle X(1)}
内心 です フォイエルバッハ三次方程式 :
Z
(
X
(
5
)
,
X
(
1
)
)
{\displaystyle Z(X(5),X(1))}
、ここで は
X
(
5
)
{\displaystyle X(5)}
フォイエルバッハ点 である ダルブー立方体 :
Z
(
X
(
20
)
,
X
(
1
)
)
{\displaystyle Z(X(20),X(1))}
、ここで は
X
(
20
)
{\displaystyle X(20)}
ド・ロンシャン点 である ノイバーグ3次方程式 :
Z
(
X
(
30
)
,
X
(
1
)
)
{\displaystyle Z(X(30),X(1))}
、ここで は
X
(
30
)
{\displaystyle X(30)}
オイラーの無限大点 です 。
コンバージョン
三線座標とサイドラインからの距離 点を見つけるために三線座標x : y : z のいずれを選択した場合でも 、その点から辺までの実際の距離は、 a' = kx 、 b' = ky 、 c' = kz で与えられます。ここで、 k は 次の式で決定されます。 ここで、 a、 b、 c はそれぞれ辺の長さ BC、 CA、 AB であり、 ∆ は △ ABC の面積です 。
k
=
2
Δ
a
x
+
b
y
+
c
z
{\displaystyle k={\tfrac {2\Delta }{ax+by+cz}}}
重心座標と三線座標の間 三線座標x : y : z の点の 重心座標 は ax : by : cz で、 a、b、cは 三角形の辺の長さです。逆に、重心 α : β : γ の点の重心座標は
α
a
:
β
b
:
γ
c
.
{\displaystyle {\tfrac {\alpha }{a}}:{\tfrac {\beta }{b}}:{\tfrac {\gamma }{c}}.}
直交座標と三線座標の間 基準三角形 △ ABC が与えられたとき、頂点B の位置を デカルト座標 の順序付きペアで表し 、これを 頂点 C を 原点として ベクトル として代数的に表します。同様に、頂点
B
→
,
{\displaystyle {\vec {B}},}
Aの位置ベクトルを と定義します。すると、 基準三角形 △ ABC に関連付けられた任意の点 P は 、デカルト系でベクトルとして定義できます。 この点 P が 三線座標 x : y : zを持つ場合、デカルト表現の係数 k 1 および k 2 から三線座標への 変換式は、辺の長さ a、b、cに対して、頂点 A、B、C の反対側では 、
A
→
.
{\displaystyle {\vec {A}}.}
P
→
=
k
1
A
→
+
k
2
B
→
.
{\displaystyle {\vec {P}}=k_{1}{\vec {A}}+k_{2}{\vec {B}}.}
x
:
y
:
z
=
k
1
a
:
k
2
b
:
1
−
k
1
−
k
2
c
,
{\displaystyle x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},}
そして、三線座標から直交座標の係数への変換式は
k
1
=
a
x
a
x
+
b
y
+
c
z
,
k
2
=
b
y
a
x
+
b
y
+
c
z
.
{\displaystyle k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.}
より一般的には、任意の原点が選択され、頂点の直交座標が既知でベクトル
A
→
,
B
→
,
C
→
{\displaystyle {\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}}
によって表され、点 P が 三線座標 x : y : z を持つ場合、
P
→
{\displaystyle {\vec {P}}}
の直交座標は、重心座標 ax、by、cz を 重みとして使用して、これらの頂点の直交座標の加重平均になります。したがって、三線座標 x、y、z から点の直交座標 のベクトルへの変換式は次のように
表さ れ
P
→
{\displaystyle {\vec {P}}}
ます 。
P
→
=
a
x
a
x
+
b
y
+
c
z
A
→
+
b
y
a
x
+
b
y
+
c
z
B
→
+
c
z
a
x
+
b
y
+
c
z
C
→
,
{\displaystyle {\vec {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\vec {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\vec {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\vec {C}},}
辺の長さは
|
C
→
−
B
→
|
=
a
,
|
A
→
−
C
→
|
=
b
,
|
B
→
−
A
→
|
=
c
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&|{\vec {C}}-{\vec {B}}|=a,\\&|{\vec {A}}-{\vec {C}}|=b,\\&|{\vec {B}}-{\vec {A}}|=c.\end{aligned}}}
参照
参考文献
^ abcdefghijklmnopqrs William Allen Whitworth (1866) Trilinear Coordinates and Other Methods of Analytical Geometry of Two Dimensions: an elementary treatise、 コーネル大学 Historical Math Monographs からのリンク。
外部リンク
