マルコフカーネルのカテゴリ

数学において、マルコフ核のカテゴリ（Markov kernels カテゴリ、 Stochとも表記）は、そのオブジェクトが測定可能な空間であり、その射がマルコフ核であるカテゴリである。 ^{[1] [2] [3] [4]} これは集合と関数のカテゴリに類似しているが、矢印は確率的であると解釈できる。

このカテゴリのいくつかのバリエーションが文献で使用されています。たとえば、確率カーネルの代わりに部分確率カーネル^[5]を使用したり、より一般的なs有限カーネル^[6]を使用したりできます。また、ほぼ確実な等式の下でマルコフカーネルの同値類 を射としてとることもできます。^[7]以下を参照してください。

測定可能な空間と間のマルコフ核は、上の関数として測定可能であり、上の確率測度である割り当てであることを思い出してください。^[4]およびに対するその値は で表され、条件付き確率として解釈できます。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$${\displaystyle k:X\times {\mathcal {G}}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle k(B|x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

ストッホカテゴリには以下のものがあります: ^[4]

• オブジェクトとして、測定可能な空間。
• 射影として、それらの間のマルコフ核;
• 各可測空間に対して、恒等写像は核${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \delta (A|x)=1_{A}(x)={\begin{cases}1&x\in A;\\0&x\notin A\end{cases}}}$

すべておよび;${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

• 核とが与えられた場合、合成射は次のように与えられる。${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$${\displaystyle h:(Y,{\mathcal {G}})\to (Z,{\mathcal {H}})}$${\displaystyle h\circ k:(X,{\mathcal {F}})\to (Z,{\mathcal {H}})}$

${\displaystyle (h\circ k)(C|x)=\int _{Y}h(C|y)\,k(dy|x)}$

すべておよびについて。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle C\in {\mathcal {H}}}$

この合成式はチャップマン・コルモゴロフ方程式と呼ばれることもある。^[4]

この合成は単位的であり、単調収束定理により結合的であるため、カテゴリが実際に存在します。

ストッホの終対象は一点空間である。^[4]形式の射は上の確率測度と同値であると考えることができる。なぜなら、それらは関数、すなわち の元に対応するからである。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 1\to PX}$${\displaystyle PX}$

カーネルとが与えられた場合、複合カーネルは、値 ${\displaystyle p:1\to X}$${\displaystyle k:X\to Y}$${\displaystyle k\circ p:1\to Y}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle (k\circ p)(B)=\int _{X}k(B|x)\,p(dx),}$

のあらゆる測定可能な部分集合に対して。^[7]${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$

確率空間 とが与えられたとき、測度保存マルコフ核とは、任意の測定可能な部分集合に対して、^[7]${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},p)}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},q)}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},p)\to (Y,{\mathcal {G}},q)}$${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle q(B)=\int _{X}k(B|x)\,p(dx).}$

確率空間と測度保存マルコフカーネルはカテゴリを形成し、これはスライスカテゴリ として見ることができます。 ${\displaystyle (\mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(1,-),\mathrm {Stoch} )}$

あらゆる測定可能な関数は、次のようにマルコフ核を正準的に定義します。 ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$${\displaystyle \delta _{f}:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$

${\displaystyle \delta _{f}(B|x)=1_{B}(f(x))={\begin{cases}1&f(x)\in B;\\0&f(x)\notin B\end{cases}}}$

あらゆるとに対して となります。この構成は恒等式と合成を保存するため、MeasからStochへの関手となります。 ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

関数性により、（カテゴリMeas内の）可測空間のすべての同型は、 Stoch内の同型を誘導します。しかし、Stochにはさらに多くの同型があり、特に、基礎となる集合が一対一でない場合でも、 可測空間はStoch内で同型になることがあります。

• ストッホはジリーモナドのクライスリ圏である。^{[3] [4]}これは特に、付加項が存在することを意味する。

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(X,Y)\cong \mathrm {Hom} _{\mathrm {Meas} }(X,PY)}$

ストッホと可測空間のカテゴリーの間。

• 上記の随伴の左随伴 はオブジェクト上の恒等式であり、射に関しては、上で説明した測定可能な関数によって誘導される標準的なマルコフ核を与えます。${\displaystyle L:\mathrm {Meas} \to \mathrm {Stoch} }$

• 上で述べたように、確率空間と測度保存マルコフカーネルのカテゴリをスライスカテゴリ として構築することができます。${\displaystyle (\mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(1,-),\mathrm {Stoch} )}$

• 同様に、確率空間のカテゴリはコンマカテゴリ として見ることができます。${\displaystyle (\mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(1,-),L)}$

関手は左随伴なので、余極限を保存します。^[8]このため、可測空間のカテゴリのすべての余極限はストッホの余極限でもあります。たとえば、 ${\displaystyle L:\mathrm {Meas} \to \mathrm {Stoch} }$

• 初期オブジェクトは、自明な測定可能な構造を持つ空集合です。
• 余積は、その標準的なシグマ代数を持つ、測定可能な空間の互いに素な和集合によって与えられます。
• 減少する濾過の連続的極限は、シグマ代数の交差によって与えられます。

一般に、関手は極限を保存しない。これは特に、可測空間の積が一般にストッホの積ではないことを意味する。しかし、ジリーモナドはモノイドなので、可測空間の積はストッホを依然としてモノイドカテゴリにする。^[4]${\displaystyle L}$

確率論にとって特に重要な極限は、ド・フィネッティの定理であり、これは確率測度の空間（ジリー・モナド）が、数列の有限順列によって形成される図のストッホにおける極限であるという事実として解釈できる。

時には、崩壊や通常の条件付き確率について話すときなど、ほぼ確実な等式までのみマルコフカーネルを考慮することが有用なことがあります。

確率空間 とが与えられたとき、2つの測度保存核がほぼ確実に等しいとは、すべての測定可能な部分集合に対して、 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},p)}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},q)}$${\displaystyle k,h:(X,{\mathcal {F}},p)\to (Y,{\mathcal {G}},q)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle k(B|x)=h(B|x)}$

ほぼすべての場合において。^[7] これは測度保存マルコフ核の集合上の同値関係を定義する。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle k,h:(X,{\mathcal {F}},p)\to (Y,{\mathcal {G}},q)}$

上で定義された関係の下でのマルコフ核の確率空間と同値類はカテゴリを形成する。標準的なボレル確率空間に限定される場合、カテゴリはKrnで表されることが多い。^[7]

• 測定可能なスペース
• マルコフカーネル
• カテゴリ確率

• https://ncatlab.org/nlab/show/Stoch
• https://ncatlab.org/nlab/show/Krn